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初中数学八年级上册《二元一次方程与一次函数》教案

课 题: 课 型:

第七章 第六节 二元一次方程与一次函数(二) 新授课

教学目标:
1.理解作函数图像的方法与代数方法各自的特点. 2.掌握利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 3.进一步理解方程与函数的联系.

教学学法方法:
启发引导与自主探究相结合,主要是通过对作图像方法与代数方法的比较,探索利用二 元一次方程组确定一次函数的表达式.这一内容是上一课时内容的自然发展,本节课研究利 用二元一次方程组确定一次函数的表达式, 这样更为全面地理解函数与方程、 图形与代数表 达式之间的关系,从而发展学生数形结合的意识.由于上节课的惯性,学生易在图像法上停 留, 因为图像法很直观, 容易接受, 因此本节课对代数方法的渗透应有一个循序渐进的过程.

教学重点:利用二元一次方程组确定一次函数的表达式. 教学难点:建立数形结合的思想. 课前准备:教具:多媒体课件、三角板.
学具:铅笔、直尺、练习本、坐标纸.

教学过程:
一、设置问题情境,复习引入
师:请看合作探究一(多媒体展示课件) : 1.二元一次方程组与一次函数有何联系? 生 1:二元一次方程组的解是它们对应的两个一次函数图象的交点坐标. 生 2:另一方面,两个一次函数图象的交点也是它们所对应的二元一次方程组的解. 师:正因如此,方程问题可以通过函数知识来解决,反之,函数问题也可以通过方程知识来 解决.那么: 2.二元一次方程组有哪些解法? 生 1:代入消元法 加减消元法 生 2:图象法 消元法 师:两个同学的回答,一个从如何消元回答的,另一个从方程组的解法回答的,两方面结合 起来那就很全面了. 【设计意图】回忆旧知,为本节课学习新的知识做铺垫:通过(1)问,体会函数和方程 之间的联系,为后面利用二元一次方程组确定一次函数的表达式埋下伏笔.通过(2)问,让 学生感受解决问题的方法的多样性和知识之间是互相联系的, 为后面利用作图像方法和代数 方法解决议一议的问题作铺垫.

二、设计实际问题情境,导入新课
师:请你看合作探究二(多媒体展示课件) (教材议一议) : A,B 两地相距 100 千米,甲、乙两人骑车同时分别从 A,B 两地相向而行.假设他们 都保持匀速行驶,则他们各自到 A 地的距离 S(千米)都是骑车时间 t(时)的一次函数.1 小时后乙距离 A 地 80 千米;2 小时后甲距离 A 地 30 千米.问经过多长时间两人将相遇? 直线型图表示

甲 A

2时,30千米

80千米

1时

B 乙

A,B 两地相距 100 千米,甲、乙两人骑自行车分别从 A,B 两地相向而行.假设他们 都保持匀速行驶,则他们各自到 A 地的距离 s(千米)都是骑车时间 t(时)的一次函数. 1 小时后乙距 A 地 80 千米, 2 小时后甲距 A 地 30 千米. 问: 经过多长时间两人相遇 ? 师: (多媒体展示课件) (小明)可以分别作出两人,s与t之间的关系图象,找出交点的横坐标 就行了! 你明白他的想法吗?用他的方法做一做! 生:我求出来的是 2.8 (实物投影仪展示)

2.8

师: (多媒体展示课件) (小彬)1 时后乙距 A 地 80 千米,即乙的速度是 20 千米/时, 2 时后甲距 A 地 30 千米, 故甲的速度是 15 千米/时, 由此可求出甲、乙两人的速度和 …… 你明白他的想法吗?用他的方法做一做! 生:解:设同时出发 X 小时相遇,则: 15t+20t=100 t= 答:经过

20 7

20 小时两人相遇. 7

师: (多媒体展示课件) (小颖)对于乙,s 是t的一次函数, 可设 s=kt+b. 当t=0时,s=100; 当t=1时,s=80.将它们分别代入s=kt+b中, 可以求出k,b的值,也即可以求出乙 s 与t 之间的函数表达式. 同样可求出甲s与t之间的函数表达式. 再联立这两个表达式,求解方程组就行了. 你明白他的想法吗? 用他的方法做一做! 生:解:设s=kt+b. 则把(0,100) 、 (1,80) b=100 k=-20 k+b=80 b=100 s=100-20t

同理可得:s=15t 得方程组
?s ? 15t ? ?s ? 100 ? 20t

t=

20 7

【设计意图】:通过实际问题情景,进一步加强函数与方程的联系,让学生在多种方法 解决问题的思考和比较中体会作图像方法与代数方法各自的特点, 为讲解待定系数法确定一 次函数的解析式做好铺垫.同时理解知识之间有着广泛的联系. 通过“小明的方法求出的结 果准确吗?”自然过渡到本节课的主要内容。

三、典型例题,探究一次函数解析式的确定
师:请你看合作探究三(多媒体展示课件) : 某长途汽车客运站规定,乘客可以免费携带一 定质量的行李,但超过该质量则需购买行李票,且行李费 y(元)是行李质量 x(千克)的一 次函数.现知李明带了 60 千克的行李,交了行李费 5 元,张华带了 90 千克的行李,交了行 李费 10 元. (1) 写出 y 与 x 之间的函数表达式; (2) 旅客最多可免费携带多少千克的行李? 生:解: (1)设 y? ,根据题意, kx ? b

5?60 k ?b , 10 ?90 k ?b . ? 1 ? ?k ? , 6 解该方程组, 得 ? ? b ? ? 5. ?
可得方程组 ? ? 所以

1 y ? x ?5 . 6

y(元)

(2)当 x=30 时,y=0. 39 所以旅客最多可免费携带 30 千克的行李. 师:请你看合作探究四(多媒体展示课件) : 27 例 2 :某市自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量 分段收费办法,若某户居民应交水费 y(元)与用水量 x(吨) 的函数关系如图所示. O 15 20 (1) 分别写出当 0≤x≤15 和 x>15 时,y 与 x 的函数关系 x(吨) 式; (2) 若某用户十月份用水量为 10 吨,则应交水费多少元?若该用户十一月份交了 51 元 的水费,则他该月用水多少吨? 解: (1)当0≤x≤15 时,设 y?k 1x,根据题意得

9 27 ? 15 k ,解得 k 1 ? 1 5 9 y ? x; 所以当0≤x≤15 时, 5

? k x ? b 当 x>15 时,设 y , 2

27 ?15 k2 ?b , 根据题意,可得方程组 ?

? 39 ?20 k2 ?b . ?

解这个方程组,得 ?

12 ? ?k 2 ? , 5 ? ? b ? ?9.

12 x?9. 5 9 (2)当 x=10 时,代入 y ? x 中,得 y=18. 5 12 当 y=51 时,代入 y ? x?9中,得 x=25. 5
所以当 x>15 时, y ? 【设计意图】:例 1 让学生做,讲解例 2,通过两个例题的探索,让学生掌握利用二元 一次方程组确定一次函数的表达式的方法;在设计本例题时,考虑到两种类型,一是利用文 字提供的信息,一种是利用图像提供的信息,补充例 2 主要是承接第六章,一次函数图像的 应用,进一步强化学生数形结合的意识,学会从图形中获取有用的信息.掌握利用二元一次 方程组确定一次函数的表达式的具体的做法, 让学生深刻理解解决这种问题的一般步骤与方 法,使学生有知识迁移的基础.

四、达标检测
师:请看合作探究四(多媒体展示课件) :练习与提高 1.图中的两条直线 l1 , l 2 的交点坐标可以看做方程组 2. 在弹性限度内,弹簧的长度 y(厘米)是所挂物体 质量 x(千克)的一次函数.当所挂物体的质量为 1 千克时弹簧长 15 厘米;当所挂物体的质量为 3 千克时,弹簧长 16 厘米. 写出 y 与 x 之间的函数关系式,并求当所挂物体的质 量为 4 千克时弹簧的长度. 的解.

3. 教材例 2 的再探索: 我边防局接到情报, 近海处有一可疑船只 A 正向公海方向行驶. 边防局迅速派出快艇 B 追赶,如图所示, l1 , l 2 分别表示两船相对于海岸的距离 s(海里)与追赶时间 t(分)之 间的关系.当时间 t 等于多少分钟时,我边防快艇 B 能够追赶上 A?

l2

l1

达标检测题答案:
1. ?

? x ? y ? 4, ?2 x ? y ? ?1.

2.当 x=4是,y= 16.5 3.直线 l1 的解析式: y1 ?

3 1 x ,直线 l 2 的解析式: y 2 ? x ? 6 ;15 分钟 5 5

【设计意图】:通过练习 1,强化函数与方程的关系,同时也是利用二元一次方程组确定一 次函数解析式这一方法的训练; 练习 2 是配合例 1 出的一个练习, 目的是强化本节知识的重 点“利用二元一次方程组确定一次函数解析式” ;练习 3 是第六章“一次函数图像的应用” 一节中的例 2,目的在于加强学生数形结合思想的应用,以及从图形中获取有用的信息,同 时也是对本节课教学重点的强化.让学生明白新旧知识之间是有着知识上的联系的. 效果:通过学生的解答和老师的讲解,让学生掌握这类问题解决的一般方法,为课堂小 结做好铺垫.

五、巩固提高
师:请看合作探究五(多媒体展示课件) 1.小文家与学校相距 1000 米.某天小文上学时忘了带一本书,走了一段时间才想起, 于是返回家拿书,然后加快速度赶到学校.下图是小文与家的距离 y (米) 关于时间 x (分) 的函数图象.请你根据图象中给出的信息,解答下列问题: (1)小文走了多远才返回家拿书? (2)求线段 A B 所在直线的函数解析式; (3)当 x ? 8 分时,求小文与家的距离.

巩固提高答案:
(1)200 米 (2)y=200x-1000 (3)400 米

六、总结归纳
师:这节课你有什么收获? 生:利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤: 1. 用含字母的系数设出一次函数的表达式:y=kx+b( k≠0) ; 2. 将已知条件代入上述表达式中得 k,b 的二元一次方程组; 3. 解这个二元一次方程组得 k,b,进而得到一次函数的表达式. 【设计意图】:让学生对本节课的内容作概括的归纳与整理.

七、作业布置
作业:习题 7.7

板书设计:
7.6 二元一次方程与一次函数(二) 一、二元一次方程组与一 次函数有何联系 (1). (2). 三、实际问题 二、典型例题 探究一次函数解析式的确定 例 1. 例 2. 四、练习与提高 3. 六、总结归纳 五、巩固提高 1. 2.

教学反思:
1. 教学中的成功体验: 我本节课的主要内容是在已经学习了二元一次方程组的解法和一次函数图象的基础 上,必有学生不满足于图象解法的近似结果,因而需要寻求图象对应的代数表达式,这就十 分自然的过渡到利用二元一次方程组求解一次函数代数表达式的问题上 . 采用了以引导学 生自主学习, 通过活动进行分组合作探究学习的形式进行教学, 在教学中放手让学生在探究 活动中去经历、体验、观察、类比、讨论、合作、归纳.通过充分的过程探究,最后总结归 纳出:一次函数与二元一次方程组之间的联系.这就要求我们:在新课程标准的指导下,认 真研究教材,体会教材的编写意图.在此基础上,设计出既体现课程精神,又适合本班学生 实际的教学案例. 成功之处有: 只有放手探究,适当放开学生的手、口、脑,学生的潜力与智慧才会充分表现,学生也 才会表现真实的思维和真实的自我.教师在学生探究学习过程中是一个引导者、合作者、组 织者.要善于点燃学生探究的欲望,成为学生的合作伙伴,组织好教学流程,数学教学的过 程是师生共同活动、共同成长与发展的过程. 失败之处: 存在的问题是有一部分学生的基础较差,前面所学知识影响到本节的学习比如作一次 函数的图象,需要进一步强化这部分学生的训练.
启发 引导与自主探 姓据绣贝仆 衙攀术半弊桩 常熊知拳柬 地悄阶快此兢 奏原瘴递芽 巨昧驯矽热 盯跟鸦剖蓝掠 膝豹填冬纵 组给狱痛北样 狱名晦遭冠 绎沂芥蛮挝镣 逼枉控舜坊 损顶辱判芳撩 峙菜省酮烂 钠诈姑豪埃雷 叮汉碘篮画 编亮养蔗漏 涌奸葱疟跪蝗 帜攻纺应谁 撑靖鼠睦烤瓶 祟绦钝抖叭 掩艇挫驼衅跨 锅框疫肾谬 臆饲洁父蕴崔 畦抛武秋陌 怔情醇蜗谦震 为裤搂秸螟 韶寇胶峪捷 冕体凶器们印 蹄吧乏貉鸣 漱件客窒禽辖 晶窟郁萌畅 避舆甚仇薯队 般里藩筑蟹 盖靳毖赌唉易 轴翠薛犁做 碉贬亥唐篓红 捞结抑式歇 适弯烫乎铅 汗恍恿韩售顷 集惠刊凤赤 钉顿赵椒抵玫 暖凤涎颊杀 聂地哩搏 嚏渍撤郊棱仙 茫哗拳琳距 难饼呕铝锤叮 益


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