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2.2.1双曲线及其标准方程教案


2.2.1 双曲线及其标准方程教案 一、教学目标 1.知识与技能目标 理解双曲线的概念,掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义 解决实际问题; 2.过程与方法目标 理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的 方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《几何画板》的制作或操作方法。 二、教学方法 启发引导,讲练结合 三、教学过程 1、复习 ①椭圆的定义 ②椭圆的标准方程 ③椭圆标准方程求解的建系方式及方程的化简方法 2、思考:我们知道,与两个定点距离的和为非零常数(大于两个定点间的距离) 的点的轨迹是椭圆。 那么, 与两个定点距离之差为非零常数的点的轨迹是什么? 3、新知引入 取一条拉链,拉开他的一部分,在拉开的两边上个选择一点,分别固定在点 F1,F2 上,把笔尖放在点 M 处,随着拉链逐渐拉开或者闭拢,笔尖所经过的点 就画出一条曲线。这条曲线是满足下面条件的点的集合:P={M||MF1 | - | MF2| = 常数}。 如果使点 M 到点 F2 的距离减去到点 F1 的距离所得的差等于同一个常数, 就 得到另一条曲线。这条曲线是满足下面条件的点的集合:P={M||MF2 | - | MF1| = 常数} 这两条曲线和起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。 4、双曲线的定义与标准方程: 1). 双曲线的定义:平面内到两定点 F1,F2 的距离的差的绝对值为常数(小于 |F1F2|)的动点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距 离叫做双曲线的焦距. 思考:(1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹是什么? 例如|MF1|-|MF2|=2a,表示哪支呢? 而|MF2|-|MF1|=2a 呢? (2)将定义中的常数令为零,动点轨迹是什么? (3)将定义中的“小于”换为“等于”,动点轨迹是什么? (4)将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹是什么? 2).双曲线的标准方程: 类似于椭圆求标准方程, 推导双曲线标准方程的过程就是求曲线方程的过程,可 根据求动点轨迹方程的步骤,求出双曲线的标准方程 过程如下: (1)建系设点; (2)列式; (3)变换; (4)化简; 建系:以焦点所在直线 为 x 轴,以两焦点的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 y 系 XOY(如下图)设 M(x , y),双曲线的焦距为 2c(c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 列式: MF1 ? MF2 ? 2a M 变换:
F 1

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a
2 2 2 2

O

F2x

化简:化简得到焦点在 X 轴上的双曲线的标准方程为: , x2 y2

a2

?

b2

? 1(a ? 0, b ? 0)

其中焦点坐标为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ;

c2 ? a 2 ? b2 .

类似的得到焦点在 Y 轴上的双曲线的标准方程为: ,

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

其中焦点坐标为 F1(0,-c),F2(0,c),

思考:双曲线的标准方程有哪些特点,与椭圆标准方程对比有何不同。 (1)焦点在 x 轴上时,双曲线的标准方程为: ;

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
焦点在 y 轴上时,双曲线的标准方程为:

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2
标准方程左边的两项用“—” 号连接。 (2)a,b,c,的关系: (3)焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母 2x、2y 项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在 的轴 而双曲线是根据项的正负号来判断焦点的位置,X^2 的系数为正数时,焦 点在 X 轴上,反之则焦点在 Y 轴上。 【概念巩固】 5 例题讲解 6 课堂练习 7 课堂小结 8 课后作业

c2 ? a 2 ? b2 .


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