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2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习:3.1.1《数系的扩充与复数的概念》(新人教A版选修2-2)


10/21/2014

选修 2-2
一、选择题 1.下列命题中:

3.1

第 1 课时 数系的扩充与复数的概念

①若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数; ②若 a,b∈R 且 a>b,则 a+i >b+i ; ③若(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=±1; ④两个虚数不能比较大小. 其中,正确命题的序号是( A.① B.② C.③ D.④ [答案] D [分析] 由复数的有关概念逐个判定. [解析] 对于复数 a+bi(a,b∈R),当 a=0,且 b≠0 时为纯虚数.在①中,若 a=- 1,则(a+1)i 不是纯虚数,故①错误;在③中,若 x=-1,也不是纯虚数,故③错误;a +i =a-i,b+i =b-1,复数 a-i 与实数 b-1 不能比较大小,故②错误;④正确.故应 选 D. 2.(2010·四川理,1)i 是虚数单位,计算 i+i +i =( A.-1 B.1 C.-i D.i [答案] A [解析] i+i +i =i-1-i=-1. 3.下列命题中假命题是( i A. 不是分数 2 B. 3i 不是无理数 C.-i 是实数 D.若 a∈R,则 ai 是虚数 [答案] D [解析] 当 a=0 时,ai 是实数,所以 D 是假命题,故应选 D.
2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 2

)

)

)

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4.对于复数 a+bi(a,b∈R),下列结论正确的是( A.a=0?a+bi 为纯虚数 B.b=0?a+bi 为实数 C.a+(b-1)i=3+2i?a=3,b=-3 D.-1 的平方等于 i [答案] B

)

[解析] a=0 且 b≠0 时,a+bi 为纯虚数,A 错误,B 正确.a+(b-1)i=3+2i? a =3,b=3,C 错误.(-1) =1,D 错误.故应选 B. 5.若 z 的实部为 lgx ,虚部为 lg x,x 是正实数,那么( A.使 z 的实部、虚部都是正数的 x 的集合是(1,+∞) B.使 z 的虚部为负数的 x 的集合是(0,1) C.使 z 的实部和虚部互为相反数的 x 的集合是{1}
2 2 2

)

? ?3 ? ? D.使 z 的实部和虚部互为倒数的 x 的集合是? 4? ? 2 ? ? ?
[答案] A
?lgx >0 ? [解析] 由? 2 ? ?lg x>0
2 2 2

解得 x>1,A 正确.故应选 A. )

6.复数 z=a -b +(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( A.|a|=|b| B.a<0 且 a=-b C.a>0 且 a≠b D.a≤0 [答案] D

[解析] 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,而|a|=-a,∴a≤0,故应选 D. 7.若 sin2θ -1+i( 2cosθ +1)是纯虚数,则 θ 的值为( π A.2kπ - 4 π B.2kπ + 4 π C.2kπ ± 4 D. )


2

π + (以上 k∈Z) 4

[答案] B

10/21/2014

?sin2θ -1=0 [解析] 由? ? 2cosθ +1≠0
π ∴θ =2kπ + .选 B. 4

π 2θ =2kπ + ? ? 2 得? π θ ≠2kπ +π ± ? ? 4

(k∈Z)

8.若复数(a -a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( A.a=-1 B.a≠-1 且 a≠2 C.a≠-1 D.a≠2 [答案] C

2

)

[解析] 若复数(a -a-2)+(|a-1|-1)i 不是纯虚数, 则有 a -a-2≠0 或|a-1|- 1=0,解得 a≠-1.故应选 C. 9.下列命题中哪个是真命题( A.-1 的平方根只有一个 B.i 是 1 的四次方程 C.i 是-1 的立方根 D.i 是方程 x -1=0 的根 [答案] B [解析] ∵(±i) =-1,∴-1 的平方根有两个,故 A 错;∵i =-i≠-1.∴i 不是- 1 的立方根;∴C 错; ∵i =i =-1,∴i -1≠0 故 i 不是方程 x -1=0 的根,故 D 错; ∵i =1,∴i 是 1 的四次方根,故选 B. 10.已知关于 x 的方程 x +(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根 n,且 z=m+ni,则复 数 z 等于( A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i [答案] B [解析] 由题意知 n +(m+2i)n+2+2i=0
? ?n +mn+2=0 即? ?2n+2=0 ?
2 2 2 4 6 2 6 6 2 3 6

2

2

)

)

,解得?

? ?m=3 ?n=-1 ?

.

10/21/2014

∴z=3-i,故应选 B. 二、填空题 11.方程(2x -3x-2)+(x -5x+6)i=0 的实数解 x=________. [答案] 2
? ?2x -3x-2=0 [解析] 方程可化为? 2 ? ?x -5x+6=0
2 2 2

解得 x=2. 12.如果 z=a +a-2+(a -3a+2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为________. [答案] -2 [解析] 如果 z 为纯虚数,需?
?a +a-2=0 ? ? ?a -3a+2≠0
2 2 2 2 2

,解之得 a=-2.

13.已知复数 z= 3x-1-x+(x -4x+3)i>0,则实数 x=________. [答案] 1 [解析] 复数 z 能与 0 比较大小,则复数一定是实数,由题意知? 得 x=1. 14.已知复数 z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ +(λ +3cosθ )i(λ ∈R),若 z1=z2, 则 λ 的取值范围是______. [答案] [3,5]
?m=2cosθ ? [解析] ∵z1=z2,∴? ? ?4+m=λ +3cosθ

? 3x-1-x>0 ?x2-4x+3=0

,解

∴λ =4-cosθ . 又∵-1≤cosθ ≤1,∴3≤4-cosθ ≤5,∴λ ∈[3,5]. 三、解答题 15.若 log2(m -3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,求实数 m 的值.
?log2(m -3m-3)=0 ? 2 [解析] ∵log2(m -3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,∴? ? ?log2(m-2)≠0
2 2

∴m=4,故当 m=4 时,log2(m -3m-3)+ilog2(m-2)是纯虚数. 16.已知复数 z=

2

a2-7a+6 2 +(a -5a-6)i(a∈R).实数 a 取什么值时,z 是(1)实数? a2-1

(2)虚数?(3)纯虚数? [解析]
? ?a -5a-6=0, (1)当 z 为实数时,则有? 2 ?a -1≠0, ?
2

10/21/2014 ?a=-1或a=6, ? ?a≠±1. ?

所以?

所以当 a=6 时,z 为实数.
? ?a -5a-6≠0, (2)当 z 为虚数时,则有? 2 ?a -1≠0, ?
2

所以?

?a≠-1或a≠6, ? ? ?a≠±1.

即 a≠±1 且 a≠6. 所以当 a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数.

a -5a-6≠0, ? ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,则有?a -7a+6 =0. 2 ? ? a -1
所以?
?a≠-1且a≠6, ? ?a=6. ?

2

所以不存在实数 a 使得 z 为纯虚数. 17.若 x∈R,试确定 a 是什么实数时,等式 3x - x-1=(10-x-2x )i 成立. 2 [解析] 由复数相等的充要条件,得
2

a

2

a ? ?3x2- x-1=0,① 2 ? ? ?10-x-2x2=0.②
5 由②得 x=2 或 x=- , 2 代入①,得 a=11 或 a=- 71 . 5

4? ? 3? ? 18.已知 z1=?cosα - ?+i?sinα - ?,z2=cosβ +isinβ ,且 z1=z2,求 cos(α - 5? ? 5? ? β )的值. [解析] 由复数相等的充要条件,知 4 cosα - =cosβ , ? ? 5 ? 3 sinα - =sinβ . ? ? 5
2 2

4 cosα -cosβ = ,① ? ? 5 即? 3 sinα -sinβ = .② ? ? 5

① +② 得 2-2(cosα ·cosβ +sinα ·sinβ )=1, 1 即 2-2cos(α -β )=1,所以 cos(α -β )= . 2

10/21/2014


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