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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学人教A版选修2-1 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 Word版含答案

学业分层测评 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 等轴双曲线的一个焦点是 F1(-6, 0), 则它的标准方程是( y2 x2 A.18-18=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 x2 y2 B.18-18=1 y2 x2 D. 8 - 8 =1 ) x 2 y2 【解析】 设等轴双曲线方程为a2-a2=1(a>0), x2 y2 ∴a +a =6 ,∴a =18,故双曲线方程为18-18=1. 2 2 2 2 【答案】 B y2 2.已知双曲线方程为 x - 4 =1,过 P(1,0)的直线 l 与双曲线只 2 有一个公共点,则共有 l( A.4 条 C.2 条 ) B.3 条 D.1 条 2 y2 【解析】 因为双曲线方程为 x - 4 =1,所以 P(1,0)是双曲线的 右顶点,所以过 P(1,0)并且和 x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线, 与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过点 P(1,0)分别和两条 渐近线平行的直线,所以符合要求的共有 3 条,故选 B. 【答案】 B x2 y2 3.双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐近线 的距离为 3,则双曲线 C 的焦距等于( A.2 C.4 ) 【导学号:18490063】 B.2 2 D.4 2 c 1 3 【解析】 由已知得 e=a=2,所以 a=2c,故 b= c2-a2= 2 c, b 从而双曲线的渐近线方程为 y=±ax=± 3x, 由焦点到渐近线的距离为 3 3,得 2 c= 3,解得 c=2,故 2c=4,故选 C. 【答案】 C x2 y2 x2 y2 4.若实数 k 满足 0<k<5,则曲线16- =1 与曲线 - =1 5-k 16-k 5 的( ) A.实半轴长相等 C.离心率相等 B.虚半轴长相等 D.焦距相等 x2 y2 【解析】 若 0<k<5,则 5-k>0,16-k>0,故方程16- =1 5-k 表示焦点在 x 轴上的双曲线, 且实半轴的长为 4, 虚半轴的长为 5-k, 21-k x2 y2 焦距 2c=2 21-k, 离心率 e= 4 ; 同理方程 - =1 也表示 16-k 5 焦点在 x 轴上的双曲线,实半轴的长为 16-k,虚半轴的长为 5,焦 距 2c=2 21-k,离心率 e= 【答案】 D 21-k .可知两曲线的焦距相等,故选 D. 16-k 5.双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( A.2 C. 2 B. 3 3 D.2 ) b 【解析】 双曲线为等轴双曲线, 两条渐近线方程为 y=± x, 即a= c 1,e=a= 2. 【答案】 C 二、填空题 x2 y2 6.在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线m- 2 =1 的离心率为 m +4 5,则 m 的值为________. 【解析】 ∵c2=m+m2+4, 2 c2 m+m +4 ∴e =a2= =5, m 2 ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 【答案】 2 x2 y2 7. 已知 F 为双曲线 C:9 -16=1 的左焦点, P, Q 为 C 上的点. 若 PQ 的长等于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周 长为________. 【解析】 由双曲线方程知,b=4,a=3,c=5,则虚轴长为 8, 则|PQ|=16.由左焦点 F(-5,0),且 A(5,0)恰为右焦点,知线段 PQ 过双曲线的右焦点,则 P,Q 都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可 知|PF|-|PA|=2a, |QF|-|QA|=2a, 两式相加得, |PF|+|QF|-(|PA|+|QA|) =4a,则|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4×3+16=28,故△PQF 的周长为 28 +16=44. 【答案】 44 x2 y2 8.设直线 x-3y+m=0(m≠0)与双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两 条渐近线分别交于点 A,B,若点 P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线 的离心率是________. 【解析】 ?x-3y+m=0, 由? b 得点 A 的坐标为: y = x , ? a ? am bm ? , ? ?, ?3b-a 3b-a? ?x-3y+m=0, ? -am bm ? ?, , 由? 得点 B 的坐标为? b ?3b+a 3b+a? y =- x , ? a ? am 3b m ? 则 AB 的中点 C 的坐标为?9b2-a2,9b2-a2?, ? ? 2 2 1 ∵kAB=3, 3b2m 9b2-a2 ∴kCP= a2m =-3, -m 9b2-a2 3b2 即 2 =-3,化简得 a2=4b2, 2 2 a -(9b -a ) 即 a2=4(c2-a2),∴4c2=5a2, 5 5 ∴e2=4,∴e= 2 . 【答案】 三、解答题 5 2 x2 y2 9.双曲线与椭圆16+64=1 有相同的焦点,它的一条渐近线为 y =x,求双曲线的标准方程和离心率. x2 y2 【解】 由椭圆16+64=1,知 c2=64-16=48,且焦点在 y 轴上, ∵双曲线的一条渐近线为 y=x, y2 x2 ∴设双曲线方程为a2-a2=1. 又 c2=2a2=48,∴a2=24. y2 x2 ∴所求双曲线的方程为24-24=1. 由 a2=24,c2=48, c2 得 e =a2=2, 2 又 e>0,∴e= 2. x2 y2 10.已知双曲线 3 -b2=1 的右焦点为(2,0). (1)求双曲线的方程; (2)求双曲线的渐近线与直线 x=-2 围成的三角形的面积. x2 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为 3 - y2 2 2 2 2 2 2=1,∴c =a +b =3+b =4,∴b =1, b x2 2 ∴双曲线的方程为 3 -y =1. (2)∵a= 3,b=

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