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江苏省2012届高考数学二轮复习专题训练:专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用

专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语

1. 命题“

,有 x2>0”的否定是______________.

2. 已知集合 M={x|x<3},N={x|log2x>1},则 M∩N=________. 3. 若命题“ ________. ∈R ,使得 x2 + (a - 1)x + 1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是

1 1 4. 若集合 A={y|y=x ,-1≤x≤1},B={y|y=2- ,0<x≤1},则 A∩B=________. 3 x
? 1 4 b- ≤x≤b 5. 已知 a,b 均为实数,设集合 A=xa≤x≤a+ ,B=?x? 3 ? 5 ? ? ?,且 A、B 都 ?

是集合{x|0≤x≤1}的子集. 如果把 n-m 叫做集合{x|m≤x≤n}的“长度”, 那么集合 A∩B 的“长度”的最小值是________. 6. 已知条件 p:x2+x-6<0,条件 q:mx+1>0(关于 x 的不等式),且 p 是 q 的充分不 必要条件,则实数 m 的取值范围是________________. 7. 某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱兵乓球运动,8 人对这两项运动 都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 8. 设集合 M={(x,y)|y= 16-x2},N={(x,y)|y=x+a},若 M∩N= ,则实数 a 的取值范围是______________.

9.记函数 f(x)= B.

2-

x+3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为 x+1

(1) 求集合 A; (2) 若 求实数 a 的取值范围.

10. 已知命题 p:x2+mx+1=0 有两个不等的负根,命题 q:4x2+4(m-2)x+1=0 无 实根,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.

第2讲 函数、图象及性质

1. 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x)=f(x+2)恒成立,当 x∈[-1,1]时,f(x)=x2, 则当 x∈[2,3]时,函数 f(x)的解析式为____________.

2. 函数 y=

x 在区间(1,+∞)内是减函数,则实数 m 的取值范围是________. x-m

1 3. 若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________. 2 -1

4. 定义在(-1,1)上的函数 f(x)=-5x+sinx,如果 f(1-a)+f(1-a2)>0,则实数 a 的取 值范围为________.

5. 函数 f(x)=

|x-2|-1 的定义域为________. log2?x-1?

1 1 6. 函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x+2)= ,若 f(2)= ,则 f(2 012)=________. 2 f?x?

7. 设函数 f(x)=|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称,则实数 a 的值为________.

8. 已知 t 为实常数,函数 y=|x2-2x-t|在区间[0,3]上的最大值为 2,则 t=________.

9. 已知 f(x)=3x,并且 f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x 的定义域为区间[-1,1](a∈R). (1) 求函数 g(x)的解析式; (2) 判断 g(x)的单调性; (3) 若方程 g(x)=m 有解,求实数 m 的取值范围.

10.设函数 f(x)对 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y),且 x>0 时,f(x)<0,f(1)=-2,

(1) 求证:f(x)是奇函数; (2) 试问在-3≤x≤3 时,f(x)是否有最值?如果有,求出最值,如果没有,说明理由.

第3讲 基本初等函数

1. lg22+lg2lg5+lg50=________.

2. y=loga(2-ax)(a>0,a≠1)在[0,1]上是关于 x 的减函数,则 a 的取值范围是________.

1 3. 不等式 2x2+2x-4≤ 的解集为________. 2

4. 函数 y=ax 2+1(a>0,a≠1)的图象必过定点坐标为________.


5. 函数 f(x)=-x2+2ax-1+a2 在区间(-∞,2]上是增函数,则实数 a 的取值范围是 ________.

6. 函数 f(x) = ax2 + bx + 3a + b 为偶函数,其定义域为 [a - 1,2a] ,则 f(x) 的值域为 ________.

7. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则 f(-25),f(11),f(80)的大小关系是________.

8. 函数 y=logax+1(a>0, a≠1)的图象恒过定点 A, 若点 A 在直线 mx+ny-1=0(mn>0) 1 1 上,则 + 的最小值为________. m n

1 9. 已知函数 f(x)= x2-x+3 在区间[-1,2]上的最大值 M,最小值 m,当实数 p 为何 2p 值时 2M+m=3.

10.函数 f(x)=loga(x-3a)(a>0 且 a≠1),当点 P(x,y)是函数 y=f(x)图象上的点时,Q(x -2a,-y)是函数 y=g(x)图象上的点. (1) 写出函数 y=g(x)的解析式; (2) 当 x∈[a+2,a+3]时,恒有|f(x)-g(x)|≤1,试确定 a 的取值范围.

第4讲 函数的实际应用

?3x,x≤1, ? 1. 已知函数 f(x)=? 若 f(x)=2,则 x=________. ?-x,x>1, ?

2. 一种新型电子产品投产,计划两年后使成本降低 36%,那么平均每年应降低成本 ________.

3. 方程 x2-2mx+m2-1=0 的一根在(0,1)内,另一根在(2,3)内,则实数 m 的取值范围 是________.

4. 若函数 f(x)=ax-x-a (a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________.

5. 某公司将进价 8 元/个的商品按 10 元/个销售,每天可卖 100 个,若这种商品的销售 价每个上涨 1 元,销售量就减少 10 个,为了获得最大利润,此商品的销售价应定为每个 ________元.

6. 已知函数 f(x)=ax+2a+1,当 x∈[-1,1]时,f(x)有正值也有负值,则实数 a 的取值 范围是________________.

7.

函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图象关于直线 x=1 对称,则 b=________.

8. 设函数 f(x)=-|x|x2+bx2+c,则下列命题中所有正确命题的序号是________. ①当 b<0 时,f(x)在 R 上有最大值;②函数 f(x)的图象关于点(0,c)对称;③方程 f(x) =0 可能有 4 个实根;④一定存在实数 a,使 f(x)在[a,+∞)上单调减.

9. 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c,(a,b,c∈R)满足:对任意实数 x,都有 f(x)≥x, 1 且当 x∈(1,3)时,有 f(x)≤ (x+2)2 成立. 8 (1) 证明:f(2)=2; (2) 若 f(-2)=0,求函数 f(x)的表达式; m (3) 在(2)的条件下,设 g(x)=f(x)- x,x∈[0,+∞),若 g(x)图象上的点都位于直线 y 2 1 = 的上方,求实数 m 的取值范围. 4

? ?0.1+15lna-x,?x≤6?, 10.有时可用函数 f(x)=? x-4.4 ? x-4 ,?x>6? ?

a

描述学习某学科知识的掌握程度,

其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数 a 与 学科知识有关. (1) 证明:当 x≥7 时,掌握程度的增加量 f(x+1)-f(x)总是下降; (2) 根据经验,学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为 (115,121], (121,127] , 41 (127,133].当学习某学科知识 6 次时,掌握程度是 85%,请确定相应的学科.(取 e0.05≈ ) 39

第5讲 不等式及其应用

1. 二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表, 则不等式 ax2+bx+c>0 的解集 是________. x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6

ax-b 2. 已知关于 x 的不等式 ax+b<0 的解集是(1,+∞),则关于 x 的不等式 >0 的解 x-2 集是________.

3. 若变量 x,y 满足约束条件{3≤2x+y≤9, ________.

≤x-y≤9, 则 z=x+2y 的最小值为

4.已知 x,y∈R ,且 x+4y=1,则 x· y 的最大值为________.



1 4 5.若 x>0,y>0 且 + =1,则 x+y 的最小值是________. x y

6.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则实数 m 的取值范围是________.

7.已知变量 x,y 满足约束条件{x-y+2≤0, 是________.

≥1,

y +y-7≤0, 则 的取值范围 x

2x-1 n 8. 对一切正整数 n,不等式 > 恒成立,则实数 x 的取值范围是________. |x| n+1

9. 某隧道长 2 150 米,通过隧道的车速不能超过 20 米/秒.一个由 55 辆车身长都为 10 米的同一车型组成的运输车队匀速通过该隧道.设车队的速度为 x 米/秒,根据安全和车流 a 2 1 ? 1 的需要,相邻两车均保持? ?6x +3x?米的距离,其中 a 为常数且2≤a≤1,自第一辆车车头进 入隧道至第 55 辆车车尾离开隧道所用时间为 y(秒) . (1) 将 y 表示为 x 的函数; (2) 求车队通过隧道所用时间取最小值时车队的速度.

10.已知函数 f(x)=3x2+bx+c,不等式 f(x)>0 的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞). (1) 求函数 f(x)的解析式; (2) 已知函数 g(x)=f(x)+mx-2 在(2,+∞)上单调增,求实数 m 的取值范围; (3) 若对于任意的 x∈[-2,2],f(x)+n≤3 都成立,求实数 n 的最大值.

第6讲 导数及其应用

1. 设 y=f(x)是二次函数, 方程 f(x)=0 有两个相等的实根, 且 f′(x)=2x+2, 则 y=f(x) 的表达式是________________.

(第 2 题) 2. 如图,函数 y=f(x)的图象在点 P 处的切线是 l,则 f(2)+f′(2)=________.

3. 曲线 y=x3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为________.

2 4. 设点 P 是曲线 y=x3- 3x+ 上的任意一点, 在 P 点处切线倾斜角为 α, 则角 α 的取 3 值范围是________.

5. 已知函数 f(x)=lnx+2x2+ax+1 是单调递增函数,则实数 a 的取值范围是________

6. 已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M -m=________.

7. 若方程 x3-3x+a=0 有 3 个不同的实根,则实数 a 的取值范围是________.

8. 已知函数 f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1, 1]总有 f(x)≥0 成立, 则实数 a=________.

9. 设 t≠0,点 P(t,0)是函数 f(x)=x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图象的一个公共点,两函数 的图象在点 P 处有相同的切线. (1) 用 t 表示 a,b,c; (2) 若函数 y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减,求实数 t 的取值范围.

10.已知 a>0,b∈R,函数 f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,f′(x),g′(x)是 f(x),g(x)的导 函数,若 f′(x)g′(x)≥0 在区间[-1,+∞)上恒成立. (1) 求实数 b 的取值范围; (2) 当 b 取最小值时,讨论函数 h(x)=f(x)-g(x)在[-1,+∞)上的单调性.

滚动练习(一) 1. 1? 幂函数 f(x)的图象过点? ?4,2?,那么 f(8)=________.

2.

命题“ x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是________. ,x≥0, 则不等式 x+(x+1)f(x+1)≤1 的解集

3. 已知函数 f(x)={-x+1,x<0, 是________.

x 4. 函数 f(x)= 的最大值为________. x+1 1 1 5. 函数 f(x)= ln( x2-3x+2+ -x2-3x+4)+ 的定义域为________. 2 x 6. 方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为________.


7. 对于满足 0≤a≤4 的实数 a,使 x2+ax>4x+a-3 恒成立的 x 取值范围是________. 8. 若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ ________. 9. 已知 f(3x)=4xlog23+233,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)的值等于________. 10. 设 a>1,对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax+logay=3,这时 a 的取值范围为________. 11. 如果条件 p:|x-4|≤6,条件 q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),且 不充分条件,求实数 m 的取值范围. p是 q 的必要而 15 x-9(a≠0)都相切,则实数 a= 4

12. 设二次函数 f(x)=x2+ax+a,方程 f(x)-x=0 的两实根 x1 和 x2 满足 0<x1<x2<1. (1) 求实数 a 的取值范围; 1 (2) 试比较 f(0)· f(1)-f(0)与 的大小 ,并说明理由. 16

13.水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表示时间,以月为单位,年初为起点,根据历年 数据,某水库的蓄水量 V(单位:亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 1 ? 2 V(t)=??-t +14t-40?e4t+50,0<t≤10,
?

?t-10??3t-41?+50,10<t≤12.

(1) 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期.以 i-1<t<i 表示第 i 月份(i=1,2,?,

12),同一年内哪几个月份是枯水期? (2) 求一年内该水库的最大蓄水量(取 e≈2.7 计算).

14.已知函数 f(x)= 1 ? 1 ?x+ ,x∈[-2,-1?, -2,x∈?-1, ?, 2? ? x ? 1 ? 1 - ,x∈? ?2,2?. x

(1) 求 f(x)的值域; (2) 设函数 g(x)=ax-2,x∈[-2,2],若对于任意 x1∈[-2,2],总存在 x0∈[-2,2],使 得 g(x0)=f(x1)成立,求实数 a 的取值范围.

专题一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用 第 1 讲 集合与简单逻辑用语 2 <0,有 x ≤0 2. (2,3) 解析:M=(-∞,3),N=(2,+∞),∴ M∩N=(2,3). 3. (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:不等式对应的二次函数开口向上,则 Δ=(a-1)2-4 >0. 4. [-1,1] 解析:集合 A=[-1,1],B=(-∞,1],∴ A∩B=A. 2 5. 15 0≤a, ? ? 解析:? 4 ? ?a+5≤1

? 1 1 ?b-3≥0, ≤a≤ ,? 5 ? ?b≤1

1 ≤b≤1,利用数轴,分类讨论可 3

1 1 2 得集合 A∩B 的“长度”的最小值为 - = . 3 5 15 1 1? 2 6. ? ?-2,3? 解析:p:x +x-6<0 为真,则不等式的解集为 A=(-3,2),由 q:mx 1 ? +1>0 得 m=0 时,解集为 B=R,m>0 时,解集为 B=? ?-m,+∞?,m<0 时,解集为 1? B=? ?-∞,-m?,m=0 时, 1 1 1 - , ?. - ≤m<0,综上 m∈? ? 2 3? 2 7. 12 解析: 这是一个典型的用韦恩图来求解的问题, 如图. 设两者都喜欢的人数为 x, 则只喜爱篮球的有 15-x, 只喜爱乒乓球的有 10-x, 由此可得(15-x)+(10-x)+x+8=30, 解得 x=3,所以 15-x=12,即所求人数为 12. 1 1 1 成立;m>0 时,- ≤-3,0<m≤ ;m<0 时,- ≥2, m 3 m

8. (-∞,-4)∪(4 2,+∞) 解析:两集合分别表示半圆和直线,画图利用几何性质 可得答案.

x+3 9. 解:(1) 2- ≥ x+1

2x+2-?x+3? ≥ x+1

x-1 ≥ x+1

-1)(x+1)≥0 且 x≠-

≥1

或 x<-1.∴ 集合 A={x|x≥1 或 x<-1}. (2) (x-a-1)(2a-x)> -a-1)(x-2a)<0.∵ a<1,∴ 2a<a+1.∴ 2a<x<a +1.∴ 不等式的解为 2a<x<a+1.∴ 集合 B={x|2a<x<a+1}.∵ ,∴ 2a≥1 或 a+ 1 ? 1 1≤-1,∴ a≥ 或 a≤-2.又 a<1,则实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪? ?2,1?. 2
2 ? ?m -4>0, 10. 解:若命题 p 为真,则? ?-m<0 ?

>2.若命题 q 为真,Δ=16(m-2)2-16<

0,1<m<3.p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以若命题 p 为真,命题 q 为假,则 m≥3;若命题 p 为假,命题 q 为真,则 1<m≤2,综上,则实数 m 的取值范围是{m|1<m≤2 或 m≥3}. 第 2 讲 函数、图象及性质 2 1. f(x)=(x-2) 解析: 函数满足 f(x)=f(x+2), 函数周期为 2.则 x∈[2,3], x-2∈[0,1], 2 f(x)=f(x-2)=(x-2) . 2. (0,1] 解析:y= 数求得. 1 3. 2 1 2x 解析:f(-x)= -x +a= +a,f(-x)=-f(x) 2 -1 1-2x 1 2x 1 = - =1,故 a= ;也可用特殊值代入,但要 2 1-2x 1-2x x m =1+ ,由反比例函数性质可得到 0<m≤1;也可以用导 x-m x-m

2x ? 1 +a? x+a=- x ?2 -1 ? 1-2 检验. 4. 1<a< 2

解析:函数为奇函数,在(-1,1)上单调递减,f(1-a)+f(1-a2)>0,得 f(1

-1<1-a<1, ? ? 2 -a)>f(a2-1).∴ ?-1<1-a <1 ? ?1-a<a2-1



<a< 2.

|x-2|-1≥0, ? ? 5. [3,+∞) 解析:?x-1>0, ? ?x-1≠1

x-2≥1或x-2≤-1, ? ? ?x>1, ? ?x≠2

≥3.

1 1 6. 2 解析:函数满足 f(x+2)= ,故 f(x+4)= =f(x),函数周期为 4,f(2 012) f?x? f?x+2? 1 =f(0),又 f(2)= ,∴ f(0)=2. f?0? a+?-1? 7. 3 解析:画图可知 =1,a=3,也可利用 f(0)=f(2)求得,但要检验. 2 8. 1 解析:由 y=|x2-2x-t|得 y=|(x-1)2-1-t|,函数最大值只能在 y(0),y(1),y(3) 中取得,讨论可得只有 t=1 时成立. + a 9. 解:(1) ∵ f(a+2)=18,f(x)=3x,∴ 3a 2= =2, a x x x x ∴ g(x)=(3 ) -4 =2 -4 ,x∈[-1,1]. 1 1 1 2x- ?2+ ,当 x∈[-1,1]时,2x∈? ,2?,令 t=2x,∴ y= (2) g(x)=-(2x)2+2x=-? 2? 4 ? ?2 ?

1?2 1 x ?1 ? -t2+t=-? ?t-2? +4,由二次函数单调性知当 t∈?2,2?时 y 是减函数,又 t=2 在[-1,1] 上是增函数,∴ 函数 g(x)在[-1,1]上是减函数.(也可用导数的方法证明) 1 ? (3) 由(2)知 t=2x,2x∈? ?2,2?,则方程 g(x)=m 有解 在[-1,1]内有解 =2x-4x

1?2 1 ?1 ? =t-t2=-? ?t-2? +4,t∈?2,2?,

1? ∴ m 的取值范围是? ?-2,4?. 10. (1) 证明:取 x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),∴ f(0)=0,取 y=-x,则 f(0)=f(x)+f(- x),∴ f(-x)=-f(x),故 f(x)是奇函数. (2)解: 任取 x2>x1,则 x2-x1>0,∴ f(x2-x1)<0,又 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2) -f(x1)<0,∴ f(x2)<f(x1),f(x)在[-3,3]上单调递减,f(-3)=-f(3)=-3f(1)=6,∴ f(x) 在[-3,3]上的最大值 f(-3)=6,最小值 f(3)=-6. 第 3 讲 基本初等函数 2 1. 2 解析:lg 2+lg2lg5+lg50=lg2(lg2+lg5)+lg5+lg10=lg2lg(2· 5)+lg5+1=2.
? ?a>1, 2. a∈(1,2) 解析:y=loga(2-ax)是[0,1]上关于 x 的减函数,∴ ? ?2-a>0 ?

<a<2.

1 3. [-3,1] 解析:2x2+2x-4≤ 2 -3≤x≤-1. 4. (2,2)

2

+2x-4≤2

-1

2

+2x-4≤-

2

+2x-3≤

2a 5. a≥2 解析: 二次函数 f(x)=-x2+2ax-1+a2 开口向下,对称轴 x=- =a,则 -2 a≥2. 31? 6. ? ?1,27? 1 1 解析:f(x)为偶函数,则 b=0,又 a-1+2a=0,∴ a= ,f(x)= x2+1 在 3 3

?-2,2?上的值域为?1,31?. ? 3 3? ? 27?
7. f(-25)<f(80)<f(11) 解析:∵ f(x-4)=-f(x),∴ f(x-4)=f(x+4),∴ 函数周期 T=8.∵ f(x)为奇函数, 在区间[0,2]上是增函数, ∴ f(x)在[-2,2]上是增函数. 则 f(-25)=f(- 1),f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1),f(80)=f(0).∵ f(-1)<f(0)<f(1),∴ f(-25)<f(80)<f(11). 8. 4 解析: 函数图象恒过定点(1,1), 从而 m+n=1, 又 mn>0, ∴ n m 1 1 =2+ + ≥4,当且仅当 m=n 时取等号, + 的最小值为 4. m n m n 1 1 p 9. 解:f(x)= x2-x+3= (x-p)2+3- . 2p 2p 2 1 2 ① p≤-1 时, f(x)在[-1,2]上递减, M=f(-1)= +4, m=f(2)= +1, 由 2M+m=3, 2p p 1 得 p=- (舍). 2 1 1 m+n m+n + = + m n m n

p 2 ② -1<p<0,M=f(p)=3- ,m=f(2)= +1,由 2M+m=3,得 p=2- 6,p=2 2 p + 6(舍). 1 ③ 0<p< ,M=f(2),m=f(p),由 2M+m=3,得 p=2± 2 3(舍). 2 1 ④ ≤p≤2,M=f(-1),m=f(p)由 2M+m=3,得 p=8± 66(舍). 2 1 ⑤ p>2,M=f(-1),m=f(2)由 2M+m=3,得 p=- (舍). 2 综上,当 p=2- 6时,2M+m=3 成立. 10. 解: (1) 设 P(x0 , y0) 是 y= f(x) 图象上的点, Q(x , y) 是 y= g(x) 图象上的点,则
?x=x0-2a, ?x0=x+2a, ? ? ? ∴ ? 又 y0=loga(x0-3a),∴ -y=loga?x+2a-3a? , ? ? ?y=-y0. ?y0=-y.

∴ y=loga

1 1 (x>a),即 y=g(x)=loga (x>a). x-a x-a

? ?x-3a>0, (2) ∵ ? ∴ x>3a,∵ f(x)与 g(x)在 x∈[a+2,a+3]上有意义,∴ 3a<a+ ?x-a>0, ?

2,0 < a < 1 , ∵ |f(x) - g(x)|≤1 恒 成 立 , ∴ |loga(x - 3a)(x - a)|≤1 恒 成 立 . ∴
?-1≤loga[?x-2a?2-a2]≤1, ? ? ? ?0<a<1

1 ≤(x-2a)2-a2≤ .对 x∈[a+2,a+3]时恒成立,令 h(x) a

=(x-2a)2-a2,其对称轴 x=2a,2a<2,而 2<a+2,∴ 当 x∈[a+2,a+3]时,h(x)min=h(a +2),h(x)max=h(a+3). a≤h?x?min, ? ? ∴ ?1 ?a≥h?x?max ? a≤4-4a, ? ? ?1 ?a≥9-6a ? 9- 57 <a≤ . 12

第 4 讲 函数的实际应用 1. log32 解析:本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值.
?x≤1, ? 由? x ? ?3 =2 ?x>1, ? =log32 或? 无解,故应填 log32. ? ?-x=2

2. 20% 解析:设该产品初始成本为 a,每年平均降低百分比为 p,则 a(1-p)2=0.64a, ∴ p=0.2. f?0?>0, ? ?f?1?<0, 解析:令 f(x)=x -2mx+m -1,则? f?2?<0, ? ?f?3?>0.
2 2

3. m∈(1,2)

解得 1<m<2.

4. a>1 解析: 设函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)和函数 y=x+a, 则函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点, 就是函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图象可 知当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合要求,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)的图 象过点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实 数 a 的取值范围是 a>1. 5. 14 解析:设每个销售定价为 x 元,此时销售量为 100-10(x-10),则利润 y=(x- 8)[100-10(x-10)]=10(x-8)(20-x)≤10?

?

x-8+20-x?2 2 ? =360,当且仅当 x=14 时取等号.

1? 6. ? ?-1,-3?

1 解析:由题意得 f(1)· f(-1)<0,即(3a+1)(a+1)<0,-1<a<- . 3

7. 6

2 =1, ?-a+ 2 解析:? a+b ? 2 =1

=6.

8. ①③④ 解析:函数 f(x)=-|x|x2+bx2+c 为偶函数,当 x≥0 时,f(x)=-x3+bx2+ 2b? c,b<0,∴ f′(x)=-3x? ?x- 3 ?≤0 对 x∈[0,+∞)恒成立,∴ x=0 时,f(x)在 R 上有最 大值,f(0)=c;由于 f(x)为偶函数,②不正确;取 b=3,c=-2③正确;若 b<0,取 a=0, 2b 若 b≥0,取 a= ,故一定存在实数 a,使 f(x)在[a,+∞)上单调减. 3 9. (1)证明:由条件知 f(2)=4a+2b+c≥2 恒成立. 1 又∵ x=2 时,f(2)=4a+2b+c≤ (2+2)2=2 恒成立,∴ f(2)=2. 8
? ?4a+2b+c=2, 1 (2)解: ∵ ? ∴ 4a+c=2b=1,∴ b= ,c=1-4a. 2 ?4a-2b+c=0, ?

又 f(x)≥x 恒成立,即 ax2+(b-1)x+c≥0 恒成立. 1 ?2 2 ∴ a>0,Δ=? ?2-1? -4a(1-4a)≤0,∴(8a-1) ≤0. 1 1 1 1 1 1 解得:a= ,b= ,c= ,∴ f(x)= x2+ x+ . 8 2 2 8 2 2

(3)解:(解法 1) 由分析条件知道,只要 f(x)图象(在 y 轴右侧部分,包含与 y 轴交点)总 m 1 m 在直线 y = x + 上方即可,也就是直线的斜率 小于直线与抛物线相切时的斜率, 2 4 2

?y=8x +2x+2, ∴? m 1 ?y= 2 x+4,
2

1

1

1

解得 m∈?-∞,1+

?

2? . 2?

1 m? 1 1 1 (解法 2)g(x)= x2+? ?2- 2 ?x+2>4在 x∈[0,+∞)必须恒成立, 8 即 x2+4(1-m)x+2>0 在 x∈[0,+∞)恒成立. ① Δ<0,即[4(1-m)]2-8<0,解得:1- Δ≥0, ? ? ② ?-2?1-m?≤0, ? ?f?0?=2>0, 2 2 <m<1+ ; 2 2

解得:m≤1-

2 2 . 综上,m∈?-∞,1+ ?. 2 2? ?

0.4 10. (1)证明: 当 x≥7 时,f(x+1)-f(x)= , ?x-3??x-4? 而当 x≥7 时,函数 y=(x-3)(x-4)单调递增,且(x-3)(x-4)>0, 故 f(x+1)-f(x)单调递减, ∴ 当 x≥7 时,掌握程度的增长量 f(x+1)-f(x)总是下降. (2)解: 由题意可知 0.1+15ln a a =0.85,整理得 =e0.05, a-6 a-6

e0.05 解得 a= 0.05 · 6=20.50×6=123.0,123.0∈(121,127], e -1 由此可知,该学科是乙学科.

第 5 讲 不等式及其应用 1. (-∞,-2)∪(3,+∞) ax-b ax+a x+1 2. (-1,2) 解析:由已知得 a<0,b=-a, >0 即为 >0,得 <0,得- x-2 x-2 x-2 1<x<2. 3. -6 解析:作出可行域,求出凸点坐标分别为(3,-3),(4,-5),(5,-1),(6, -3),则最优解为(4,-5);或让直线 t=x+2y 平行移动,当直线过点(4,-5)时,目标函 数取最小值. 4. 1 16 解析:∵ x,y∈R ,∴ 1=x+4y≥2 x· 4y,∴ xy≤


1 ,当且仅当 x=4y,即 x 16

1 1 = ,y= 时取等号. 2 8 1 4? 1 4 y 4x 5. 9 解析:∵ x>0,y>0, + =1,∴ x+y=(x+y)? ?x+y?=5+x+ y ≥5+2 x y y 4x =9,当且仅当 = ,即 x=3,y=6 时取等号. x y 4? ? 4? 6. m≤-5 解析:x2+mx+4<0,x∈(1,2)可得 m<-? ?x+x?,而函数 y=-?x+x?在 (1,2)上单调增,∴ m≤-5. 9 ? 7. ? ?5,6? 5 9? 解析:变量 x,y 满足约束条件构成的区域是以(1,3),(1,6),? ?2,2?三点为 y 4x · x y

y y 9 ? ,6 顶点的三角形区域(含边界), 表示区域内的点与原点连线的斜率,∴ ∈? x x ?5 ? n 1 n 8. x≥1 解析: =1- <1,当 n 无限变大时, 的值趋近于 1,不等式要恒 n+1 n+1 n+1 2x-1 1 2x-1 n 1 成立,显然 x> , > 等价于 ≥1 且 x> ,故 x≥1. 2 |x| x 2 n+1 a 2 1 ? 2 150+10×55+? ?6x +3x??55-1? 2 700 1 9. 解: (1) y= = +9ax+18.(0<x≤20, ≤a≤1). x x 2 3 (2) 当 ≤a≤1 时,y≥2 4 2 700 · 9ax+18=180 3a+18. x 300 时取等号. a

2 700 当且仅当 =9ax,即 x= x 即当 x=

300 时,ymin=180 3a+18; a

1 3 2 700 当 ≤a< 时,y′=- 2 +9a<0,故 y=f(x)在(0,20]上是减函数, 2 4 x 故当 x=20 时,ymin= 2 700 +180a+18=153+180a. 20

1 3 答:若 ≤a< ,则当车队速度为 20 m/s 时,通过隧道所用时间最少; 2 4 3 若 ≤a≤1 时,则当车队速度为 4 300 m/s 时,通过隧道所用时间最少. a

?f?0?=0, ? 10. 解:(1) ? ? ?f?-2?=0

?b=6, ? ? ∴ f(x)=3x2+6x; ? ?c=0,

?1+m??2-2-3×?1+m?2,-?1+m?≤2,m≥-18; (2) g(x)=3? x + ? ? 6 ?? ? 6? ? 6?
(3) f(x)+n≤3 即 n≤-3x2-6x+3,而 x∈[-2,2]时,函数 y=-3x2-6x+3 的最小值 为-21,∴ n≤-21,实数 n 的最大值为-21. 第 6 讲 导数及其应用 2 1. f(x)=x +2x+1 2. 9 8 4.5 9 9 9 9 解析:f′(2)= =- ,切线方程为 y=- x+ ,∴ f(2)= . 8 8 2 4 -4

3. y=x-1 解析:y′=3x2-2,k=y′x=1=1,则切线方程 y-0=1· (x-1), ∴ x-y-1=0. π 2π π 0, ?∪? ,π? 解析:y′=3x2- 3≥- 3,∴ tanα≥- 3,0≤α<π 且 α≠ , 4. ? 2 3 ? ? ? ? 2 结合正切函数图象可得答案. 5. a≥-4 解析: 1 1 ∈(0,+∞),f′(x)= +4x+a≥0 恒成立,由基本不等式 +4x x x

1 +a≥4+a,当且仅当 x= 时取等号,∴ a+4≥0,∴ a≥-4. 2 6. 32 解析:f(x)=x3-12x+8,f′(x)=3(x-2)(x+2),则 f(x)的单调增区间是[-3, -2]∪[2,3],减区间是[-2,2],f(-3)=17,f(2)=-8,f(3)=-1,f(-2)=24,∴ M=24, m=-8. 7. (-2,2) 解析:设 f(x)=x3-3x+a,f′(x)=3(x+1)(x-1),f(x)在 x=-1 取极大值,
?f?-1?>0, ? 在 x=1 时取极小值,? ?f?1?<0 ? ?a+2>0, ? ? ?a-2<0 ?

-2<a<2.

8. 4 解析:若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立;当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x) 3 1 =ax3-3x+1≥0 可化为,a≥ 2- 3, x x 3?1-2x? 1? 1 ? 3 1 设 g(x)= 2- 3, 则 g′(x)= , 所以 g(x)在区间? 在区间? ?0,2?上单调递增, ?2,1? x x x4 1? 上单调递减,因此 g(x)max=g? ?2?=4,从而 a≥4; 3 1 3 1 当 x<0 即 x∈[-1,0)时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤ 2- 3, 设 g(x)= 2- 3, 则 g′(x) x x x x 3?1-2x? = >0,显然 g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4, x4 综上,a=4. 9. 解:(1) 因为函数 f(x),g(x)的图象都过点(t,0),所以 f(t)=0,即 t3+at=0.因为 t≠0, 所以 a=-t2.g(t)=0,即 bt2+c=0,所以 c=ab.又因为 f(x),g(x)在点(t,0)处有相同的切线, 所以 f′(t)=g′(t)而 f′(x)=3x2+a,g′(x)=2bx,所以 3t2+a=2bt.将 a=-t2 代入上式得 b=t.因此 c=ab=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3. (2) y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3, y′=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t), 因为函数 y=f(x)

?y′x=-1≤0, ??-3+t??-1-t?≤0, ? ? -g(x)在(-1,3)上单调递减,所以? 即? 解得 t≤-9 或 ? ? ?y′x=3≤0. ??9+t??3-t?≤0,

t≥3.所以 t 的取值范围为(-∞,-9]∪[3,+∞). 10. 解:(1) ∵ f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,∴ f′(x)=3x2+a,g′(x)=2x+b. ∈[-1,+∞),f′(x)g′(x)≥0,即 ∈[-1,+∞),(3x2+a)(2x+b)≥0,∵ a>0, ∴3x2+a>0,∴ ∈[-1,+∞),2x+b≥0,即∴ ∈[-1,+∞),b≥-2x,∴ b≥2, 则所求实数 b 的取值范围是[2,+∞). 1?2 7 (2) b 的最小值为 2,h(x)=x3-x2+ax-2x,h′(x)=3x2-2x+a-2=3? ?x-3? +a-3. 7 当 a≥ 时,h′(x)=3x2-2x+a-2≥0 对 x∈[-1,+∞)恒成立,h(x)在[-1,+∞)上单调 3 1± 7-3a 7 增,当 0 < a < 时,由 h′(x) = 3x2 - 2x + a - 2 = 0 得, x = >- 1 ,∴h(x) 在 3 3 1- 7-3a? ? ?1- 7-3a 1+ 7-3a?上单调减, ?1+ 7-3a ? 在? 在? ?-1, ?上单调增, ? , ,+∞? 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? 上单调增.

滚动练习(一) 1. 2 4 1 1 1 2 解析:f(x)=xα,f(4)= ,α=- ,f(x)=x- ,f(8)= . 2 2 2 4

∈R,都有 x2+2x+5≠0 3. (-∞,0] 解析:x<-1 时,不等式可化为 x+(x+1)(-x-1+1)≤1,-x2≤1,∴ x<-1;x≥-1 时,不等式可化为 x+x+1≤1,x≤0,∴ -1≤x≤0,综上 x≤0. 4. 1 2 x 解析:考虑 x>0 时,f(x)= = x+1
2

1 ≤ ,当且仅当 x=1 时取等号. 1 2 x+ x

1

x -3x+2≥0, ? ? 2 5. [-4,0)∪(0,1) 解析:?-x -3x+4≥0, ? ?x≠0.

上面式中等号不能同时成立.

1?x 2 6. 2 解析:在同一个直角坐标系中作出函数 y=? ?2? ,y=3-x 的图象,两个函数图象 有两个交点. 7. (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析:x2+ax>4x+a-3 可化为(x-1)a+x2-4x+3>0 对
? ?f?0?>0, a∈[0,4]恒成立,设 f(a)=(x-1)a+x2-4x+3,∴ ? 解得 x<-1 或 x>3. ?f?4?>0. ?

25 8. -1 或- 解析: 设过(1,0)的直线与 y=x3 相切于点(x0,x3 0),所以切线方程为 y 64 3 2 2 3 -x3 0=3x0(x-x0),即 y=3x0x-2x0,又(1,0)在切线上,则 x0=0 或 x0= ,当 x0=0 时,由 2 直线 y=0 与抛物线 y=ax2+ 15 25 3 27 27 x-9 相切可得 a=- ,当 x0= 时,由直线 y= x- 与 4 64 2 4 4

15 曲线 y=ax2+ x-9 相切可得 a=-1. 4 9. 2 008 解析: 令 3x=t,则 x=log3t,则 f(2)+f(4)+f(8)+?+f(28)=4log23(log321 +8 )+233×8=2 008.
+2+?

a3 a3 10. a≥2 解析:由 logax+logay=3,得 y= ,函数 y= 在 x∈[a,2a]上单调递减,得 x x a3 a3? a3 a3 , ,由题知? , ? 其值域为? ?2a a ? ?2a a ? ,a2],∴ a≥2.

11. 解:p 为真,则|x-4|≤6 的解集为 A=[-2,10],q 为真,x2-2x+1-m2≤0(m>0) 的解集为 B=[1-m,1+m],∵ p 是 q 的必要而不充分条件,∴ p 是 q 的充分而不必要 条件,∴ A=[- =[1-m,1+m],
? ?1+m≥10, ∴? 两式中等号不能同时成立,又 m>0,∴ m≥9. ?1-m≤-2. ?

12. 解:(1) 令 g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,

? a ?0<1- <1, 2 则由题意可得? g?1?>0, ? ?g?0?>0
Δ>0,

?a>0, ? ?-1<a<1, ? ?a<3-2 2或a>3+2 2

<a<3 -2 2.故所

求实数 a 的取值范围是(0,3-2 2). (2) f(0)· f(1)-f(0)=2a2, 令 h(a)=2a2.∵ 当 a>0 时 h(a)单调递增, ∴ 当 0<a<3-2 2时, 2 1 1 0<h(a)<h(3-2 2)=2(3-2 2)2=2(17-12 2)= < ,即 f(0)· f(1)-f(0)< . 16 17+12 2 16 1 13. 解:(1) ① 当 0<t≤10 时,V(t)=(-t2+14t-40)e t+50<50,化简得 t2-14t+40 4 >0,解得 t<4 或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4.② 当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-10)(3t- 41 41)+50<50,化简得(t-10)(3t-41)<0,解得 10<t< ,又 10<t≤12,故 10<t≤12.综 3 合得 0<t<4 或 10<t≤12;故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月共 5 个月. (2)由(1)知:V(t)的最大值只能在(4,10)内达到. 1 3 1 1 1 - t2+ t+4?=- e t(t+2)(t-8), 由 V′(t)=e t? 令 V′(t)=0, 解得 t=8(t=-2 舍去). 2 ? 4? 4 4 4 当 t 变化时,V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) (4,8) + 8 0 极大值 (8,10) -

由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V(8)=8e2+50=108.32(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是 108.32 亿立方米. 1 14. 解:(1) 当 x∈[-2,-1)时,f(x)=x+ 在[-2,-1)上是增函数(用导数判断),此 x 5 1 1 1 1 - ,-2?,当 x∈?-1, ?时,f(x)=-2,当 x∈? ,2?时,f(x)=x- 在? ,2?上 时 f(x)∈? 2? ? 2 ? ? ?2 ? x ?2 ? 3 3? ? 5 ? ? 3 3? 是增函数,此时 f(x)∈? ?-2,2?,∴ f(x)的值域为?-2,-2?∪?-2,2?. 5 ? ? 3 3? (2) ① 若 a=0,g(x)=-2,对于任意 x1∈[-2,2],f(x1)∈? ?-2,-2?∪?-2,2?,不存 在 x0∈[-2,2]使得 g(x0)=f(x1)都成立. ② 若当 a>0 时,g(x)=ax-2 在[-2,2]是增函数, 5 ? ? 3 3? 若存在 x0∈[- g(x)∈[-2a-2,2a-2], 任给 x1∈[-2,2], f(x1)∈? ?-2,-2?∪?-2,2?, 2,2],使得 g(x0)=f(x1)成立, 5 3 3 - ,-2?∪?- , ? 则? ? 2 ? ? 2 2? -2a-2,2a-2],

?-2a-2≤-2, ∴有? 3 ?2a-2≥2,

5

7 解得 a≥ . 4

③ 若 a<0,g(x)=ax-2 在[-2,2]上是减函数,g(x)∈[2a-2, 5 ? ? 3 3? -2a-2],任给 x1∈[-2,2],f(x1)∈? ?-2,-2?∪?-2,2?, 若存在 x0∈[-2,2]使得 g(x0)=f(x1)成立, 5 ? ? 3 3? 则? ?-2,-2?∪?-2,2?

-2,-2a-

?2a-2≤-2, ? 3 ?-2a-2≥2,

5

7 解得 a≤- . 4

7? ?7 ? 综上,实数 a 的取值范围是? ?-∞,-4?∪?4,+∞?.


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