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(人教A版)高中数学精品课件必修一:3.1.2 用二分法求方程的近似解


3.1.2

用二分法求方程的近似解

(1)通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件,

了解二分法是求方程近似解的常用方法,从中体会函
数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用; (2)能借助计算器用二分法求方程的近似解; (3)体会数学逼近过程,感受精确与近似的相对统一.

在一个风雨交加的夜里,从某水库闸房到防洪指

挥部的电话线路发生了故障.这是一条10km长的线路,
如何迅速查出故障所在?如果沿着线路一小段一小段 查找,困难很多.每查一个点要爬一次电线杆,10km 长,大约有200多根电线杆呢.想一想,维修线路的工 人师傅怎样工作最合理?

如图,设闸门和指挥部的所在处为点A,B, 1.首先从中点C查 2.用随身带的话机向两端测试时,发现AC段正常,断定 故障在BC段

3.再到BC段中点D
4.这次发现BD段正常,可见故障在CD段 5.再到CD中点E来看 6.这样每查一次,就可以把待查的线路长度缩减一半

A

C

E

D

B

这样每查一次,就可以把待查线路长度缩减为一

半,故经过7次查找,就可以将故障发生的范围缩小
到50—100m左右,即在一两根电线杆附近. 这在现实生活中也有许多重要的应用.其思想方 法在生活中解答以上这类问题时经常碰到.解答以上 这类实际问题关键在于,根据实际情况加以判断和总

结,巧妙取中点,巧妙分析和缩小故障的区间,从而
以最短的时间和最小的精力达到目的.

假设在区间[-1,5]上,f(x)的图象是一条连续的 曲线,且f(-1)>0,f(5)<0即f(-1)f(5)<0,我们依如

上方法求得方程f(x)=0的一个解? 取[-1,5]的一个中点2,因为f(2)>0,f(5)<0,即
f(2)f(5)<0,所以在区间[2,5]内有方程的解,于是再 取[2,5]的中点3.5,……

如果取到某个区间的中点x0,恰好使f(x0)=0,

则x0就是所求的一个解;如果区间中点的函数总不
为0,那么,不断重复上述操作,
y f(x)

-1

O

1

2

3

4

5

x

二分法的定义:
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法,它 是求一元方程近似解的常用方法。 定义如下: 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数 y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分 为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点

近似值的方法叫做二分法(bisection).

给定精度

? ,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下:

1.确定区间? a, b ?,验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精度 ? ;
2.求区间 ? a , b ? 的中点 c ; 3.计算 f (c) (1)若 f (c) ? 0 ,则

c就是函数的零点;


(2)若 f (a) ? f (c) ? 0 ,则令 b ? c(此时零点 x0 ? (a, c) ; (3)若 f (c) ? f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x0 ? (c, b) ;
4.判断是否达到精度

?

即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ); 否则重复步骤2~4.

例1. 求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点

(精确度为0.01).
解:画出y=lnx及y=6-2x的图象,观察图象得, 方程lnx=6-2x有唯一解,记为

x1 ,且这个解

在区间(2,3)内。

列出下表:
根所在区间 区间端点函数值符号 中点值 中点函数值符号

(2,3)
(2.5,3)

f(2)<0,f(3)>0
f(2.5)<0,f(3)>0

2.5
2.75

f(2.5)<0
f(2.75)>0

(2.5,2.75) (2.5,2.625)

f(2.5)<0,f(2.75)>0 2.625 2.5625
2.53125 2.546875 2.5390625

f(2.625)>0 f(2.5625)>0
f(2.53125)<0 f(2.546875)>0 f(2.5390625)>0

f(2.5)<0,f(2.625)>0 f(2.5)<0 (2.5,2.5625) f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 (2.53125,2.5625) f(2.5625)>0 f(2.53125)<0 (2.53125,2.546875) f(2.546875)>0 (2.53125,.5390625)
f(2.53125)<0, f(2.5390625)>0

由于 2.5390625 ? 2.53125 ? 0.0078125 ? 0.01
所以,可以将 x ? 2.53125 作为函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 零点的近似值,也即方程 ln x ? 2x ? 6 ? 0 的近似根 点评:由函数的零点与相应方程根的关系,我们可以 用二分法来求方程的近似解。 由于计算量较大,而且是重复相同的步骤,因此可以通 过设计一定的计算程序,借助计算器或计算机完成计算。

利用计算器,求方程 lgx=3-x的近似解.(精确到0.1) 解:画出y=lgx及y=3-x的图象,观察图象得,方程 lgx=3-x有唯一解,记为x, 且这个解在区间(2,3)内。
y

设 f(x)=lgx+x-3
O

y=lgx

x

y=3-x

列出下表:
根所在区间 (2 ,3 ) (2.5,3) (2.5,2.75) (2.5,2.625) 区间端点函数值符号 f(2)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(3)>0 f(2.5)<0,f(2.75)>0 中点值 2.5 2.75 2.625 中点函数值符号 f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)<0

f(2.5)<0,f(2.625)>0 2.5625

f(2.5625)<0, (2.5625,2.625) f(2.625)>0

因为2.5625,2.625精确到0.1的近似值都为2.6,所以原方程的

近似解为x1≈2.6 .

方法点评 用二分法求方程 f(x)=0(或g(x)=h(x))近似解的基本 步骤: 1.寻找解所在区间

(1)图象法 先画出y = f(x)图象,观察图象与x轴的交点横坐标所 处的范围; 或画出y=g(x)和y=h(x)的图象,观察两图象的交点横坐 标的范围. (2)函数法 把方程均转换为 f(x)=0的形式,再利用函数y=f(x) 的有关性质(如单调性)来判断解所在的区间.

2.判断二分解所在的区间 若x1 ? (a,b),不妨设f(a)<0,f(b)>0

(1)若 (2)若

a?b f( )?0 2 a?b f( )?0 2 a?b f( )?0 2

由f(a)<0 ,

则 x1 ? (a,

a?b ) 2

则f(b)>0 , 则 由
x1 ? a?b 2

a?b x1 ? ( , b) 2

(3)若



对(1)、(2)两种情形再继续求二分解所在的区间.

3.根据精确度得出近似解 当x1 ? (m,n),且m, n根据精确度得到的近似值均为同 一个值P时,则x1≈P ,即求得近似解。

例2.借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近 似解(精确度0.1) 解:原方程即2x+3x=7,令f(x)= 2x+3x-7,用计算器 作出函数f(x)= 2x+3x-7的对应值表和图象如下: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

f(x)

-6

-2

3

10

21

40

75

142

273

因为f(1)·f(2)<0所以 f(x)= 2x+3x-7在(1,2)内 有零点x0,取(1,2)的中点x1=1.5,f(1.5)≈ 0.33, 因为f(1)·f(1.5)<0 所以x0 ∈(1,1.5) 取(1,1.5)的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87,因

为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5)
同理可得,x0∈(1.375,1.5),x0∈(1.375, 1.4375),由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1

所以,原方程的近似解可取为1.4375

3 2 f (x) ? x ? 1.1x ? 0.9x ? 1.4 练习1:用二分法求函数

在区间(0,1)内的零点(精确到0.1) 解: 由题设可知:

f (0) ? ?1.4 ? 0,f (1) ? 1.6 ? 0, 则f (0) ? f (1) ? 0
所以,函数 f (x) 区间(0,1)内有一个零点.

下面用二分法求函数在区间(0,1)内的零点

取区间(0,1)的中点

x1 ? 0.5, 得f (0.5) ? ?0.55

因为f (0.5) ? f (1) ? 0, 所以x 0 ? (0.5,1).
再取区间(0.5,1)的中点 x 2 ? 0.75, 得f (0.75) ? 0.32

因为f (0.5) ? f (0.75) ? 0, 所以x 0 ? (0.5,0.75).

同理x 0 ? (0.625,0.75), x 0 ? (0.625,0.6875)

x 0 ? (0.65625,0.6875) 0.6875 ? 0.65625 ? 0.03125 ? 0.1
所以近似零点可取为0.6

练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分 法求其零点的是( C )

y
0

y x
0

y x
0

y x
0

x

思考:根据练习2,请思考利用二分法求函数零点的条件 是什么? 1.函数y=f(x)在[a,b]上连续不断. 2.y=f(x)满足f(a)f(b)<0,则在(a,b)内必有零点.

思考:对下列图象中的函数,能否用二分法求函数零 点的近似值?为什么? y y

o x o x

不行,因为不满足 f(a)*f(b)<0

1.二分法的原理 2.二分法的应用:求方程近似解

世间没有一种具有真正价值的东西,可以 不经过艰苦辛勤的劳动而得到。


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