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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题二 第2讲 三角变换、解三角形(1)教学案

江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题二 第 2 讲 三角变换、解三角形(1) 教学案
教学内容:三角变换、解三角形(1) 教学目标: 1 三角变换与求值; 2.三角形中的三角函数 教学重点: 灵活运用三角变换公式解决三角函数问题; 教学难点: 在三角形中灵活运用三角变换公式解决三角函数问题; 教学过程: 一、知识点复习 1.必记的概念与定理 (1) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. ②cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β ③tan(α±β)= . 1?tan αtan β (2)倍角公式 ①sin 2α=2sin αcos α; ②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α ③tan 2α= . 1-tan2α 2.记住几个常用的公式与结论 (1)si n2α+cos2α=1 的变形: 1=sin2α+cos2α;sin2α=1-cos2α; cos2α=1-sin2α;sin α=± 1-cos2α;cos α =± 1-sin2α. (2)升(降)幂公式: 1-cos 2α 1+cos 2α sin2α= 、cos2α= 、 2 2 1 sin αcos α=2s in 2α; (3)辅助角公式: asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)(φ 由 a,b 具体的值确定); (4)正切公式的变形: tan α+tan β=tan(α +β)(1-tan α·tan β). (5)正弦定理 的各种形式: a b c 形式一:sin A=sin B=sin C=2R; a b c 形式二:sin A=2R; sin B=2R;sin C=2R;(角到边的转换) 形式三:a=2R· sin A,b=2R· sin B,c=2R· sin C;(边到角的转换) 复备栏

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1 1 1 形式四:S=2absin C=2bcsin A=2acsin B;(求三角形的面积). (6)余弦定理的各种形式: 形式一:a2=b2+c2-2bc· cos A,b2=a2+c2-2ac· cos B,c2=a2+b2-2ab· cos C; b2+c2-a2 a2+c2-b2 a2+b2-c2 形式二: cos A= , cos B = , cos C = .( 角到边的转换) 2bc 2ac 2ab 3.需要关注的易错易混点 (1)三角变换中经常要化复角为单角, 化未知角为已知角. 因此看准角与角的关系十分 重要.哪些角消失了,哪些角变 化了,结论中是哪个角,条件中有没有这些角,在 审题中必须认真观察和分析.常见的变角方式有: α π α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α;α 可视为2的倍角;4±α 可 π 视为(2±2α)的半角等等.当然变换形式不惟一,应因题而异. (2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构,掌握结构的特点,通过降幂、升 幂、 常数代换等手段, 为使用公式创造条件,这是三角变换的重要策略. (3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大 角定理及几何作图来帮助理解”. 二、基础训练 1 .已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=________. 解析: 由 sin α-cos α= 2,两边平方得 1-2sin αcos α=2,1+2sin αcos α=0,(sin α 2 2 sin α +cos α)2=0,即 sin α+cos α=0,所以 sin α= 2 ,cos α=- 2 ,tan α=cos α=- 1. 答案:-1 π 2.(2014· 上海模拟)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A=3,则 C 的大小为________. π 3sin3 bsin A 1 π 5π 解析:由正弦定理可知 sin B= a = 3 =2,所以 B=6或 6 (舍去),所以 C= π π π π-A-B=π-3-6=2. π 答案:2 3 3.(2014· 长春模拟)已知 cos α=5,则 cos 2α+sin2α 的值为________.解析:cos 2α 9 +sin2α=cos2α-sin2α+sin2α=cos2α=25. 9 答案: 25

? π? 3 4.(2014· 广州模拟)已知 α 为锐角,且 cos α+4 =5,则 sin α=________. ? ? ? π? 3 解析: 因为 α 为锐角,cos α+4 =5, ? ?

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? π? 4 所以 sin α+4 =5. ? ? ? π π? ? π? π ? π? π 故 sin α=sin α+4-4 =sin α+4 cos4-cos α+4 sin4 ? ? ? ? ? ?
4 2 3 2 2 =5× 2 -5× 2 = 10 . 2 答案: 10

三、例题教学: π? ? π? 4 ? 例 1、设 α 为锐角,若 cos α+6 =5,则 sin 2α+12 的值为________.

?

?

?

?

? π? 4 [解析] ∵α 为锐角且 cos α+6 =5, ? ? ? π? 3 ∴sin α+6 =5. ? ?
π? ? ? π? π? ? ∴sin 2α+12 =sin 2?α+6?-4 ? ? ? ? π ? π? ? π? π =sin 2 α+6 cos 4-cos 2 α+6 sin 4 ? ? ? ? 2? ? π? ? π? ? π? ? = 2sin α+6 cos α+6 - 2 2cos2 α+6 -1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 2? ?4? ? = 2×5×5- 2 2× 5 2-1 ? ? ? ? 12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 . [答案] 17 2 50

变式训练: 5 ?π ? 1.(2014· 高考江苏卷)已知 α∈ 2,π ,sin α= 5 . ? ?

?π ? (1)求 sin 4+α 的值; ? ? ?5π ? (2)求 cos 6 -2α 的值. ? ?
5 ?π ? 解:(1)因为 α∈ 2,π ,sin α= 5 , ? ? 2 5 所以 cos α=- 1-sin2α=- 5 . π π ?π ? 故 sin 4+α =sin4cos α+cos4sin α ? ? 2 ? 2 5? 2 5 10 = 2 ×?- ?+ × =- 10 . ? 5 ? 2 5

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5 ? 2 5? (2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2× 5 ×?- ?= ? 5 ? 4 ? 5? 3 -5,cos 2α=1-2sin2α=1-2×? ?2=5, ?5? 5π 5π ?5π ? 所以 cos 6 -2α =cos 6 cos 2α+sin 6 sin 2α ? ? =? -

? ?

4+3 3 3? 3 1 ? 4? ×5+2× -5 =- 10 . ? ? ? 2?

例 2、5.如图,在海岸 A 处发现北偏东 45°方向,距 A 处( 3-1)海里的 B 处有一 艘 走私船.在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船奉命以 10 3海 里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度,从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.

解:设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时,才能最快截 获(在 D 点)走私船,则 CD=10 3 t 海里,BD=10t 海里, 在△ABC 中,由余弦定理,有 BC2=AB2+AC2-2AB· ACcos ∠BAC=( 3-1)2+22-2( 3-1)· 2· cos 120°=6,解得 BC= 6. BC AC 又∵ = , sin ∠BAC sin∠ABC AC· sin ∠BAC 2· sin 120° 2 ∴sin ∠ABC= = = BC 2, 6 ∴∠ABC=45°, ∴B 点在 C 点的正东方向上, ∴∠CBD=90°+30°=120°, BD CD 在△BCD 中,由正弦定理,得 = , sin∠BCD sin∠CBD BD· sin∠CBD 10t· sin 120° 1 ∴sin∠BCD= = =2. CD 10 3t ∴∠BCD=30°, ∴缉私船沿北偏东 60°的方向行驶. 又在△BCD 中,∠CBD=120°,∠BCD=30°, ∴∠D=30°, ∴BD=BC,即 10t= 6. 6 ∴t= 10 小时≈15 分钟. 巩固练习: 完成专题强化训练。 课后反思:

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