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高中数学变式教学探究_图文

华中师范大学 硕士学位论文 高中数学变式教学探究 姓名:范宝康 申请学位级别:硕士 专业:学科教学(数学) 指导教师:徐学文 201205

摘要
众所周知,在我国传统的数学教学中十分重视变式教学,J下是因为应用了变式 教学,我国中学生在基础知识和基本技能方面远远超过了西方学生,可以说变式教

学是具有中国特色的教学方法,但是我国学生在开放问题以及动手能力方面去逊于
西方学生。另一方面,我国的专家学者对变式教学的理论研究比较多,实践研究比

较相对较少,对理论的研究也大都停留在感性知识上,甚至在有些理论的认识上还 模棱两可,还有就是很少有高中教师能从教学实践中深层次的去剖析变式教学,因 此,对变式教学的实践探究就有非常重要的理论和实践意义。
传统的对变式教学研究中将变式分为概念性变式和过程性变式,本文是根据新

课程标准,结合高中生身心发展的特点和规律,将高中数学知识重新分类,然后经 过半年多的实践研究,得到变式教学在高中数学教学中是行得通的。
本课题主要通过文献综述法和实践研究法对以下内容做了研究: (1)分析中外在教学方面存在的共同点与差异性; (2)在已有研究的基础上,总结变式以及变式教学的概念,提出自己对变式 的理解,然后给出变式教学的原理、理论指导与原则: (3)分析当前我国高中变式教学的现状,根据新课程标准以及高中生的认知

特点,将数学知识重新分类,并分别做了课堂实践研究,然后给出结果分析;
(4)给出对目前高中变式教学的几点建议,预测未来变式教学的可能发展趋

势。
运用变式教学能够使学生积极主动地参与到课堂教学活动中,充分发挥学生的

想象力与创造力,另外,变式教学还是提高教学效率的重要保证。
关键词:变式;变式教学;数学概念:数学命题;数学思想方法

Variant teaching is

not

new to math teachers,we often
are a

use

it in the process of

teaching in class.However,there

lot of teachers who failed to understand variant


teaching roundly.They may simply believe that
that
one

variant teaching

is the teaching concept
they know little

problem has many ways of solutions and has
to set up a situation

many changes.But

about how

for

variant and

to

inspire students

to do variant

by

of themselves.They usually follow their own feelings,which would not grasp the level teaching accurately.Instead,they give students moll burden
In traditional research,the

and pressure. variants
and

variant teaching
on

was divided into conceptual

procedural

variants.The article is based

the new curriculum

standards,combined埘m

the characters of high school students and laws of their physical and mental development.
After more than six months’practical research,the author reclassified the high school

mathematical knowledge and

summarized



conclusion that

it

is

practicable in

mathematical teaching of high sch001.

乃e subject

mainly through the literature review method

and practice

methodology

to study the following contents:

(1 1 To analyze

the

similarities and differences in Chinese and foreign teaching.
variant

(2)To summarize the
own understanding of well
as

and

the

variant concept
to

of teaching,to put forward

variant teaching,and

find out the rules of variant teaching,as the basis of existing studies.

the theoretical guidance and principles
reflect
on

on

(3)To

the current situations of

variant

teaching in high school,and
to

to

reclassify the mathematical new curriculum standards

knowledge and
and

do the practice research according

the

the cognitive features of high school

students,and to

at last. present the results of the reflection

(4)To give several suggestions on the variant teaching the possible development trends of the future variant

in

high school,and

to predict

teaching.

Variant
can

teaching enables students opportunities to

to

participate in activities actively in class.It also imagination and creativity of students?

give the

develop the is

Furthermore,variant teaching
efficiency.

the important

guarantee

to

improve the teaching



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MAS’FER’S THESIS

Keywords:variant;variant teaching;mathematics concept;mathematical proposition;

Mathematical thought and method



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MASTER’S THESIS

l文献综述
1.1本课题的研究背景
上世纪80年代末90年代初以来,在许多关于中学数学教学与学生学业成就的 国际比较研究中,发现了一个令人费解的问题:一方面,中国的中学生在所有参加 过的国际奥林匹克数学竞赛中取得的成绩显著优于西方学生;另一方面,许多西方

研究者却通过调查研究认为,中国的中学数学教学环境不利于学生学习,在教学方 式上存在许多缺陷,属于“填鸭式教育”和“机械训练"。如金斯伯格(Ginsberg) 通过长期对中国的中学数学教学的调查分析认为,中国数学教学是教师主导下的灌 输式教学,而教学本是“一个受尊敬的长者传输知识给处于服从地位的年少者",
因此得出的结论是中国数学教学不如西方先进。以上两种相互矛盾的方面被称之为 “中国学习者悖论"。 西方研究者之所以会对中国的数学教学有偏见,除了观察者本身的局限性和东 西方的文化差异之外,还有一个非常重要的原因就是对“教"与“学"的本质的理

解不同。例如,在一堂典型的中国数学课上,教师往往先提出问题,让学生独立地
探寻各种不同的解法,随后进行小组讨论,最后才是教师跟学生共同探讨各种解法 的优缺点;而对于一堂典型的美国数学课,教师往往先是给出解决某类问题的解法, 随后让学生练习一批类似的问题。显然,从上面的例子中可以看出,中国传统的数 学教学重视对知识的层次递进以及一题多解的传授,而这却与“灌输式教育”和“机 械训练"的观点是截然不同的。“中国学习者悖论"的出现,不仅仅与西方研究者

自身的哲学理论有关,更甚至来自于他们对中国数学教学的片面解读。
马登等西方学者认为,之所以西方研究者会把“中国的学习者"描述成“机械 学习者",是因为西方人往往把理解与记忆看成两个对立的方面,而把重复学习与

机械学习相提并论,事实上,有变化的重复学习也是有意义的学习。马登进一步指
出,中国的数学课堂上,学生往往从一个问题出发引出不同的问题及其解法(也就 是一题多解和一题多变),而美国的数学课上,学生对着不同的问题重复做着相同 的事情(也就是总是在做同一类题,进行的是同一个过程,用的是同一个方法)。

从实践角度来看,中国传统的变式教学与马登的变异理论有许多相似之处,对
变式教学的经验和理论的反思与讨论,将有利于对“中国学习者悖论"的解读。



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1.2国内外研究现状
国内外专家学者对变式教学进行了大量研究,发表了许多相关文章。

国内研究现状:我国学者主要是从理论角度对数学变式教学进行研究,并取得
了一定的成果,如张文娣等编著的“中学数学变式教学与能力培养"一书中提出 了具体的变式方法,并分别给出了概念课、定理课、习题课、复习课以及评价课的 教学模式;顾泠沅等研究者将变式分为概念性变式与过程性变式,郑毓信在此基础 上提出概念变式与问题变式;香港中文大学教育学院的黄毅英、林智中、孙旭花等 研究者在已有研究的基础上提出“螺旋变式课程设计’’原理等等,但是关于变式教 学较为系统的实践研究开展的并不多,其中比较有代表性的是顾泠沅领衔的青浦数 学教改实验小组对变式教学进行了系统的研究,再者就是很少有学者重视对变式教 学的课题实践研究进行系统的分析、评价与反思。 国外研究现状:众所周知,西方学者比较重视理论与实践相结合,对变式教学 的研究也不例外,他们提出许多理论,其中比较典型有马登理论(与大量重复的练

习相比,数学教师在教学过程中更应关注练习中所包含的差异的性质)与“脚手架”
理论(布鲁纳指出,当教师将“脚手架"应用于教学过程中时,也就是教师有意识 地帮助学生从他们现有的认知水平向潜在水平过渡,通过设置“变式"帮助学生在 认知方面搭建“脚手架",以此来降低难度,明确目标)。

1.3本课题研究的目的与意义
众所周知,我国的在校高中生中并不缺乏解题高手,在历年的国际奥林匹克数

学竞赛中都能取得优异的成绩,这就是很好的证明,但是在提出新颖独特的问题以
及建立新的理论等方法却落后于国际平均水平。美籍华裔学者蔡金法先生就曾经对 中美高中生的数学能力做过一次调查,他得出的结论是:在计算和解决问题能力方 面,中国的高中生要明显优于美国高中生:在解决比较复杂而又具有开放性的数学 问题和提出新颖独特的新问题方面,美国高中生的平均成绩要比中国高中生的好很 多。在数学课堂实践教学活动中也是如此,我国的高中生不管是在课上还是在课下, 能提出比较新颖或者有一定深度的问题的学生寥寥无几。这主要体现出了我国传统 的数学教学方式在培养学生的创新思维与创新意识方面很少有亮点,学生们的思维 大都停留在解决前人遗留的问题,即解题,却从未想过“越雷池一步",缺乏在解 决旧问题的过程中产生新问题的能力,也就是问题的演变。 当今科技与信息快速发展的大环境对我国的高中数学教学提出了更高的要求,





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不仅需要注重知识的传授,而且更重的是要教会学生要会学数学和会用数学,在教 学活动中培养学生的创新精神和创造能力。长期以来,在“应试教育”的口号下, “掐头去尾抓中段"的“题海战术”严重困扰着我国的中学教学,导致好多学生讨 厌数学,是限制学生在教学活动中的积极性、主动性和创造性的主要根源。因此, 现阶段我国的中学数学教学实践研究和改革的关键是探索比较有效的教学策略和 教学方法,采用一种比较适合中国学生的课堂教学模式,在此背景下,变式教学及 其模式就应运而生,是达到学生在教学活动中发挥其积极性、主动性和创造性这一 目的的一个非常有效的途径。 变式教学这种教学方法不仅在课堂教学中可以使用,而且在数学课外活动中也 有广泛的应用价值,更是当前我国正在大力倡导的开展研究性学习的行而有效的途 径。 变式教学是以现代教育理论为指导,以精心设计创设问题情境、启发引导学生

积极探索发现、展现数学知识的形成过程、注重数学知识在学生头脑中的构建、摒
弃困扰师生多年的“题海战术",培养学生的创新精神和创造能力为基本要求,以 题目变式、思维变式、方法变式为主要的途径,遵循目标导向、启迪思维、主体参 与、暴露过程以及探索创新等数学教学原则,深入分析挖掘和体现数学教材中蕴涵 的变式因素,从而培养学生的思维的流畅性、变通性和独创性。 新一轮数学课程改革、新《数学课程标准》以及新的数学课程理念在现阶段的 数学教学实践活动的重要内容,而对数学进行变式研究不仅能帮助学生养成一个良 好思维的学习习惯,而且能够提高学生的类比推理能力。在数学教学过程中进行“变 式教学"和“变式训练",通过多层次、多方位、多角度对数学问题进行探究与思 考,来帮助学生打通思维的关节,在头脑中构建新知,展现数学知识的发现、发生 和发展的过程,有目的有意识地启发引导学生积极从“变"的现象中发现“不变" 的本质,从“不变’’的本质中探寻“变"的规律,使已有的知识与所学的新知识在 头脑中融会贯通。

1.4本课题研究的内容
对于高中数学进行变式教学能有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变" 的本质,从不变中发现规律,从而逐渐培养学生灵活多变的思维品质,提高学生的 数学素质与创新意识,真正把对能力的培养落实到实处。 本文主要对以下几个内容做了研究: (1)分析中外在教学方面存在的共同点与差异性;



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(2)在已有研究的基础上,总结变式以及变式教学的概念,提出自己对变式 的理解,然后给出变式教学的原理、理论指导与原则:

(3)分析当Iji『我国高中变式教学的现状,根据新课程标准以及高中生的认知 特点,将数学知识重新分类,并分别做了课掌实践研究,然后给出结果分析;
(4)给出对目前高中变式教学的几点建议,预测未来变式教学的可能发展趋

势。

1.5本课题研究的方法
本文主要采用的研究方法有(1)文献综述法(2)实践研究法



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2中外教学对比
有这样一个故事透彻的点明了关于中外教育的差异:下午三点到四点之间,时 针与分针在那一刻重合?中国的学生会马上拿出笔与纸来开始列式计算,花了好长 时间才得出答案,而美国的学生则是轻松的转动自己的手表,很快就得出了结论。 这个故事给我们的启示就是中国学生的动手能力与美国学生有很大的差距,那么到 底是什么因素扼杀了中国学生的想象力与创造力呢?杨振宁教授认为:“主要是在 教育观念,教育体制方面出了问题。"

2.1教师的“角色定位力
众所周知,课堂教学活动是教育的前沿阵地,是教师与学生进行思想与心灵交

流的主要场所,也是学生构建新知、培养品德以及塑造人格的极其重要的一环。教
师在这一活动中扮演什么角色,起着什么作用,中外教育在这一方面有着很大不同。 在中国的课堂上,教师一贯扮演的都是“严师"形象,中国有句古话“教不严, 师之惰”,说的是教师对学生越严厉,就越能镇住学生,学生才会听话,服从自己 的命令,从而能够顺利地完成课前准备的教学内容。从学生角度来说,教师特别是 班主任就是绝对的权威,可以说几乎没有商量的余地,学生只有服从命令,从而导 致学生的主动性、创造性被扼杀。国外的课堂上,教师一般都扮演三个角色:一是 “侍者”,教师很少会像中国教师一样照本宣科的传授课本知识,而是提供给学生 一些可以查询的资料,然后提出问题,让学生自己查阅资料解决问题,这样可以给 学生独立思考的空间,学生的自主性得到大大增强:二是“智者",通过在实践中 随时给予学生提醒、点拨与指正,使学生不至于偏离自己定的学习目标和任务,这 样能有意识地培养学生在德、智、体以及动手能力等方面做到全面协调发展;三是 “朋友’’,教师与学生在课堂教学活动中的地位应该是平等的,师生之间可以根据 自己的观点相互探讨、争论,这样就缩短了师生之间的距离,学生可以自由地发挥 自己的想象力,提出新颖的问题,与教师探讨。综上所述,国外教师与学生之间的 关系十分融洽,甚至可以说是有点自由、散漫,教师对学生的限制也比较少,相比 之下,中国的教师与学生之间的关系就显得呆板、紧张。



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2.2课堂教学内容
中外课堂教学在教学内容和侧重点方面也存在着很大的差异。 中国的课堂教学用的都是统一的、固定的教材,教学内容则是按照教材的内容 展开,学生在教学活动中需要进行大量地理解记忆,然后在课下还要做一些相应的

练习来巩固课堂上学过的知识,至于教材所讲的内容与实际生活之间的联系,以及
学生的动手操作能力、创新和创造能力等则很少被关注。 国外的课堂教学所用的教材是可以自由选择的,如在美国,可以在学校、家长

共同协商后确定教材,这样家长可以根据对教材选择提出一些自己的意见,不像中
国全部都是教育部门统一规定,没有商量的余地,教材与现实社会生活联系紧密, 教学的内容则是非富多彩,不仅有图画、实验而且有动手操作等。一节典型的课堂 教学内容是:教师以提纲的形式介绍一下课题,然后提供给学生查询的资料,让学 生自己动手收集、整理资料,最后写出报告总结。学生在课堂上将自己整理的内容 进行简短的论述,教师通过讲述着的面部表情、身体语言、表达清晰度等方面给予

评分,重要的是要从学生观点的独树一帜、有创新有创意等方面给予鼓励与加分。
由于结果没有标准答案,只要学生发表自己的见解就可以,关键是看学生在这一过

程中的努力程度,与此相反,中国的学生在课堂上被要求的是听和记,对于某些重
要的内容则是要记笔记,答案则是标准、唯一,学生无法充分发挥自己的个性,从 而变得循规蹈矩,不敢“越雷池半步",创新就更无从谈起啦! 对于中国课堂教学的种种现象,黄全愈博士发表了自己的见解:“中国的教育 因压抑个性而造成无形的内伤,由于个性压抑,而使个性没有得到全面、健康发展 的人就不敢为天下先……没有个性就没有独特性,没有独特性怎么会有另辟蹊径的 创造性?一

2.3课堂教学方法
中外在中学数学教学方法上相似之处:①教学程序基本一致。各个国家在中学 数学教学活动中基本上都是采用这样的程序:教师提出问题,学生根据问题预习; 在教师启发引导下,学生理解掌握所学内容;巩固所学内容:(通过试卷的形式) 检测学生对所学内容的掌握程度。②基本都是采用讲授法。不管是在中国的课掌上 还是在美国的课堂上或者在其它国家的课常上,对于数学知识的传授基本都是采用 以讲授法为主,其他教学方法为辅的教学方法。③对启发式教学的普遍重视。众所





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周知,第二次世界大战后,各个国家都根据自身的情况进行了不同程度的教育改革,
同样中学的教学也不例外,通过教育改革,对学生的思维能力、创新能力的培养得 到了广泛的重视,启发式教学在各个学科教学中的应用显得尤为重视。 中外在中学数学教学方法上差异点: ①对能力培养与个性发展的侧重不同。我国采用的教学方法是集中型的吃“大 锅饭"的统一教学,这种教学方法虽然有好多优点,如有利于学生系统地掌握所学 知识,有利于教师把握教学节奏等等,但是却会造成学生成绩两极分化严重,容易 忽视学生个性发展,不利于因材施教原则,而在个性方面,我国教师比较注重的是 智力因素,往往忽视非智力因素(主要的表示是老师对学习成绩比较好的学生关注 比较多,而对学习成绩差的学生关注较少),师生之间的互动交流较少,很容易形 成隔膜,就导致老师对学生的心理、兴趣不够了解,学生的一些交际需要得不到及 时满足,从而使得学生的学习积极性不高,教学效率差。国外的发达国家比较重视

对学生个性的培养,鼓励他们自由发展,所以比较多的是采用分层次的个体教学。
这些教学方法大多强调的是自学,注重因材施教,从而满足不同学生的学习需要, 而在个性方面,国外的数学教学比较注重与学生沟通,这样教师就能及时了解学生 的知识掌握情况,然后根据学生的掌握情况设计出相应的教学方案,以此来提高教 学质量。


②对学生数学应用意识的培养的差异。我国的教育目标一直都是重视知识的应
用,但是到现在还没有想出与之协调的教学方法,使得这一目标成为了纸上谈兵。 国外的教学方法都是重视学生知识应用能力的培养,最好的体现就是数学教学中的 例子尽量来源于现实生活,重视数学与同常生活的联系。 ③教学过程中使用的辅助教学工具的差异。由于国外的经济科技技术比较发达, 以往的直观的教学手段得到了极大的改善,在教学过程中,计算机以及其它的教学 媒体辅助教学已经被普遍使用,从而课堂教学效率得到很大提高。我国在新的教育 改革体制下,也在力争进行教学手段完善,比如引入多媒体辅助教学等,但是由于 经济、科技等诸多方面的原因,多媒体辅助教学的普及在近期内是不可能实现的。

2.4课堂组织形式
我国的课堂是以班级的形式组织起来的,固定不变的,并且进行的是集中的、 统一的授课方式,由于收到时间的限制,导致整个教学过程显得比较单调和沉闷, 这样的课章组织形式对于中学生来说或许可以,但是对于小学生来说就不太现实, 因为小孩子天生活泼好动,会受到这样冰冷的课掌组织形式限制。曾经有一位美国



值。"

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教师这样评价中国的幼儿园:“学校管理过于严格,使得幼儿园显得像一座军营…… 以摧毁孩子们的思维创造性为代价来强调纪律秩序和行为规范,这样做法非常不

相比之下,国外的课堂虽然也是以班级的形式组织的,但是每个组都不是固定 不变的,是可以随着课堂教学内容的不同而改变,并且也不一定是集中的、统一的 授课方式,是可以为完成教学内容而轮流进行的。比如国内某报纸曾刊登过《美国 小学生一日学习生活》这样一篇文章,文中指出美国的阅读课,将全班20个同学自 然分成4个小组,分别为1,2,3,4组,第一组的学生坐在计算机前,轮流学习操作 计算机:第二组的同学坐在桌子旁边,边听录音边读课文:第三组同学跟着老师学 习阅读材料;第四组同学围在黑板前,轮流当小老师,阅读黑板上的内容,一节课 总共40分钟,4组学生每隔10分钟轮换一次。这样的课堂组织形式趣味性比较强, 课堂气氛融洽,能充分调动学生学习的积极性,让每个学生都能参与到课堂教学活 动中来。另外一方面,从课堂纪律上来看,国内的课堂上对纪律的要求比较严,学 生在课内有老师的约束,在课外有家长的关怀,这样就使得学生的个性逐渐丧失, 想象力和创造力也得到抑制;而国外的课堂对纪律的要求比较松,教师给学生自由 处理的时间比较充裕,比较典型的是美国的课堂纪律虽然看起来“乱七八糟",但 是在这样一种宽松的环境下,学生能做自己喜欢的事,从而使个性得到充分发展,

学生的想象力与创造力也得到自由培养。





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3变式教学理论综述
3.1变式的定义
古今中外,对于变式的定义的研究有好多,不同的学者从不同的角度提出了很

多不同的观点,其中,比较有代表性的有以下几个: (1)所谓变式,即是指对数学概念、定义、定理、公式以及问题进行不同角度、
不同层次、不同情形、不同背景的变化,使其面目不一,而本质特征保持不变①。 (2)变式是指形成概念时提供的肯定样例在非本质特征方面有变化的形式②。 (3)所谓变式,是通过变更对象的无关属性的表现形式,是变更人们观察事物的 角度和方法,以突出对象的关键属性,突出那些隐蔽的关键要素,让学生在变式中 思维,从而掌握事物的本质和规律@。 (4)变式就是变更展示感性材料得形式,即从事物的不同角度,对其不同情况加 以说明,使事物的本质属性全面地显示出来④。 (5)变式是指相对于某种范式(即属性教材中具体的数学思维成果,含基本知识、 典型问题等)的变化形式,就是不断变更问题的情境或改变思维的角度,在保持事

物的本质特征不变的情况下,使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式既是
一种重要的思想方法,又是一种重要的教学途径@。

我认为所谓变式就是教师有针对性的对命题进行合理的转化,即教师应该抓住 对象中的本质因素变更非本质特征,如变更命题中的条件或结论,转换命题的内容
和形式,配合创设各种不同的教学情境,从而使学生掌握数学对象的本质属性。

3.2变式教学的定义
采用变式的方式进行教学叫做变式教学。

3.3变式教学的原理

。黄俊蜂.利用变式教学提?岛高三数学复习效果.湖北省人冶市第一中学学报.2011

∞张.占光.心.日l!学■匕京:人民教育…版札,2006
。吴宪芳、郭熙汉.中学数学教育概论.湖北:湖北教育jfj版社.2005 国朱广文.杨订f{宁。李寿欣.心理学.山东:山东人学…版{l:'1999

。文U长存。张义娣.中学数学变式教学。i能力培养.山东:山东教育jfl版札.2001




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变式教学就是利用变式的方式进行教学,传统意义上的变式教学分为概念性变 式和过程性变式。概念性变式就是通过利用对概念变式和非概念变式来揭示数学概 念的本质属性和非本质属性,从而使学生获得对数学概念的多层次多角度理解,进 而建立新概念与已有的直接经验或间接经验的本质联系;过程性变式是指通过变式 的过程来展示知识的发生、发展、形成的过程,从而真J下理解知识的来龙去脉,形 成完整的知识网,让学生能够抓住问题的本质,进而加深对问题的理解。 变式教学不仅仅是一种教学手段,它更是一种教学思想,在数学教学活动中合 理地运用这种方式,能够起到减负增效的作用,给学生提供一个求异、思变的空间,

启发引导学生学会透过问题的现象抓住问题的本质,探索问题的规律和不同知识点
之间的内在联系,这将有利于学生对于数学这门学科形成一个科学的概念。 变式教学是对学生进行数学技能和数学思维训练的重要方式,通过对数学问题 进行多层次、多角度的变式探索研究,有意识地启发引导学生积极地参与到数学课

堂教学活动中,在理解知识的基础上,把学到的知识转化为能力,同时能够从“变”
的现象之中发现“不变”的本质,从“不变"的本质中来探索“变”的规律,进而 培养学生良好的思维方式,以及发现问题解决问题的能力和素质。

3.4变式教学的理论指导
3.4.1多元智能理论与变式教学

论的应用环境…中国的数学教育实际,其次,还要考虑数学教学自身的一些特点。
多元智能理论认为数学教学的一个直接目的是知识的真正理解并学以致用。为此,

在多元智能理论的指导下进行数学教学,首先我们应该考虑到的是多元智能理

加德纳还提出“为理解而教∞",他认为,学生如果能把所学到的知识应用到任何教

育背景下,应用到与这些知识相关的其他领域中,那么就说明学生真J下理解了这些
知识并具备了学以致用的能力;如果学生不会应用所学的知识或者是在不恰当的形 式下应用了不恰当的知识,就说明学生没有真正理解所学知识,当然也就不能将所 学的知识恰当应用。 当前我国的数学教学现状是好多学生处于“未能真正理解而不能学以致用的状 态"其中包括一些平时考试成绩不错的学生。上世纪90年代以来,为了使学生能 够学以致用,我国的数学教学在数学应用方面下了很大功夫,并且取得了些成效, 但是从整体上来,数学应用对于绝大部分学生来说任然是弱点。

①郭要红.数学教学论.安徽:安徽人民…版礼,2007
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另外,多元智能理论提出利用多元切入的教学方法来培养学生的的深层次理解 能力。根据多元智能理论,不同的人的智能优势是不相同的,智能组合特点也就各 不相同,这就形成了理解方式的多元化。英国学者道尔曾经在很长一段时间内认为, 利用图像来帮助学生来理解掌握抽象的数学知识非常有用,后来一些亲身经历让他

认识到并非所有人都具有“几何观念”。
变式教学就是通过多层次多角度来展现知识的发生、发展、形成过程,这样便

于学生把握理解所学的知识,这就解决了由于不能真正理解而不能学以致用的问
题;再者,变式教学能够通过变式来展示多元切入,符合多元智能理论提出的多元 切入的教学方法。

3.4.2建构主义教学理论与变式教学
建构主义认为①教师应当成为学生学习活动的促进者;②教师应该深入地了解 学生真实的思维活动;③教师必须为学生的学习活动创造一个良好的学习环境;④ 教师必须高度重视对于学生错误的纠正;⑤教师应当充分注意学生建构多元化的特 征①。 从上面的建构主义教学理论中可以看出,建构主义的学习环境中教师跟学生的

关系发生了巨大变化,教师的地位和角色也跟着发生转变,但是这并不意味着教师 在教学活动中的角色不重要了,地位也下降了,其实意思是教师所起作用的方式方
法发生了转变。在建构主义数学教学理论中,为了能够促进学生对所学知识的建构,

教师需要在课上可下担当多个角色,对教师的能力要求就很高,对比传统的知识传
授者这单一角色,教师新的多重角色在更深层次上的作用就显得尤为重要。 建构主义教学理论提出了好多富有想象力与创造力的教学思想,其中许多主张

是合理的,拓宽了人们的视野,对于我国的数学教学改革实践具有十分重要的借鉴
意义。 由于学习是学生主动的建构活动,而不是被动地接受,通过变式教学,教师可 以在学生获取知识的过程中,利用变式实现学生对新知识全方位多角度的理解,利 用变式展示知识的形成过程,让学生弄清楚知识之间的相互联系,给学生创造了良 好的学习环境,能够让学生主动建构所学的知识。

3.4.3认知发展理论与变式教学
皮亚杰的认知发展理论认为,学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中 伴随着同化和顺应的认知结构不断再建构的过程,是在新水平上对原有认知结构进 行延伸、改组而形成的新系统。学生只有通过积极主动地认知活动,来激发大脑中
①郭要红.数学教学论.安徽:安徽人民f{|版}L。2007

.f7》

(⑧

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的原有认知结构,使具有逻辑意义的新知识与原有认知结构中的旧知识相互作用, 才能实现在内化中的再建构。 实施变式教学的一个优点就是通过变式在新知识和学生原有的旧知识(直接经 验和简介经验)之间搭建一座桥梁,让学生通过这座桥梁来轻松接受新知识。在变 式教学活动中,教师还可以利用变式来引导学生主动的分析探索问题,实现对知识 的主动建构。

3.4.4数学教育理论与变式教学
1弗赖登塔尔的数学教育理论 弗赖登塔尔认为,学生学习数学的过程,实际上就是学习“数学化"的过程, 也就是将学生的数学现实进一步抽象、提高的过程①。在较低水平上,应该让学生 们学会如何将非数学问题数学化,然后根据客观现实抽象形成数学概念,构造数学 模型等,来保证数学的应用性;而在较高水平上,则应该让学生学会如何构造数学 内容,数学化数学本身。

弗赖登塔尔指出数学的根源在于普通常识,数学实际上是人们的数学常识的系
统化,所以每个学生都可以在一定的指导下,通过自己的数学实践活动来获取数学 知识。他还反复强调,学一个活动的最好办法是做。“如果将数学解释为一种活动 的话,那么就必须通过数学化来教数学、学数学,通过公式化来教与学公理系统, 通过形式化来教与学形式体系"。

弗赖登塔尔所倡导的教学法是思想实验教学法,也就是苏格拉底方法,指的是
在一个教师的头脑里,想象有一个或是一群主动的学生,设想如何教学生,如何来 应对学生们可能有的各种不同的反映,然后根据这些想象中的学生的活动来决定教 学方法。思想实验教学法要求教师要积极地启发引导学生,促进学生实现“再创造" 的过程,而在实际数学教学活动中,学生所学的知识都是在上课的过程中形成的, 是在眼前发生的,而不是教条式的灌输。 2波利亚的数学教育理论 每个数学教师都有自己的一套教学方式方法,但是这些教学方式方法都要遵循 一定的原则,而这些原则就是建立在数学学习原则的基础之上的。波利亚提出了三 条教与学的原则:①主动学习原则。波利亚认为:学习任何东西的最好途径是自己 去发现,为了使自己的学习更加有效,学生们应该在给定的条件下,尽可能地自己 去发现所要学习的知识;②最佳动机原则。如果没有行动的动机,学生就不会去行 动。学习材料的生动性和趣味性是学生学习数学的最佳刺激,而强烈的心智活动所
①郭委红.数学教学论.安徽:安徽人民…版社.2007
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带来的快乐则是最佳奖赏,因此,最佳的学习动机就是学生对于所要学习的知识感 兴趣,并且能够在学习的过程中找到乐趣。③循序渐进原则。教师教学要有层次, 学生学习要有序。

变式教学给我们教师提供了一个很好的平台,通过各式各样的变式,可以引起 学生的兴趣,教师可以从中启发引导学生实现“再创造"的过程。由于变式教学强
调了教学中“变"的因素,这样有利于克服题海战术中的过度单调重复训练而使学 生产生厌烦情绪,让学生在教学活动中始终保持较高的兴趣,这样对于学生的学习 是非常有效的。

3.5变式教学应遵循的原则
3.5.1针对性原则
所谓的针对性原则指的是数学变式教学一定要切实符合学生的实际认知发展 水平。教师在教学活动中,往往会发现这样一种现象:在学生思维水平不同的班级 之间进行变式教学取得的效果是不相同的,比如理化班和生化班。一般情况下,学 生思维水平较高的班级进行变式教学的效果要明显好于学生思维水平较低的班级,

而在同一个班级,思维水平较好的学生的学习成绩也往往好于思维水平一般的学
生。对于这种现象,笔者在实习期间对一些学生进行过访谈,其中思维水平较高的

学生对于在数学课上进行变式教学普遍的看法是:老师通过变式对一些概念、命题 进行变化,并将其与所学的知识相联系,加深了对题目的认识,同学们的思路也就
跟着拓宽了,学生比较喜欢;思维水平一般地的学生的普遍反应却是:总感觉课堂 上老师讲的内容太多,比较乱,一个问题还没搞明白又进行下一个问题,思维跟不 上,老师在讲下一个问题时脑子里还在想上面的问题,有时候甚至整节课的内容都 搞不明白。 认知学派认为:学习者原有的认知结构对于新学习的内容起着决定性的作用。 认知水平较高的学生的认知结构罩的知识容量较大,知识之间的有着密切的联系, 在进行同化或顺应新知识时,能够在头脑中迅速发现已有知识与变式之间的区别与 联系,而那些思维水平一般的学生,他们的认知结构罩的知识之间的联系不是非常 合理,在学习新的内容时,不能很快的将已有的知识与新的变式之间进行联系,从 而形成了认知上的困难。

3.5.2目的性原则
所谓目的性原则指的是在进行变式教学时要紧扣教学目标,弄清楚哪些问题要 变,为什么要变,不能为变而变,避免变式教学中的随意性。



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我们知道每一节课都有每一节课的明确的具体的目标,但是一节课的目标不能
定的太多,目标多了时间是不允许的,而且如果做到面面俱到的话就会使重点问题

研究的不够深入,重点不够突出。变式就是通过对原有问题的非本质属性的变换,
而保持本质属性不变,如果我们不能从整体上把握变式与原式之间的具体的联系, 以及将他们作为一个整体能够解决的什么样的问题,这样的话就可能背离教学目

标,为变而变。在教学活动过程中,违反目的性原则往往表现为构造变式的随意性。 教师在教学活动过程中往往会受到某些问题的启发而产生灵感,就会即兴构造出几 个变式,但是由于缺乏对问题的深入思考,构造的变式就可能会背离教学目标。
3.5.3主动性原则 所谓主动性原则指的是教师要积极启发引导学生充分调动认知结构中与新知

识相联系的旧知识以及(直接或间接)经验,让学生主动的参与到构造变式中,从 而主动的去发现新知识的本质属性,以及构造与1日知识之间的联系,加深对新知识
的理解。 建构主义的学习观认为,学生的学习是从已有的知识和经验出发,凭借自己已

有的知识和经验对新的问题、新的知识进行同化或顺应的自主建构的过程。尤其是 这种建构的过程是在学生的头脑中发生的,是别人无法看到的,也是别人无法代替
的。因此,在变式教学过程中,教师要充分调动学生学习的积极性,让学生主动的

参与到变式的构造中。
要让学生积极主动的参与到构造变式中来,笔者认为教师要做好以下两个方

面:(1)通过范例教给学生一些常用的构造变式的方法,如通过变式问题的背景构造 变式等;(2)适当的选择一些和学生现有的人至少水平相符合的问题给学生自己去构 造变式。
3.5.4适度性原则

适度性原则主要有两方面的体现,一是在进行变式教学时使用变式的数量要适 度,二是实施变式教学要把握好原式与变式,变式与变式之『自J的难度。
首先,变式的使用数量要适度。一节数学课上如果使用过多的变式,由于变式 与原式的本质特征相似,这样就容易造成背离教学目标,同时也会使学生产生思维

疲劳。学生对新知识的理解掌握需要一个比较长的同化和反思的过程,是一个螺旋 式的上升的过程。如果教师想通过大量的变式来达到学生对某一知识的深刻理解的 程度是非常困难的,因为过多的变式会使内容之间的联系变得不是很紧凑,学生听
的也是云里雾罩的,教学效果就可想而知了。 其次,教师要把握好原式与变式、变式与变式之间的难度。由于高中生的认知
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发展水平有限,因此进行变式教学时要以学生已有的认知发展水平为基础,设计的
变式要在学生的最近发展区内,并且难度要循序渐进,层层深入。这样设计前面的 变式就为后面的变式提供了必要的铺挚,学生就有可能通过自己的积极思考解决变 式,从而体会到成功的喜悦,在此过程中也积累了经验。 3.5.5反思性原则 反思指的是对过去事情的重新思考,并从中总结经验教训。数学的学习要经常 进行反思,只有反思才能发现问题,只有反思才能进步。 变式教学是利用变式的方式进行教学的一种教学方式。在利用变式进行教学 时,由于有些变式和原式可能在形式上有相似之处但是本质上却不同,而有些可能 是形式上略有不同但本质上却是一直的,因此,教师要时刻引导学生对变式与原式

之间产生的干扰进行深刻反思,并能够从中发现规律,发现它们之间本质的联系。
一般情况下,数学变式教学中的反思主要集中于以下两个方面:(1)原式与变式 之间的区别和联系;(2)原式与变式解题方法上的区别和联系。对于原式与变式如果

形式上不同,本质上一致,那么它们的解题方法是类似的,因为每种方法的应用都
是经历过许多不同的知识背景,因此通过对解题方法的反思能够深刻理解方法的本 质;而如果原式与变式在形式上相似,本质上却不同的解法的反思,则可以加深对 各种不同方法的使用条件以及对应题型的深刻理解。



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4高中数学变式教学实践研究
4.1高中数学教学的现状
让学生自己通过观察分析猜想、积极参与到归纳推理总结的数学活动中,培训 学生的自主创新能力和创新精神,这是新的高中数学课程标准所追求的一个重要理
名孓 ?t叠。

变式教学就是利用变式的方式进行教学的一种教学形式,这种方式很好的贯彻 了新的课程标准所追求的理念,但是在实施变式教学的过程中却遇到好的问题,目 前高中数学课堂教学普遍存在的问题是:大部分教师都是通过给学生布置成套的题 目的方式来进行模式化训练,忽视了对学生的数学应用意识的培养,导致学生数学 应用意识普遍较差,即使有些应用似乎都是被迫的,甚至培养学生的数学实践能力 和创新意识都还停留在口头上。 说到数学教学就要从教材、教师、学生说起,下面我将分别从这三个方面谈谈 数学教学的一些现状。

4.1.1学生的认知规律与教材的呈现方式相矛盾
当前我国高中数学所用的这套(人教版的)教材的呈现方式是向苏联学习的产 物,更多体现的是科学发展与科学研究,对于学生的认知规律却很少关注,特别是 学生的认知特点。如这套教材一个重要的特点是具有高度抽象性,学生不易理解, 而主要的呈现方式却是平铺直叙式,定义定理大都采用的是演绎的方式给出,缺乏 相关问题的指引,学生无法与将其与所知的直接经验或间接经验相联系,导致学生 的学习兴趣不高,从而对问题就不能进行深入的思考。目前我国的课堂教学还普遍 存在一个问题就是课堂上教师提问的问题在课本上一般都能找到答案,加之课上时 间比较紧,教师不能诊断出事学生通过思考得到的答案还是看书的得到的,这样就 形成了一种顺利教学的假象,教学效果就可想而知。 另外,我认为初中与高中数学知识的衔接问题也是目前数学教学中的一个比较 突出的问题。对于刚进高中的学生来说,高中教材高度抽象,内容繁多,导致好多 新生非常不适应。 4.1.2教师队伍结构与教学现状 一教师的教学水平与教学观念参差不齐。 (1)灌输式教学
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这种教学方式的特点是重教轻学,教学效率低。灌输式教学否定了受教育者的 主体性。众所周知,教育者和受教育者是教学活动的主体,且教学活动是以受教育 者为出发点和立足点,只有受教育者在教学活动中充分发挥主体性才能达到教学活 动预期的效果。灌输式教学认为教学是一种单向的过程,只考虑到教育者的主体地

位,而将受教育者看成是配角。
我认为产生这种教学的主要原因是教师教学观念的落后。 (2)提问式教学(满堂问) 课堂教学的主要目的之一是让学生积极地参与到其中,应该说产生这种教学方 式的教师的出发点是好的,让学生主动参与,但是满堂问就缺乏对所讲内容的深入 分析,往往提出的问题的质量比较低,学生发现教师提出的问题差不多都能答出来, 导致学生的参与程度不高,虽然形式上是热闹的,但本质上学生还是被老师牵着走, 教学效果也令人堪忧。 我认为产生这种教学的主要原因是教师对教学过程的把握不恰当或者说是教 师不懂教学过程应该如何实施,教学功底比较弱。 (3)探究式教学 这种方式教学往往是教师想把一节课的内容全部抛给学生,让学生之间讨论探 究,其实好多问题没有必要让学生探究,还有就是有些问题太大学生无法探究。如 在学习椭圆定义前,让学生尝试先画一个椭圆,这其实就是让学生探究画椭圆的方 法,可想而知在课堂几乎是办不到的,因此,问题太大,导致无法探究。 我认为产生这种教学的主要原因就是生搬硬套了所谓的“探究式学习”,却没 得到探究式学习的要领。 二新增内容对老教师的考验 新的数学教学大纲中增加了好多大学中的内容,比如向量、极限、算法等,对

于老教师来说是个严峻的考验,对于一些岁数比较大的教师而言学透新知识比较困
难,毕竟他们已经对原有教材的知识结构已经轻车熟路,要想改变这种认知结构需 要相当长的时间。 4.1.3当前高中生的学习特点 当期的大部分高中生家庭生活条件比较优越,独生子女也普遍偏多,他们对学 校对教师也提出越来越高的要求,而对自己却放松要求,爱好广泛,其中却不包括 学习,幻想颇多;理想远大,但意志力比较薄弱,缺乏恒心和吃苦耐劳的精神,他

们都幻想着能像看电影、听故事一样来轻松愉快学习数学,但现实却跟他们的想象
相差甚远。据我所知,有接近三分之一的学生讨厌学习数学,甚至有人说独生子女
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来越多。

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多了,学习文科的人数也跟着增多,这些都从侧面反映出了不愿意学习数学的人越

目前,高中生又呈现出一些新的特点,学生干什么都想省事,想偷懒,想现代 化一点,而新课程却又倡导学生使用计算器,这样又导致学生的计算能力直线下降, 从这个角度来讲,数学教学在现阶段面临着新的挑战。

4.2变式教学的实践研究
基于新的高中数学课程标准以及高中生的认知特点,本文将高中数学知识重新 分为以下三类:

(1)数学概念(包括原始概念或基本概念)
(2)数学命题(包括定理、公式、法则等) (3)数学思想方法(如配方法、待定系数法等) 因此,我将分别从以上三类数学知识出发进行课堂实践研究。 4.2.1数学概念的变式教学

一数学概念
概念反映的是一类对象的本质属性,即这类对象的内在的、固有的属性,而不 是表面的属性;数学概念则反映的是一类数学对象本质属性的思维方式。数学概念 是高中数学知识的重要组成部分,它是进行数学思维的细胞,学生学习数学首先要 接触到的就是概念,所以只有理解和掌握了数学概念,才能为学好其它数学知识以 及提高数学能力打下良好的基础。 高中数学概念教学的基本要求:解释数学概念的内涵和外延,以及概念间的关 系,让学生深刻理解数学概念,使学生理解数学概念引入的必要性和概念间的作用, 能够灵活运用概念解决数学和实际中的问题。 二数学概念的特点 曹才翰先生在《数学教育学概论》①一书中指出,数学概念具有抽象性和具体 性双重特点。因为数学概念代表着一类对象而不是个别事物的本质属性,所以它是 抽象的,如函数的概念中,我们用符号Y=质曲表示,指数函数则用符号表示为 y=a。Ca>0Ra≠1),而对于一些函数的概念,它没有实际对应的物质存在,这样 就使得数学概念更加抽象。但另一方面,虽然数学概念作为一种抽象的对象,没有

①曹才翰,蔡会法.数学教育学概论.|匕京:北京帅范人学IIl版杜。1984
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实际物质与其对应,但对于高中生而言,可以通过一种特殊的方式来获得某些数学

概念,一旦学生得到了这些概念,那么,对学生来说就是“实在的"东西了,这是 数学概念具体性的一面,如学生掌握了函数的概念后,就可以把它作为两个集合之
问的对应关系这样一种“实在的"东西了。 三数学概念变式教学的课堂实践研究 学生学习一个新概念包括了解、理解、掌握以及灵活运用四个过程,这是一个 非常复杂的认识过程,因此,对于我们教师而言,数学概念的教学一点要根据数学

概念本身的特点,牢牢抓住高中生学习数学的心理以及学生学习方式的变化等方面 来进行。
数学概念的教学可以分为概念引入(形成)、概念理解(辨析)、概念掌握和灵

活运用四个阶段,因此,我将从以上四个阶段分别对数学概念进行课堂实践教学。
(1)概念引入的变式教学 在高中数学课本中,好多数学概念都是用文字和符号语言给出的,相对于其它

学科的概念来说比较抽象,由于学生不能够把所学内容的直接经验和间接经验与之 联系,所以就难以理解概念的本质属性,这样,课堂教学就难以进行。在讲授一些 新概念时需要进行合理的设计,我认为教师可以通过变式的方式来展示其形成过 程,这样有助于学生了解数学知识的形成过程,达到学生自己探索形成概念的目的。
案例1等差数列概念的引入变式教学 师:请同学们观察下面三个数列: 变式题组:①5,lO,15,20,15,L
⑦一9,一5,一1,3,7A人


c;o

j:f,2,?三,5,j!手,人人

有什么共同特点?
(给学生几分钟时间思考,然后找几个人回答) 生l:每一项与前一项的差都相等。 生2:我也是这么想的。 师:大家都是这么想的吗?谁有不同意见? 生:人人 师:第一项有前一项吗? 生3:从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数。

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师:像这种比较特殊的数列,我们给它起个什么名字? 生:等差数列(这个学生都能想到)。 师:很好,请大家自己再叙述一遍等差数列的定义。 生:如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差都等于同一个常数,那 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,常用d表示。(教师板书) 通过研究具体实例模型来获得数学对象的感性认识,并在此基础上逐步认识它 的本质属性,最后提出概念的定义,这样学生比较容易接受。在案例中,先给出一 个变式题组让学生观察、分析数列的共同特点,然后综合得到等差数列的定义,其 中名字还是学生自己给出的,这样就充分体现了学生在教学活动中的主体地位。 (2)概念理解的变式教学 所谓概念理解的变式教学,就是在引入数学概念后,针对概念的内涵与外延设 计相应的变式问题,采用不同的方法对这些问题进行研究,揭示概念的本质属性, 达到理解概念的目的的教学。 案例2指数函数概念的理解变式教学 函数y=a。(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是尺。 这是教材中给出的指数函数的概念,比较抽象,学生学习了定义以后,心里存在疑 惑,不能准确判断一个函数是指数型函数还是指数函数。下面是我针对学生的疑问 设计的有关指数函数概念理解的课堂教学实践。 N-(回顾)指数函数的概念,然后判断以下几个函数是否是指数函数? 变式题组:
①y=4肿2 ②y=3?42J ③y=3?4肿2

④/:一4:一

⑤/:f,昙]3。,.r∈(-oo,0)

(给学生几分钟时『自J思考,然后同桌之间讨论) 生l:①是指数函数,其余的不是。因为指数函数要求系数为l,定义域为尺, ②③④的系数不为1,⑤的定义域不为尺。 师:谁有不同的答案? 生2:我认为①不是指数函数,因为①可以化成y=16.4。的形式,系数不为l。 师:谁还有不同的答案? (好多同学比较困惑,对于①难以辨别)



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师:请同学们看课本问题2中的函数尸:f i1。5000,这个函数可以化成y:ax的
\Z/

形式,再结合指数函数的定义,大家应该能判断出①是不是指数函数了吧! 生:①不是。因为①可以化成y=16.4J,系数不为l。 然后师生共同总结指数函数概念的几个重要特征:①系数为1;②底数a>0且 矗≠l;③指数课化成x的形式;④定义域为尺。 通过这几个变式练习,以及学生之间的讨论研究,教师辨析引导,学生充分发 现自己的错误,心中的困惑得以消除,从而对指数函数的概念有了深刻的理解。 (3)概念掌握的变式教学

所谓概念掌握的变式教学,就是在理解概念的基础上,通过探求概念的等价形


式或变式含义,达到透彻理解概念、能够灵活应用的目的的教学。 学生对数学概念掌握的方式大体上有三种:从具体到抽象、运用和运算。学生 掌握数学概念,要经历一个由具体到抽象的过程,也就是通过对对象的充分感知, 抓住数学概念的本质特征,然后通过变式,区分非本质特征;通过比较,联系和区 别有关数学概念。学生掌握数学概念还需要在实践中应用,这样才能加深理解,使 之真正成为自己的东西,在运用概念解决数学问题,可以增强学生对概念的理解, 加深对概念本质特征的认识,能够培养学生对概念的正确选择、判断和联系的能力。 对于某些数学概念必须通过运算才能得到运用,只有正确掌握了数学概念才能正确 的运算,往往有些运算的错误都是由概念不清造成的,运算是学生深刻掌握概念的 一个重要途径。 案例3奇偶函数定义掌握的变式教学 师:回顾一下奇偶函数定义。

生l:一般地,对于函数玎曲:

0)如果对于函数定义域内任意一个x,都有币力=一“曲,那么函数“曲就
叫做奇函数;

(2)如果对于函数定义域内任意一个x,都有舡尊=“曲,那么函数“曲就叫
做偶函数。(教师板书) 师:好,既然大家都知道奇偶函数定义了,那么下面大家来判断一下下面这个 函数是奇函数还是偶函数。

2l



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“力:log!肿历’(a>啪≠1)
(指定生2板书,其余同学在练>--j本上作,教师巡视,启发,指导)

生2板书舡曲:log!-肿以可),到这里就停住了,做不下去了,判断不出
乖.姻“力的关系。
师:(启发)对于奇函数定义式乖X)-'-一“句,我们可以得到
变式1:乖习+:(x)--o

变越帮一1(舡力;cO)
同理

由偶函数定义式乖曲=一曲,也可得到

变式3:小曲一玎曲=0

变肌帮-1(们≠o)
生齐:明白了,知道怎么做了。

生2:(接着板书)乖力+玎曲:1。g-J+历)+1。g(肿矗晤)

:l。g(}历)2-,]:l。£:。,从而一曲使奇函数。
师:谁能总结一下判断函数奇偶性的步骤?

生3-求出小曲与“力,然后下结论。
师:这个不完整,谁能补充一下? 生:人人

师:要求小曲与双曲,首先要是一.尚x在定义域内,也就是说定义域要关于 原点对称,然后再求舡曲与“曲判断它们之间的关系,最后下结论。
最后师生共同总结判断函数奇偶性的步骤: ①判断定义域是否关于原点对称o

②求出乖曲与“曲并判断它们之间的关系;③下结论。



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通过对奇偶函数定义式的一系列变式的引入,不仅让学生掌握了奇偶函数的定 义,而且能够对不同的函数判断奇偶性,这样就达到掌握概念的目的。 (4)概念灵活运用的变式教学 所谓概念灵活运用的变式教学,就是设计能够直接或间接利用概念的变式题 组,通过对变式题组的讨论,达到灵活运用概念解决问题的目的的教学。 我们大体上可以把数学概念灵活运用分为两个层次:一种是知觉水平上的运 用,就是在学生的认知结构中已经获得同类事物的概念的基础上,当遇到该类事物 的特例时,能马上在头脑中反映出该事物的具体例子,把它归入一定的知觉类型,

如特殊函数(指数函数,对数函数)可看作函数的一个特例,这样就从知觉上理解
了函数的概念;令一种是思维水平上的应用,就是学生学习的新概念被纳入较高水 平的原有概念中,必须对原有概念进行重新加工才能运用新概念,满足解决问题的 需要。 .案例4抛物线定义的灵活运用的变式教学 师:(回顾)抛物线定义? 生1:平面内到一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 师:下面大家看一下下面三个变式练习,检查一下对抛物线定义的掌握程度。

变式①:抛物线,=2px上有一点眦,而到焦点的距离等于6,则

p=一n圣p=——。
变式②:动点M到直线.料6=0的距离减去它到点只3,0)的距离所得的差为3,
判断点M的轨迹。

变式③:已知抛物线f=2y,点M是抛物线上的动点,点P的坐标为(12,6),
则点肘到点尸的距离与点M到x轴的距离之和的最小值是


对于①②,利用抛物线定义学生很快解答出来,而对于③,在我巡视时发现大 部分同学没有头绪,不知从何下手。

师:(启发)M点到X轴的距离相当于M点到定直线的距离,这罩的定直线不 是准线,不能直接用抛物线定义,那么肘点到x轴的距离与M点到准线的距离有
什么关系?

生2:可以先考虑M点到尸点的距离与M点到准线的距离和然后再减去1,由 抛物线定义知,肘点到准线的距离与M点到焦点的距离相等,连结焦点与点尸,



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与抛物线的交点就是M点,MP的距离减去l就是所求的最小值。
通过设计与概念直接或间接相关的变式练习,从多层次,多角度强化概念的实 践应用,是对概念的进一步掌握和巩固。 4.2.2数学命题的变式教学 高中数学是由概念、定理、公式、公理等组成的严谨的逻辑体系,而命题是概

念和概念的联合,数学命题包括公理、定理、公式等,其中公理是公认的正确的命 题,就不做过多研究,公式、定理则是高中数学的重要内容,是计算、解决数学问 题和其它问题的工具,因此,这里主要对定理、公式进行变式教学实践研究。
高中数学命题教学的基本要求:使学生了解定理公式的由来,理解其意义,明 确推导过程,特别是推导过程中使用的方法,并能够灵活运用定理公式解决数学问

题。
基于高中数学命题的要求,我认为对数学命题的变式教学可以从定理公式的发

现(形成)变式、多证变式以及变形变式三个方面进行。
(1)定理公式的发现(形成)变式教学

定理公式的发现过程通常有两个步骤:(1)通过对一些具体事物的观察、思考 去猜想;(2)通过一定的推理来发现。布鲁纳指出,“教学生学习任何学科,绝不
是对学生心灵灌输一些固有的知识,而是启发学生主动求取知识与组合知识。教师

不能把学生教材一个活动的书橱,而是教学生学习如何思维,教他们如何像历史学
家那样研究分析史料,在求知的过程中组织属于他自己的知识。因此,求知是自主

性的活动历程,而非被动地承受前人研究的结果。"
案例5三垂线定理的发现变式教学 师:大家有没有想过这样一个问题,“是否存在四个面都是直角三角形的四

面体?"如果存在的话举个例子,不存在说明理由。
学生一时之间不太好找例子,教师提示:在日常生活中有许多三个面是直角三

角形的四面体,如在正方体上截一个角,但可惜的是截面构不成三角形,大家想这 样才能使截面构成三角形?
生1:存在四个面都是直角三角形的四面体。

如图,AABC为直角三角形,其中ZC为直角,删上面ABC,从而四面体

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图4.1 D—ABC的四个面都是直角三角形。 师:显然,ADACADAB乱4BC为直角三角形,那么zkDBC能证明也是直角三 角形吗?

生l:由删上面ABC得以上BC,又4C上BC,所以影上面DAC,从而有
DC_L

BC,因此,△仍C为直角三角形。

师:模型构造的非常好。 师:如图,斜线PA交平面口于点A,AB为PA在平面口内的射影,直线矗c口

变式l:若以上a,则A旃a之间有什么关系?
变式2:若A日上矗,则PA与a之间有什么关系?

生2:加上a。因为AB为PA在平面口内的射影,所以PB_L口,从而有册上a,
又以上a,所以a上面PAB,从而A趾a。
生3:以上矗。证法跟生2的类似。
师:上面两位同学证明的非常J下确,谁能将上面的两个变式用文字语言来表述 一下? 生4:对于变式l:如果平面内的一条直线和平面内的一条斜线垂直,那么它 和这条斜线的射影也垂直。(教师板书) 生5:对于变式2:如果平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线的射影垂

直,那么它和这条斜线也垂直。(教师板书)
师:两位同学表述的相当准确,这就是著名的三垂线定理及其逆定理。 师:下面大家判断一下这几句话是否J下确? 变式题组:


不垂直。

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①如果平面内的一条直线和斜线在这个平面内的射影不垂直,那么它和斜线也

②如果一条直线和斜线在平面内的射影垂直,那么这条直线就和斜线垂直。 ③如果一条直线与平面的斜线以及斜线在此平面内的射影垂直,那么这条直线 就在这个平面内。 生6:①J下确。因为它是三垂线定理逆定理的逆否命题,原命题J下确,那么它 的逆否命题也J下确。 生7:②不正确。因为这条直线不一定在平面内,如平面的任何一条垂线都垂

直于斜线在平面内的射影,但不一定与斜线垂直。
生8:③不正确。如任意作一条直线垂直于斜线以及斜线的射影所确定的平面,

那么这条直线垂直于斜线也垂直于斜线的射影,但这条直线不一定在这个平面内。
师:三位同学回答得很好,通过上面的讨论,在应用三垂线定理及其逆定理时 一定要注意条件和结论。 (2)定理公式多证的变式教学 所谓定理公式多证变式,是指在提出定理公式后,启发引导学生从不同的角度 思考,采用不同的方法对定理公式证明,通过观察角度与不同方法的比较来培养学 生的发散思维能力与创新意识的教学。 案例6等比数列前刀项和公式的多证变式教学

fha,,9=1
设{%)为等比数列,首项为aI,公比为9,
'J;Efig刀gA和为so

2{鱼粤二d,9≠l
L l—q

因为当9=l时,so=∞显然成立,下面只讨论9≠1的情况。
变式1:(错位相减法)

so=al+a2+人+%=岛+黾9+岛矿+人+a19俨1



师:大家看等式右边,从第二项起后一项是前一项的q倍,如果把等式两边同 乘以q,得到

qSo=

q9+黾矿+人+盘l矿1+a1矿



比较一下①②两式,有什么区别?



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生l:①式等式右端比②等式右端多了一项al,少了一项盘l矿,且两式的共同

部分是等式右端都有ajq+azq2+人+矗l矿1。
‘师:既然有共同的部分,为了简化运算,将两式相减,消去共同部分,得

(1一D最:al—al矿,从而当9≠l时,有最:鱼磐型,这种求和方法我们称之为
l一9

错位相减法。

变式2:(比例基本性质)

师:由数列{%)为等比数列,我们能得到垒=鱼=人:!L:9,由这个式子大

a2 an-]

家能想到什么? 生:人^ 师:(启发引导)这是一个比例的式子,初中我们学习了一个比例的性质,大 家还记得吗? 生:比例的基本性质 生2:

由比例的基本性质得!d!d尘二墨
al+a2+人+a俨l

邓即嚣=9

整理得最:鱼§型。
l一口

变式3:(公式法)
由于 两边同乘以81,得

l一矿=(1—9)(1+9+矿+人+广1)

毛(1一矿)=(1一以为+alq+aiq2+A+毛厂1)=0一彩.£

当9≠l时,等式两边同除以1—9,得最:鱼§型
l一口

(3)定理公式变形变式教学 所谓定理公式变形变式教学,是指在原有定理公式的基础上,启发引导学生通 过猜想、证明等方式探求定理公式的等价形式以及推广形式,使其能更好的应用于
27



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解决实际问题的教学。 案例7两角和的J下切公式的变形变式教学 师:(回顾)两角和的J下切公式

生1:tan仁+∥):上坚盟


~l—tan口.tan∥

师:下面大家思考一下能否由两角和的J下切公式推导出两角差的J下切公式?

【斑不)网用左删J卜例棚当于将网用利网J卜训公瓦甲嗣刀Ⅱ亏秧厥城亏,处口J以返秤 想,将∥换成一∥。

生2:t锄缸一∥):?塑竺掣




l+tan口.tan∥

变式1
。。

眠那协2删,t觚(口+署)=?
生3:将公式中的∥换成口,得

t柚2口:t锄Q+口):?竺竺兰堕旦:j警
1一tan口?tan口 l—tan‘口

变式2

生4:将公式中的∥换成三,得

f口+要1:_1+tang I口+一l=一
L 4,

nat3式变父氏
l—tan口

师:两位同学推导的很好,上面的3个变式是两角和的正切公式的推广形式, 大家要灵活运用,例外,我们还可以由两角和公式得到下面三个变式

tana+tan,a=t锄仁+∥x1一tarlo!?tanp)

tan口恤纠一崭 l=协口恤∥+铹

变式4

变式5

变式6

师:应用上面几个变式解决下面几个练习



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(1)tan20。+tan25。+√3 tan20。.tan25。 (2诺A+B=三,求证:(1+tan硝1+tan劫=2
。。4
’ ’’ ’

【3)在a,4ac中,求证,'tall

A+tan曰+tan c=tan A?tan B?tan C

有了上述6个变式,学生很快就解出了上面三个练习。 4.2.3数学思想方法的变式教学

我们对数学中的概念、定理、公式都比较了解,对具体的解题方法如分类讨论
法、数形结合法等也非常熟悉,但对数学思想方法的了解就相对而言就比较少了。 在以往的高中数学教学中,教师往往偏重于对课本知识的传授与解题技巧的训练, 忽略了对解题过程中数学思想方法的渗透。其实,数学思想方法是数学的灵魂,掌 握数学方法对学生的思维以及学科的后记学习都有十分重要的意义。那么,究竟什

么是数学思想方法呢?实际上,我们无法给出像数学中的概念一样的明确定义,只
能从不同的角度给出解释。数学思想方法需要在数学知识的发生过程中提炼、概括, 是对数学规律更一般地认识,它蕴藏在数学知识中,需要学习者自己去挖掘,在数

学思想方法的教学中,教师积极引导学生去思考、提炼、概括,让学生积极地参与
到教学活动中,体验知识的发生过程,从而体会数学思想的独特魅力。 这里的数学思想方法的变式教学指的是教师在教学过程中针对某一种数学思 想方法,采用不同的变式加以呈现,达到学生能够掌握该思想方法的目的。 一高中数学思想方法的教学原则 目标性原则新课程标准中非常重视数学思想方法的教学,将其定为重要 的教学目标之一。这就要求教师不仅要认真钻研课程标准和教材,而且更重要的是 要认识到数学思想方法的重要性,对数学思想方法的教学进行全面规划,明确每一 章每一节的具体目标,并提出具体的实施方案。 渗透性原则 高中数学教材概念,命题的陈述是明线,而对数学思想方法的介

绍是暗线,它往往渗透于相应的知识发生过程中,这就要求教师结合当前的教学情
况,引导学生积极挖掘、总结其中的数学思想方法,让学生充分认识到数学思想方 法对于解决数学问题的重要性。 概括性原则 由于数学思想方法渗透于数学知识发生过程中,为了学生便于理

解、掌握以形成解决相应问题的能力,教师在实际教学中,要有计划、有针对性地 启发引导学生积极参与到数学思想方法的概括过程中,以揭示数学思想方法的本 质,明确数学思想方法与相应知识之间的关联。



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实践性原则学习数学思想方法关键还是用了解决数学问题,在教学过程中, 教师要创设合理的教学情境,引导学生积极地参与到教学活动实践中,在实践中体 验应用,养成思考问题的好习惯,数学思想方法的学习才能见成效。 二高中数学思想方法教学的途径 (1)在数学知识发生过程中,渗透数学思想方法 数学知识发生的过程往往也就是数学思想方法的发生过程,因此,在概念的产 生、定理的形成及其推导、规律的发现等过程中,是向学生渗透数学思想方法的极 好机会。 (2)通过小结复习,归纳和概括数学思想方法 在某一具体问题上体现的数学思想方法,往往在其它问题的处理上也能得到很 好的运用。因为同一问题可以用不同的数学思想方法,而同一数学思想方法又常常 分布于好多不同的知识里,因此,在进行单元小结、复习时,教师应注意加强归纳 概括数学思想方法的教学。 (3)通过解决具体问题,掌握数学思想方法 我们知道,数学思想方法包含在问题解决之中,通过问题解决能够培养学生的 问题意识,启发引导学生创造动机,把问题转化到活的思维中,这样,学生就能在 学数学、用数学的过程中形成和掌握数学思想方法。 三数学思想方法变式教学的课堂实践研究 在高中阶段主要学生主要学习三种数学思想方法:方程与函数思想、数形结合

思想以及分类讨论思想,下面将对这三种数学思想方法进行实践研究。
(1)方程与函数思想 函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题,。函数 思想的实质是抛开所研究对象的非本质特征,用联系和变化的观点提出数学对象, 抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用有关函数 的性质,是问题得到解决。 方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数 学模型(方程、不等式等),然后通过解方程来使问题得到解决。

例已知墼:1(a≠o,a,包c∈砖,则有(
3a



A炉>4ac
C。p(4ac
30

丑炉≥4ac 口炉≤4ac



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师:大家思考一下,上面的例1 7 生:由已知的式子很难判断炉与4ac的大小关系。



师:(提示)要判断62与4ac的大小关系,我们可以将其转化为判断矿一4ac与0 的大小关系,即△与0的大小关系,而△又与一元二次方程的根有关,所以我们首

先要构造一个一元二次方程,那么由已知条件如何构造呢?

生1:由已知条件得5a一√56+c=0,可以看成一元二次方程o+k+c=0,
其中√5是方程的一个根。 师:√5是方程的一个根,又能说明说明呢?
生2:说明一元二次方程至少有一个根,从而有A≥0,即炉一4ac≥0。

【评析】通过简单的转化,敏锐地抓住了数与形的特点,运用方程思想使问题得
到解决。 【变式】不等式4。+l093+f>5的解集为(
AR



且R

c{爿x>1}

D{爿x>2)

构造函数“力=4J+l093+,,工>0,容易判断“力在(o,佃)上是增函数,,又有
巾)--5,所以原不等式可转化为氕曲>币),所以得x>1。
【评析】由上面的例得到启发,通过构造函数并借助函数的单调性解不等式,这
样的解法简洁、巧妙,学生容易接受,通过以上两个典型题目渗透方程与函数思想。 (2)数形结合思想 数学是研究数量关系与空间形式的学科,“数"与“形"以及它们的联系与转 化是数学的永恒主题。以坐标系为纽带使函数的解析式与函数图像、方程与曲线建 立了一一对应关系,从而对数量关系的研究可转化为对图形性质的研究,反之亦然, 既然充分发挥了形的直观性,又注重了数的严谨性,这种解决数学问题中的“数" 与“形"的相互转化、交互作用的技能,体现了数与形的两面性,反映了数学的本
质①。

①删良树。杨索.高中数学学考必需用书.湖南:湖南人学…版礼2010
3l


围。

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例关于x的方程sinx+√;COSX+a=o在(0,2万)内有两个相异解,求a的取值范
解析:应用辅助角公式可将原方程变形为

2咖(x+詈)一



如(肘;)=一詈

设月蚓n(x+;)舻一言,令f=肘詈,这里的f∈(争予),故 月=sill(詈<f<等),于是方程的解的问题就转化为两个函数的交点的问题,如图
4一 一J

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二乔:_…. _乃■ ./ p以’\j压7pi/3
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隧L…4妒一力
32


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图4.3

L!f:结MA

MB,从而有‰=专等=一1,‰=妻杀=i2,从图中可以看出,直线,应


在MA MB之间才能满足题意,所以,直线,的斜率应满足一I<七<兰

【变式2】求y=√,+l+√,一4料8的最小值。

解析:原函数可以化为y=√(x—o)2+(0一1)2+、/(x-2)2+(o一2)2,因此,问题就转
化为求x轴上一点N,使它到点A(0,1)和点B(2,2)的距离之和的最小值,如图








Ⅳ、、
、 、 、









D, 图4.4

由于B点关于x轴的对称点的坐标d(2,一2)为,连结AB,则埘就是所求的最小值。



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由两点间距离公式得l叫=x/(O-2)2+(1+2)2=√西,故所要求的最小值为√西。
(3)分类讨论思想 所谓分类讨论思想就是以比较为基础,通过比较识别出研究对象之间的相同点 和差异性,然后根据相同点将数学对象归并为较大的部分,根据差异点将数学对象 归并为较小的部分,从而将数学对象区分为具有一定从属关系的等级类别。数学分 类关键在于选择分类的标准,对谁分类、何时分类、怎样分类是分类讨论思想的三 步骤。

例已知圆f+,=4,则经过点M(2,4),求与圆相切的直线方程。

分析:我们很容易想到,设出直线的点斜式方程尸4=k(x-2),然后利用直线
与圆相切的充要条件:“圆心到直线的距离等于圆的半径",求出k,从而得到直线

的方程,但这罩要注意,过点M的直线中,有斜率不存在的情形,需要考虑这种情 形的直线是否也满足题意,因此,这个题需要对过点M的直线分两种情况讨论。

解析:(1)当斜率存在时,设直线的方程为y一4=k(x一2),

即肛一“4_o叔戡驷彻崩得镧-2脚舭=34所蝴线
方程为3x-4y+lO=0。 (2)当斜率不存在时,易求得切线方程为x=2。

综上所述,与圆相切的直线方程为3x一4y+10=0和x=2。

【变式1】函数“习=盘。a>O,a≠1)在【1,2】上的最大值比最小值大昙,求a的值。
解析:(1)当a>1时,玎曲=ax在【1,2】上是增函数,最大值为a2,最小值为a,从

而有82--a=导,解得a=i3。
(2)当0<a<l时,“曲=ax在[1,2】上时减函数,最大值为宣,最小值为a2,从而

有a-a2=詈,解得a=互1。

综上所述,日=三或a=12。
34


表的图形。

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[变式2】已知方程刀矗+2fl=脚+1∞∈砖,对于不同范围的脚值,分别指出方程代

解析:(1)当脚=。时,方程变为2,=l,即y=士譬,表示两条平行直线; (2)当坊=一l时,方程变为一f+2,=。,即y=±譬x,表示两条相交直线;
(3)当脚≠。且伪≠一l时,方程变为:鲁+—m生+l=l



①当m<一1时,—m+—l>O,_m-+l<0,表示焦点在x轴上的双曲线; ②当一l<历<O时,—m+—l<O,_m-+l>O,表示焦点在y轴上的双曲线;

③当o<脚<2时,o<竺兰<!坐,表示焦点在x轴上的椭圆;

④当脚=2时,方程变为,+z=吾,表示圆;
⑤当///>2时,o<m+Al<_m-+l,表示焦点在y轴上的椭圆。
f点评1本题主要的目的是学习分类标准的方法:由于脚:O与脚:-I时,系数变为0, 故要对脚=O与脚=一1的情况分别进行讨论,方程化为一般形式后,要确定是椭圆还

是双曲线,就必须对望盟与罢兰进行讨论,当里丛:竺盟即脚:2,是一个临界 2
///



J力

点,这样一1,0,2就将数轴分成了四个区间,然后再分别进行讨论。

4.3实践研究的结果分析
通过在华中科技大学附属中学近半年的实践研究,我认为将变式教学按照数学 知识进行分类是完全可行的。我国数学教学一直以来都比较重视对学生基础知识和 基本技能(双基)的培养、新课标认为,在现代,基础知识和基本技能任然是高中 学生学习的重点,但是现在的数学知识与以前的数学知识不同,现在的数学知识中 纳入了数学思想方法,增加了数学知识的难度。许多专家学者将变式教学分为概念
35



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式变式和过程式变式两种类型,基于新课标体系下的高中数学知识,将变式教学分 为数学概念、数学命题和数学思想方法的变式教学三类,经过实践检验,也是行的 通的,完全能够适合高中数学教学。 4.3.1变式教学的优点 (1)有利于学生掌握数学知识 从上面的实践研究中可以看出,基于数学知识分类的变式教学能够让学生从多

层次多角度理解概念,从而能够更有效地把握数学概念的本质属性,进而达到能够 灵活运用的目的;对于数学命题的教学,通过变式使学生了解命题的由来(这在是
以前教学中往往忽略的)、认识命题的结构及其推导过程,学生在变式中经历数学 活动,从而获得数学活动的经验;数学思想方法是在数学题目中运用,因此,通过 一些变式训练来有针对性的进行数学思想方法的渗透,让学生在实践、发现的过程 中理解掌握数学思想方法。 (2)有利于激发学生学习数学的兴趣,增强学生学习的主动性 巴普洛夫学说认为,“在学习活动中,若只有一种分析器连续使用,在大脑皮 层就容易产生抑制,使学生逐渐失去注意力,而使用多种分析器则可以提高大脑皮 层的兴奋性,促使暂时神经联系的形式,使注意力得以较长时间保持。" 通过变式教学能使学生将已有的生活经验和知识体系与所学内容联系起来,而 教师根据教学内容所创设的不同情境则可以激发学生学习数学的兴趣,让学生亲身 经历知识的发生、形成及运用的过程,从而促进智力和能力的提高。例外课堂教学 的效果很大程度上取决于学生的参与程度,变式教学使一题多解、一题多用,多提 重组,能够给学生一种新鲜的感觉,能够激发学生的好奇心与求知欲,从而就产生

主动参与学习的动力,主动的参与到学习活动中,体现现代数学教学的趋势……让
学生真正成为课堂的主人。 (3)有利于培养学生的创新精神 创新就是通过旧知识的重组得出新知识的过程。“新"突出的是与众不同,我 认为在数学教学中,创新的关键是如何培养学生的提问题的意识,学生有疑问才会 主动的去思考,才会有所创新。作为教师,在课堂上要自觉地启发学生有意识的多 提问题,问题是思维的结果,同样也是创新的开始。学生在学习过程中常常会提出 许多令人出乎意料但又与众不同的见解,其中就蕴含着智慧的萌芽,哪怕有一点点 的创新,教师也要充分肯定和鼓励。在教学过程中运用变式教学可以引导学生从多 方面,多角度思考问题,能够启发学生多讨论,从而能够有效地提高学生的思维创 造性,进而大大激发学生学习数学的兴趣,培养学生的创新精神。
36



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(4)有利于学生数学思维水平的提高 新《数学课程标准》指出:“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆, 动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。"实施变式教学,将 命题的条件、结论以及问题的形式变换,但问题的本质却不变,并且使本质的东西 更加突出,使学生在学习时不知识停留在问题的表面,能一定程度上看清问题的本 质,同时也能学会比较全面的看问题,这是数学思维水平提升的表现。 在高中实施变式教学可以让教师有意识、有针对性地积极启发引导学生从“变" 的现象中发现“不变"的本质,从“不变"的本质中探寻“变"的规律,从而能够 有效地引导学生将已有知识与所学的新知识点串联起来,达到融会贯通。

4.3.2课堂变式教学的实施方式

(1)数学概念的变式教学:概念引入一.->概念理解~.->概念掌握…..》灵活
运用

(2)数学命题的变式教学:定理(公式)发现…一->定理(公式)多证一一->
定理(公式)变形 (3)数学思想方法的变式教学:变式题组法

37



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5总结

5.1目前高中数学变式教学中存在的问题
5.1.1“双基教学一与。变式教学一 我国传统的数学教学非常重视“双基教学"与“变式教学",那么在新的数学

教育理论指导下,我们应如何重新去认识“双基教学"与“变式教学"的局限性与 合理性呢?在新的教学实践中我们又如何去应用这些重要的数学教学方法?对于 一些必要的总结和反思,我们又如何做出新的发展呢?这些问题都是值得我们去探
索。在新课标体系下,数学课的时间不够是摆在教师面Ij{『的一个困难,本来一周上 6节数学课,内容都讲不完,而新课标却规定每周上4节,这就导致课堂上好多内

容教师都是匆匆带过,对于一些考试不考的内容老师一般都会说“有兴趣的同学可
以课后自己思考",这样的课程安排,教师上课教的苦,学生学得也同样吃力。面 对这样的现实,教师对“数学基础知识"的教学的认识应该是“不求全,而求联”,

类似地,对“数学基本技能"的教学的认识应该是“不求全,而求变”。 5.1.2变式教学与课堂教学质量
学生的学习方法是否科学是影响学生学习效率的主要因素,也是影响教师课堂 教学质量的关键因素。运用变式教学可以培养学生养成良好的学习习惯和科学的学

习方法,通过对问题的变式可以折射出与此相关的更多的问题,由于课堂上的时间
是有限的,教师不能一一为学生解答疑问,所以只能靠学生自己课后思考,自己解 决疑问,这样是否就影响到了教学的进度与效率呢?其实,对于一节变式教学课, 看似需要处理的题目比一节习题课要处理的题目多好多,但是,通过变式教学可以 是一道题目变成多道类似的题目,其本质是不变的,从而将学生从“题海"中解放 出来。教师还可以在教学过程中引导学生对所学的知识进行归纳总结,对某些特殊 的题目总结其步骤,以次来有针对性地加强巩固学生的记忆,让学生真正从“学会" 到“会学"。 在实际的数学变式教学中,教师可以有针对性地选择一些具有探索价值的问题

进行研究,通过对问题的条件进行多层次多角度变换(如弱化条件、条件一般化等
等),引起学生的求知欲,让学生产生兴趣,学生在对问题进行了一系列思考后就 会对问题本身产生深刻的认识,从而能够触类旁通、举一反三(即发散思维的变通 性),有效提高学习效率,与此同时,课堂教学质量也随之提高。
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5.1.3变式教学与题海战术 实施变式教学是否就等于“题海战术”?中国传统的教师都认为学生要想掌握 巩固所学的知识就需要做充分的练习,有些人认为:做大量的练习就意味着学生需 要做重复的模仿、记忆,这就是题海战术,其实这个观点是片面的,因为重复也是 记忆学习的一种方式,是学生学习数学的一项必要的技能。学习数学需要做重复的 习题不假,但是重复的应该是数学知识的规律与本质,而不是那些非本质的东西, 我们实施变式教学的目的就是通过变换问题的非本质属性使学生抓住本质属性,在 排除次要因素的过程中展示主要的学习方法。变式的核心是保持问题的本质不变, 其中涉及到的基础知识和基本技能可以精心设计,适当变换,学生通过这些各式各 样的变式来认识问题的不变本质。变式教学不等以“题海战术",因为通过变式可 以是学生摆脱枯燥无味的大量重复练习,轻松地掌握数学知识与技能,并且能够在

适当的情景中运用所学的知识。
5.1.4过程与结果

我国数学教学过程中长期以来一直存在一个问题…偏重数学结论而忽视数
学过程。学生在数学活动中对教师存在很强的依赖心理,缺乏主动钻研和创新精神, 这样就形成学生学习方式被动、单一,缺乏独立获取知识的能力,只等着教师给出 结论,忽略了得到结论的过程。从学生角度来考虑,他们一是期望教师对于所要学 习的知识进行系统的归纳总结,然后指出重点难点和关键点;二是期望教师给出详 细的解题步骤,习惯一步一步的生搬硬套。事实上以上两点也是大多数数学教师经 常做的,在课前不提Ij{『让学生预习所要学习的内容,课上不需要学生看课本,课下 也不给学生布置复习教材的任务,知识一味的做题,长此以往,学生们的钻研和创 新精神都被扼杀,丧失了学习的积极性、主动性,在这样的情况下,学生是不可能 产生高效的学习效率的,也体会不到学习的乐趣。 5.1.5对学生的评价 中国的传统只凭分数对一个学生做出评价,很好考虑到学生取得分数的“数学 过程",可以说高考决定了一个人的一生,即使这个人的做人品质比较恶劣,即使 他与人交流的能力差…..,只要他有“高分"就不是什么问题。分数在数学这门学 生显得尤为突出,家长们只看重孩子的考试分数,从不问及“过程",这样下去, 从无形中就助长了孩子学习数学偏重结论的心理。实施变式教学就是要求学生了解 知识的发现、发生、发展的过程,而教师、家长的做法就使得学生不管知识的来龙 去脉以及对知识的理解,一心只想着怎么样能提高分数,在学习过程中比较苦、比 较累,数学思维的方法就得不到提高,观察问题、分析问题的能力就更得不到改善。
39



一,

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因此,对学生的评价体系和标准有待于进一步完善。

5.2对目前变式教学的建议与反思
5.2.1教师要转变自己的角色 这就要求我们教师要打破“师道尊严"的旧俗,走下高高的讲台,走近学生, 与学生建立平等的关系;要求师生共同探索发现知识,鼓励学生多进行主动地发问、 思考,师生之间积极交换意见:要求师生在情感上建立一种朋友的关系,使学生在 学习上感到放松,充分发挥自己的想象力与创造力。变式教学注重对学生想象力与 创造力的培养,如果师生之间建立了良好的朋友关系,那么在课堂上就可以进行很 好的互动,产生活跃的课堂气氛,这样就能发动学生积极参与到对问题的探讨中, 有利于学生进行发散思维,大胆创新。

5.2.2传统的“穿新鞋,走老路"的现象需要改善
高中阶段的数学课程主要强调要从学生已有的生活经验出发,展示由实际问题 抽象成数学模型的过程,让学生亲自体验,从而使学生在获得数学知识的同时,在 技能、情感、价值观等方面得到发展。变式教学要求“变”,传统的“穿新鞋,走 老路’’的套路行不通,因此,只有改善目前这种状况才能是我国的高中数学教学效 率得到提高,学生能愉悦的学到需要掌握的数学知识。

5.2.3需要增加一些必要的探究性课题
在新课程的理念指导下,探究性教学比较注重学生的自主探究与合作探究,教 师在课堂教学过程中可以创设必要的问题情境,引导学生积极参与到教学活动中 来,通过这种师生之间的交互作用来重现知识的发生、发展过程。进行探究性教学 要注意不能仅仅把探究当做是一次又一次的将知识重现,而又一次又一次的在原地 踏步,这样一来就失去了探究的价值,学生们也会逐渐失去探究的动力和兴趣。在

课堂上进行变式教学很适应对问题进行探究,通过问题的变式,学生往往会由此产
生灵感和情绪上的冲动,正是这种“灵感"和“情感上的冲动"才会带来学生的创 新和发现。

5.2.4建立和谐互动的师生关系
传统的观点认为,教师就是“传道授业解惑",忽视了教师在教学过程中与学 生的交流。数学教学不仅仅是数学活动的教学,更是师生之间相互交流与互动的共 同发展的过程,在课掌教学活动中进行师生互动,可以将师生双方已有经验进行相 互交流与沟通。我国传统的变式教学,教师将重心放在改变学生的学习方式、促进 学生的思维与技能的发展等上面,而学生将重心放在通过教师的引导、规范自己的


、、—/

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学习与发展,尽可能的改变自己的不J下确的学习方式,只有改变这种“接受式’’的 学习方式,建立和谐互动的师生关系,才有利于达成和实现我们的数学教学目标。

5.3变式教学的展望
通过半年多的变式教学课堂实践教学研究,笔者形成了许多自己的想法,同时 发现了好多尚未解决的问题,如:①课堂上学生的参与程度参差不齐。由于课堂时 间的有限,学生的参与性不大打折扣,一些学生进入学习状态比较慢,可能刚进入 状态就快要下课了,这就导致这部分学生的课堂参与性较差,还有就是有部分学生 提出的变式,用我们所学的知识不能解决,这就导致学生失去研究的兴趣;②在进 行变式教学时,不容易把握变式的“度"。变式过难,学生解决起来比较困难,变 式过于简单,学生不假思索就能得到结果,也不易与学生的学习,因此准确把握变 式的难易程度,对于教师来说比较困难。虽然在高中的变式教学实践中存在好多需

要完善的地方,但我们也应看到变式教学的作用和价值,笔者通过半年多的实践研
究,认为变式教学有以下几个发展自i『景: (1)实施变式教学充分体现学生在课堂教学中的主体地位。学生在自主探究 与合作探究变式的过程中,能够体验到学习的乐趣和成功的喜悦。另外学生的学习 方式也会有所改变,由以往的“被动接受"变为“主动学习",变式教学成为课堂 学习的主旋律,让学生能够相互分享学习的快乐,敢于创新,敢于挑战自我,充分 发挥自己的想象力与创造力。 (2)实施变式教学让教师享受从未有过的职业尊严和幸福。教师在实施变式 教学的活动中,以课堂为中心,立足于课堂,坚持“在学习中实践、在实践中探讨、 在探讨中研究、在研究中思考、在思考中得到提升",从而使自己的教师的专业理 论水平、专业素养和课堂教学能力有一个质的飞跃,促进教师向专业化发展,实现 自身的价值,教师在教书育人的同时育己,从知识的传播者发展成为学生学习的伙 伴,指导学生学习,师生在互动合作的过程中体验自身的价值,享受教师这一特殊 职业的尊严与幸福。 (3)变式教学让学生充分发挥自己的想象力与创造力。传统的“被动学习与 主动学习"、“全面发展与个性发展"之间的矛盾必将得到改善,学生将摆脱传统的 教育理念的束缚,树立新的教育理念,从而有更多的机会自主学习,多讨论,多思 考,在尝试、交流与合作中充分发挥自己的想象力与创造力。 另外,由于笔者对变式教学的实践研究实践比较短,可能受自己的思维以及观 察范围、角度所限,还有好多变式教学的模式以及方法还未发现,这将是以后我们
4l



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数学教师共同探究的问题。 笔者相信,变式教学这种教学方式在不久的将来会活跃在数学课堂上,会有更

多的教师应用变式进行教学,共同参与到变式教学的研究中来1

42



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MASTER’S THESIS

参考文献
【l】刘长春,张文娣,中学数学变式教学与能力培养【M】.山东:山东教育出版社,2001. 【2】章士藻,中学数学教育学【M】.北京:高等教育出版社,2008. 【3】马忠林,郑君文,张恩华,数学学习理论【M】.广西:广西教育出版社,2003. 【4】林崇德,中学数学教学心理学【M】.北京:北京教育出版社,2001.

【5】包建生,黄蓉金,易凌峰,顾泠沅,变式教学研究【J】.数学教学,2003,l:11.12.
【6】吴宪芳,郭熙汉,中学数学教育概论【M】.山东:山东教育出版社,2000. 【7】张智勇,浅谈数学概念的形成与掌握【J】.数学学习与研究,2009,11. 【8】陶贵斌,例谈变式教学应遵循的五个原则[J】.数学教学研究,2006,9:5.7. 【9】吴小锋,数学变式教学的作用与意义[J】.数学教学研究,2009,6:25.27. 【10】郑志培,潘菊玲,新课程背景下初高中数学教学现状及其衔接对策[J-I.中学数 学,2008,1 0:3—6. 【ll】李树臣,目lj{『数学教学中存在的主要问题[J】.中小学数学,2009,1. 【12】宁印光,变式教学与数学能力培养【J】.中学数学月刊,2000,12:7.9. 【13】袁素芳,新课标下数学“变式"思维的训练【J】.教育导刊,2004,7:18.21. 【14】陆书环,傅海伦,数学教学论【M】.北京:科学出版社,2004. 【15】聂必凯,数学变式教学的探索性研究[D】.华东师范大学出版社,2004,5. 【16】章建跃,中学数学教学心理学【M】.北京:北京教育出版社. 【17】张青,利用数学变式培养创造思维【M】.山东:山东教育出版社. 【1 8】余致甫,数学教育学概论【M】.上海:上海教育出版社,1999. 【19】卢均昌,重视变式教学培养思维能力【J】.中学数学月刊,2001,1. 【20】黄志雄,习题变式探究教学模式的探讨【J】.数学教学研究,2003,3. 【2l】谢景力,变式教学现状的调查研究【J】.湖南科技学院学报,2006,27. 【22】周竹筠,利用变式教学构建数学探究【J】.中学教研(数学),2005,7:10.12. 【23】曹才翰,章建跃,数学教育心理学【M】.北京:北京师范大学出版社,1989. 【24】宁印光,变式教学与数学能力的培养【J】.中学数学月刊,2000,12:7.9. 【25】戚绍斌,略谈变式教学的若干原贝JJIJ].数学通报,1996,1:2-4.

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硕士学位论文
MASTER’S THESIS

致谢
论文从最初的开题到基本成型,从最初的担心到期间遇到的困惑,再到最终的 完成,期间遇到了种种酸甜苦辣,给我最大的感触就是付出了努力总会有回报。在 论文完稿之际,回顾自己的点滴进步,忘不了一些熟悉的人名,可敬的老师,可亲 的朋友和同学。 本学位论文是在徐学文教授的悉心指导下完成的。两年来徐教授不仅在学习上 给我帮助和指导,同时还在思想生活上给我无微不至的关怀,特别是在在从论文选 题、实践研究、结果分析到论文撰写都倾注了徐老师大量的心情劳动和汗水,徐老 师严谨治学的科学态度和精益求精的工作作风深深的鼓励和感染着我,让我受益匪 浅,在此表示衷心的感谢;其次,在论文撰写过程过程中得到了数学与统计学学院

多位导师的指点与帮助,感谢华中科技大学附属中学吴学文老师及高二6班的同学
在论文的实践研究中给予的大力支持和配合,在此表示感谢;最后,我还要感谢在 一起度过两年研究生生活的同学们,J下是由于你们的支持和帮助,我才能克服一个 由一个的困难和疑惑,直至论文的顺利完成。

由于本人能力有限,论文中难免会出现一些漏洞和不恰当的地方,请给位老师同学
给予批评指正!


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