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江门市2012年普通高中高三调研测试数学文科试题


江门市 2012 年普通高中高三调研测试


参考公式:⒈锥体的体积公式 V ?

学(文科)试



本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟.

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 1 ⒉数据 x1 , x1 ,?, x n 的方差 s 2 ? [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] . n

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ⒈集合 A ? ?( x , y) | x , y ? Z , 且 | x | ? | y |? 1?的元素个数为 A. 3 A. (e , ? ?) A. ? 2 ? i A. ? 2 A. ? 30 B. 4 B. [e , ? ?) B. 2 ? i C. 5 D. 6 D. (?? , e] D. ? 1? 2i ⒉函数 f ( x) ? ln x ? 1 的定义域为 C. (0 , e] ⒊已知复数 z 满足 ?1 ? i ?z ? 1 ? 3i ( i 是虚数单位) ,则 z ? C. 1? 2i ⒋等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S n ? n 2 ? 2n ? a ? 2 ,则常数 a ? B. 2 C. 0 D.不确定 ⒌已知平面向量 a ? (1 , 3) , b ? (?3 , x) ,且 a // b ,则 a ? b ? B. 20 C. 15 D.0 ⒍已知直线 l : x ? y ? m 经过原点,则直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 截得的弦长是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 2

x2 y2 ⒎已知点 F1 、 F2 分别是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的两个焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的 a b

直线与双曲线 C 交于 A 、 B 两点,若 ?ABF2 为等边三角形,则该双曲线的离心 率e ? A. 2 B. 2 3
x2 ?1 x ? 0 ”的

C.

2 3

D. 3

⒏已知 x ? R , x ? 1”是“ “ A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
文科数学 第 1 页 共 7 页

⒐某个锥体(图 1)的三视图 如图所示,根据图中标出的 尺寸, 这个锥体的侧面积 S ? A. 6 B. 2 13? C. 6 ? 13? D. 6 ? 2 13? (注:圆初中已学扇形面积) ⒑ ?a , b , c , d ? R , 定义行列式运算
a b c d ? ad ? bc 。 将函数 f ( x) ?
3 cos x 1 sin x
图1 2 俯视图 4 正视图 2 侧视图 3



图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则 ? 的最小值为 2? 5? ? ? A. B. C. D. 3 6 6 3 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) ⒒如图 2 是求 12 ? 22 ? 32 ? …+1002 值的程序框图, 则判断框中正整数 n ? .

⒓现有三台自动包装机,包装每袋 100 克药品。 为了解它们的质量,对它们包装出来的产品进行 抽样调查,将得到的数据分别绘制成频率分布直 方图(如图 3) ,根据直方图可知,这三台药品包装机的质量从高到低的顺序 是 .

图3

⒔锐角 ?ABC 中,a 、b 、c 是角 A 、B 、C 所对的边,(a 2 ? c 2 ? b 2 ) ? tan B ? 3ac , 则B? .

文科数学

第 2 页 共 7 页

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕(几何证明选讲选做题)如图 4,四边形 ABCD 中,
?A ? ?B ? 90 o , AD : AB : BC ? 3 : 4 : 6 , E 、 F 分

A E

D F

别是 AB 、 CD 上的点, AE : AB ? DF : DC ? 1 : 3 . 若四边形 ABCD 的周长为 1,则四边形 AEFD 的周长为 标方程为 ? ? 2 cos? ? 2 3 sin ? ,则圆心的极坐标为

B
图4

C


⒖(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,圆 C 的极坐 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(三角函数 14 分) 如图 5, 某地一天 6 ~ 16 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b , y / oC 其中 A ? 0 , ? ? 0 , 0 ? ? ? ? . ⑴求这一天 6 ~ 16 时的最大温差; 并估计 16 时的气温大概是多少 o C ? (结果精确到 0.1 o C ,参考数据: 2 ? 1.414 ,5
3 ? 1.732 ) .

15 ⑵根据图象确定这段曲线的函数解析式,

o
?5

6
10

14

16 x / h

⒘(本小题满分 12 分)

图5

某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问 卷进行统计,得到相关的数据如下表: 节能意识弱 节能意识强 总计 20 至 50 岁 大于 50 岁 总计 45 10 55 9 36 45 54 46 100

⑴由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? ⑵据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大 于 50 岁的有多少人? ⑶按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人, 求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率。
文科数学 第 3 页 共 7 页

⒙(本小题满分 14 分) 如图 6, 在四面体 PABC 中,PA ? PB ,CA ? CB ,D 、E 、F 、G 分别是 PA 、

AC 、 CB 、 BP 的中点.
⑴求证: D 、 E 、 F 、 G 四点共面; ⑵求证: PC ? AB ; ⑶若 ?ABC 和 PAB 都是等腰直角三角形, 且 AB ? 2 , PC ? 2 ,求四面体 PABC 的体积.

P
D

G

A
E

B F
C
图6

⒚(本小题满分 12 分)

x2 y2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率为 ,短轴一个端点到右焦 3 a b 点的距离为 3 .

⑴求椭圆 C 的方程; ⑵直线 y ? x 与椭圆 C 在第一象限相交于点 A ,试探究在椭圆 C 上存在多少个 点 B ,使 ?OAB 为等腰三角形. (简要说明理由,不必求出这些点的坐标) ⒛(本小题满分 14 分) 数列 ?a n ?中,a1 ? 2 ,a n ?1 ? a n ? cn( c 是不为零的常数,n ? N ? ) a1 ,a 2 , ,且
a 3 成等比数列.

⑴求 c 的值; ⑵求 ?a n ?的通项公式;
?a ? c ? ⑶求数列 ? n n ? 的前 n 项之和 Tn . ? n?c ?

21(本小题满分 14 分)
1 设函数 f ( x) ? ln x ? ax 2 ? x . 2 ⑴当 a ? 2 时,求 f (x) 的最大值;

1 a ⑵令 F ( x) ? f ( x) ? ax 2 ? x ? ( 0 ? x ? 3 )以其图象上任意一点 P( x0 , y 0 ) 为 , 2 x 1 切点的切线的斜率 k ? 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 ⑶当 a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.
文科数学 第 4 页 共 7 页

文科数学评分参考
一、选择题 二、填空题 CBDAA BDCCB ⒒ 101 ⒔ ⒓甲丙乙(只对一个,例如“甲乙丙” ,给 2 分)

5 5? ? ⒕ ⒖ (2 , ). 9 3 3 三、解答题(以下解答与评分供参考,等价或有效解答都要相应给分)

⒗解⑴最大温差为 15 ? (?5) ? 20 ( o C )??3 分(列式 1 分,结果数值 1 分,单 位 1 分) ⑵依题意, A ? 10 , b ? 5 ??5 分
T ? 2 ? (14 ? 6) ? 16 ??6 分, T ?

2?

? 3? 由 10 sin( ? 6 ? ? ) ? 5 ? ?5 ??8 分,且 0 ? ? ? ? ,解得 ? ? ??10 分 8 4 ? 3? y ? 10 sin( x ? ) ? 5 , x ? [6 , 16] ??12 分(函数解析式与定义域各 1 分) 8 4 ? 3? x ? 16 时, y ? 10 sin( ? 16 ? ) ? 5 ??13 分, ? 12.1 ( o C )??14 分 8 4
⒘解⑴因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节 能意识强,
36 9 与 相差较大??1 分,所以节能意识强弱与年龄有关??3 分 54 46 36 ? 350 ? 280 (人)??6 分(列式 2 分,结果 1 分) 45 9 ? 1 (人)??7 分, 45

?

? 16 , ? ?

?
8

??7 分,

⑵年龄大于 50 岁的有

⑶抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的 5 ?

年龄大于 50 岁的 4 人??8 分,记这 5 人分别为 A , B1 , B2 , B3 , B4 。 从这 5 人中任取 2 人, 共有 10 种不同取法??9 分, 完全正确列举??10 分, 设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁” ,则 A 中的 基本事件有 4 种:完全正确列举??11 分,故所求概率为 P( A) ? ⒙证明与求解⑴依题意 DG // AB ??1 分, EF // AB ??2 分, 所以 DG // EF ??3 分, DG 、 EF 共面,从而 D 、 E 、 F 、 G 四点共面??4 分。
4 2 ? ??12 分 10 5

文科数学

第 5 页 共 7 页

⑵取 AB 中点为 O ,连接 PO 、 CO ??5 分 因为 PA ? PB , CA ? CB ,所以 PO ? AB , CO ? AB ??7 分, 因为 PO ? CO ? O ,所以 AB ? 面POC ??8 分
PC ? 面POC ,所以 AB ? PC ??9 分

1 AB ? 1 ??10 分, 2 因为 PC ? 2 , OP 2 ? OC 2 ? PC 2 ,所以 OP ? OC ??11 分,

⑶因为 ?ABC 和 PAB 是等腰直角三角形,所以 PO ? CO ?

又 PO ? AB ,且 AB ? OC ? O ,所以 PO ? 面ABC ??12 分
1 1 1 1 VP ? ABC ? ? PO ? S ?ABC ? ? 1 ? 2 ? 1 ? ? ??14 分(公式 1 分,其他 1 分) 3 3 2 3

⒚解⑴由于短轴一个端点到右焦点的距离为 3,则 a ? 3 ??1 分,
c 6 ??2 分,所以 c ? 6 ??3 分, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ? 6 ? 3 ??4 分, ? a 3 x2 y2 所以椭圆 C 的方程为: ? ? 1 ??5 分 9 3 ? x2 y2 ?1 3 3 3 ? ? ⑵解 ? 9 ( x ? 0) ,得 x ? y ? ,即 A( , ) ??6 分 3 2 2 2 ?y ? x ?

因为 e ?

以 O 为顶点的等腰三角形 ?OAB 有两个??7 分,此时 B 为 A 关于 x 轴或 y 轴 的对称点??8 分, A 为顶点的等腰三角形 ?OAB 有两个??9 分, 以 此时 B 为以 A 为圆心、 AO 为半径的圆弧与椭圆 C 的交点??10 分,以 AO 为底边的等腰三角形

?OAB 有两个??11 分,此时 B 为 AO 的垂直平分线与椭圆 C 的交点??12 分。
因为直线 y ? x 倾斜角为

? ,所以以上等腰 ?OAB 不可能是等边三角形??13 分, 4

即以上 6 个三角形互不相同,存在 6 个点 B ,使 ?OAB 为等腰三角形??14 分。 ⒛解⑴ a2 ? a1 ? c ? 2 ? c , a3 ? a 2 ? 2c ? 2 ? 3c ??2 分,依题意
a 2 ? a1 ? a3 ??3 分,即 (2 ? c) 2 ? 2(2 ? 3c) ,解得 c ? 0 (舍去) c ? 2 ??4 分 ,
2

⑵ n ? 2 时, a 2 ? a1 ? 2 , a3 ? a 2 ? 4 ,??, an ? an?1 ? 2(n ? 1) ??5 分,
a 以上各式相加得 a n ? a1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2(n ? 1) ? n(n ? 1) ??6 分, n ? n 2 ? n ? 2 ??

7 分, n ? 1时, a1 ? 2 ? 12 ? 1 ? 2 ,所以 ?n ? N ? , a n ? n 2 ? n ? 2 ??8 分
文科数学 第 6 页 共 7 页



an ? c n ? 1 1 2 3 n ? 2 n ?1 ? n ??9 分, Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n?1 ? n (n ? 1) ??10 分 n n?c 2 2 2 2 2 2 1 2 3 n ? 2 n ?1 2Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n?2 ? n?1 ??11 分,以上两式相减得 2 2 2 2 2

1 1 1 1 n ?1 n ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ??12 分, ? 1 ? n ??13 分, 2 2 2 2 2 2 1?1 1?1 n ?1 因为 T1 ? 1 ? 0 ? 1 ? 1 ,所以 ?n ? N ? , Tn ? 1 ? n ??14 分 2 2 2 1 21 解⑴ a ? 2 时, f ( x) ? ln x ? x ? x 2 , f / ( x) ? ? 1 ? 2 x ??1 分, x 1 解 f / ( x) ? 0 得 x ? 1或 x ? ? (舍去)??2 分,当 x ? (0 , 1) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 2 Tn ?

单调增加,当 x ? (1 , ? ?) 时, f / ( x) ? 0 , f (x) 单调减少??3 分, 所以 f (x) 的最大值为 f (1) ? 0 ??4 分 ⑵ F ( x) ? ln x ? 由k ?
1 a a ? 2 ( 0 ? x0 ? 3 )??6 分 ( 0 ? x ? 3 ) k ? F / ( x0 ) ? , x0 x0 x

1 1 2 1 1 恒成立得 a ? x0 ? x0 ? ? ( x0 ? 1) 2 ? 恒成立??7 分 2 2 2 2 1 1 1 因为 ? ( x0 ? 1) 2 ? ? ,等号当且仅当 x0 ? 1 时成立??8 分, 2 2 2

所以 a ?

1 ??9 分 2

⑶ a ? 0 时,方程 mf ( x) ? x 2 即 x 2 ? mx ? m ln x ? 0 ,设 g ( x) ? x 2 ? mx ? m ln x , 解 g / ( x) ? 2 x ? m ?
x2 ?
m ? m 2 ? 8m m (<0 舍去) , ? 0 ? ? 10 分 , 得 x1 ? 4 x

m ? m 2 ? 8m , 类 似 ⑴ 的 讨 论 知 , g (x) 在 x ? (0 , x2 ) 单 调 增 加 , 在 4

x ? ( x2 , ? ?) 单调减少,最大值为 g ( x2 ) ??11 分,

因为 mf ( x) ? x 2 有唯一实数解, g (x) 有唯一零点,所以 g ( x2 ) ? 0 ??12 分,
? g / ( x2 ) ? 0 由? 得 x2 ? 2 ln x2 ? 1 ? 0 , 因 为 h( x) ? x ? ln x ? 1 单 调 递 增 , 且 ? g ( x2 ) ? 0

h(1) ? 0 ,所以 x2 ? 1 ??13 分,从而 m ? 1 ??14 分。

文科数学

第 7 页 共 7 页


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