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2019届北师大版(理科数学)三个正数的算术——几何平均不等式单元测试

一、基础达标 1.设 x,y,z>0 且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z 的取值范围是( A.(-∞,lg 6] C.[lg 6,+∞) 解析 B.(-∞,3lg 2] D.[3lg 2,+∞) ) ?x+y+z?3 ? =23, lg x+lg y+lg z=lg(xyz),而 xyz≤? ∴lg x+lg y+lg z≤lg ? 3 ? 23=3lg 2, 当且仅当 x=y=z=2 时,取等号. 答案 B ) 2.若实数 x,y 满足 xy>0,且 x2y=2,则 xy+x2 的最小值是( A.1 解析 B.2 1 1 xy+x2=2xy+2xy+x2≥ C.3 D.4 3 3 1 1 3 1 3 4 2 2 2 xy · xy · x = 3 ( x y ) = 3 2 2 4 4=3. 1 当且仅当2xy=x2,即 x=1,y=2 时取等号. 答案 C 1 的最小值为( b(a-b) C.2 =(a-b)+b+ 1 b(a-b) ≥ ) D.3 3.若 a>b>0,则 a+ A.0 解析 ∵a+ B.1 1 b(a-b) 3 3 1 (a-b)· b· =3,当且仅当 a=2,b=1 时取等号,∴a+ b(a-b) 1 的最小值为 3. b(a-b) 答案 D 4.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z 的最小值为( 3 A.3 6 B.2 2 ) C.12 解析 ∵2x>0,4y>0,8z>0, 3 D.12 5 3 ∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥3 2x· 22 y · 23z= 3 3 2 2x+2y+3z=3×4=12.当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2,y=1,z=3时取等号. C 答案 5.函数 y=4sin2xcos x 的最大值为________,最小值为________. 解析 ∵y2=16sin2x· sin2x· cos2x =8(sin2x· sin2x· 2cos2x) ?sin2x+sin2x+2cos2x?3 8 64 ? =8× = , ≤8? 27 27 3 ? ? 64 ∴y2≤27,当且仅当 sin2x=2cos2x, 即 tan x=± 2时取等号. 8 ∴ymax=9 8 答案 9 3 8 3,ymin=-9 8 -9 3 3. 1 1 6.已知 a>0,b>0,c>0,且 a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤27;②abc 1 1 ≥27;③a2+b2+c2≥3;④ab+bc+ca≤3. 其中正确不等式的序号是________. 3 解析 ∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥3 abc, 1 ?1?3 1 0<abc≤?3? =27,abc≥27. ? ? 从而①正确,②也正确,又 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+ 1 b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2≥3,从而③ 正确,又 2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca≥2ab +2bc+2ca+4ab+4bc+4ca= 2 1 6(ab+bc+ca),0<ab+bc+ca≤6=3,∴④正确. 答案 ①②③④ 7.如图①所示, 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形, 再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图②所示,求这个正六棱 柱容器的容积最大值. 解 设正六棱柱容器底面边长为 x(x>0),高为 h,由右图可有 2h+ 3x= 3, 3 ∴h= 2 (1-x),V=S 底· h= 3 3 3 3 6× 4 x2· h= 2 x2·2 · (1-x) ?x x ?3 1 3 3 x x x x 2+2+1-x? = .当且仅当 = =1-x, =2 3× 2 ×2×2×(1-x)≤9×? 即x ? ? 3 2 2 3 ? ? 2 =3时,等号成立. 2 1 所以当底面边长为3时,正六棱柱容器的容积最大,为3. 二、能力提升 8.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是( A.V≥π 1 C.V≥8π 解析 B.V≤π 1 D.V≤8π ) 如图,设圆柱半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h= ?R+R+h?3 ? =π, 3.V=S· h=πR2· h=π·R· R· h≤π? 3 ? ? 当且仅当 R=R=h=1 时取等号. 答案 B ) 9.若 a,b,c>0,且 a(a+b+c)+bc=4-2 3,则 2a+b+c 的最小值为( A. 3-1 C.2 3+2 解析 B. 3+1 D.2 3-2 因为 a,b,c>0,且 a(a+b+c)+bc=4-2 3,所以 a2+ab+ac+bc =4-2 3,4-2 3=a2+ab+ac+bc= 1 2 1 2 2 2 4(4a +4ab+4ac+2bc+2bc)≤4(4a +4ab+4ac+2bc+b +c ,)所以(2 3- 2)2≤(2a+b+c)2,则 2a+b+c≥2 3-2,选 D. 答案 D 1 10.对于 c>0,当非零实数 a,b 满足 4a2-2ab+b2-c=0 且使|2a+b|最大时,a 2 4 +b+c的最小值为________. 解析 利用均值不等式找到|2a+b|取得最大值时等号成立的条件,从而可以用 1 2 4 字母 c 表示 a,b,再求a+b+c 的最小值. 由题意知,c=4a2-2ab+b2=(2a+b)2-6ab, ∴(2a+b)2=c+6ab.若|2a+b|最大,则 ab>0. 当 a>0,b>0 时, ?2a+b?2 ? , (2a+b)2=c+6ab=c+3×2a· b≤c+3? ? 2 ? 3 ∴(2a+b)2≤c+4(2a+b)2, ∴(2a+b) ≤4c,|2a+

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