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1.2.2 直角三角形(2)


1.2 直角三角形(2) 直角三角形全等的证明

回顾 & 思考 1
三角形全等的判定 ?公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). ?公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). ?公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). ?推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS). ?想一想: ?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等?

?两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.
?如果其中一边的所对的角是直角呢? ?如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等.

?请证明你的结论.

我能行 命题的证明

1

?命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等. ?证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图: B B′ B′

(2) (1) 由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; ?因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!

A



C A′



C′ A′



(3) C′

我能行

2

命题的证明 ?两边分别相等且其中一组等边的对角分别相等的两个三角形不 一定全等.但如果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形 全等. ?已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900. ?求证:△ABC≌△A′B′C′. B B′ ?分析: ?要证明△ABC≌△A′B′C′ , 只要能满足公理 (SSS),(SAS),(ASA)和推论 C A C′ A′ (AAS)中的一个即可.由已知和 根据勾股定理易知,第三条边 也对应相等.

做一做
已知一条直角边和斜边,求作一个直角三角形. 已知:如图,线段a,c(a<c), 直角 .

?


求作:Rt △ABC,使∠C= ∠

? ,AB=c. BC=a

小明的作法如下: (1)作∠MCN= ∠ ? =90° (2)在射线CM上截取CB=a.

(3)以点B为圆心,线段 (4)连接AB,得到Rt △ABC. c的长为半径作弧,交射 线CN与点A.

你作的直角三角形与小明作的全等吗?

我能行

3

直角三角形全等的判定定理
?定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(斜

边,直角边或HL). ?如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ?∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ?∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). B B′

C

A C′

A′

B

B′

C

A C′

A′

证明:在△ABC中, ∵∠C=90°,

∴BC2=AB2-AC2(勾股定理).
同理,B′C′2-A′B′2-A′C′2. ∵AB=A′B′,AC=A′C′, ∴BC=B′C′. ∴ △ABC ≌ △A′B′C′(SSS).



如图,有两个长度相等的滑梯,左边滑梯的高度AC与右

边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F
的大小有什么关系? 解:根据题意,可知 ∠BAC= ∠EDF=90°,

∴Rt △BAC ≌Rt △EDF(HL)
∴ ∠B= ∠DEF(全等三角形的对应角相等) ∵ ∠DEF+ ∠F=90°(直角三角形的两锐角互余) ∴ ∠B+ ∠F=90°.

议一议
?如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什 么条件?把它们分别写出来.
?增加AC=BD; ?增加BC=AD; ?增加∠ABC=∠BAD ?增加∠CAB=∠DBA

C ; A

O

D

; ?你能分别写出它们的证明过程吗?

B

?若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?

?你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?
?你能分别写出它们的证明过程吗?

判断下列命题的真假,并说明理由: ?两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ?斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; ?两直角边对应相等的两个直角三角形全等;

?一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直 角三角形全等. ?老师期望: ?请分别将每个判断的证明过程书写出来.

小结
?

拓展

?

? ? ? ?
?

? ? ? ?

直角三角形全等的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等(SSS). 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS). 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA). 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 (AAS). 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形 不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!!!

P21习题1.6

?1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. ?求证: △ABC是等腰三角形. 分析:要证明△ABC是等腰三角形, 就需要证明AB=AC; F B

A

E D C

从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;

而△BDF≌△CDE的条件:
BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证. ?老师期望: ?请将证明过程规范化书写出来.

?2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别 为E,F,DE=BF. D ?求证:(1)AE=CF;(2)AB∥CD. 分析:(1)要证明AE=CF, E A

C F B

由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF.可证得 △ABF≌△CDE,从而可得AF=CE. 由此AE=CF可证. (2)要证明AB∥CD, 需要证明内错角∠A=∠C; 而由△ABF≌△CDE可得证. 老师期望:请将证明过程规范化书写出来.


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