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第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


第一节
1.平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式: . (2)中点公式: 2.直线的倾斜角

直线的倾斜角与斜率、直线的方程
知识点预习

3.直线的斜率

4.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 适用范围

一般式

预习练习题
1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( (2)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( ) ) ) )

(4)经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示.( x y (5)不经过原点的直线都可以用 + =1 表示.( a b )

(6) 经过任意两个不同的点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 的直线都可以用方程 (y - y1)(x2 - x1) = (x - x1)(y2 - y1) 表 示.( )
1

2、直线 3x-y+a=0 的倾斜角为( A.30° B.60°

) C.150° D.120° ) D.第四象限

3、如果 A· C<0,且 B· C<0,那么直线 Ax+By+C=0 不通过( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

4、若过两点 A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为 12,则 m=________. 5、已知三角形的三个顶点 A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则 BC 边上中线所在的直线方程为________. 6、已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则实数 a=________. 7、过点(5,10)且到原点的距离是 5 的直线的方程为________. 8、过点 M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________. 9、若过点 A(m,4)与点 B(1,m)的直线与直线 x-2y+4=0 平行,则 m 的值为________. 10、直线 l 经过 A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,则直线 l 的倾斜角的取值范围为____________.

例题选讲 ?π,π??的倾斜角的取值范围是 ( 例 1、(1)直线 2xcos α-y-3=0? α ∈ ? ?6 3??
π π? A.? ?6,3? π π? B.? ?4,3? π π? C.? ?4,2? ) π 2π? D.? ? 4, 3 ?

(2)直线 l 过点 P(1,0), 且与以 A(2,1), B(0, 3)为端点的线段有公共点, 则直线 l 斜率的取值范围为__________.

例 2、根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为 (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为 12;

10 ; 10

(3)直线过点(5,10),且到原点的距离为 5.

2

例 3、已知直线 l 过点 P(3,2),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积 的最小值及此时直线 l 的方程.

例 4、已知直线 l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当 0<a<2 时,直线 l1,l2 与两坐标轴围成一个 四边形,当四边形的面积最小时,求实数 a 的值.

例 5、设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0 (a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

3

第一节
一、选择题 1、直线 xcos α+ 3y+2=0 的倾斜角的范围是( π π? ?π 5π? A.? ?6,2?∪?2, 6 ? π? ?5π ? B.? ?0,6?∪? 6 ,π? ) π C. 2 )

课堂练习

5π? C.? ? 0, 6 ?

π 5π? D.? ?6, 6 ?

π 2、直线 x= 的倾斜角等于( 3 A.0 B. π 3

D.π ) π? C.? ?0,4? ) π? ?π ? D.? ?0,4?∪?2,π?

3、直线 xsin α+y+2=0 的倾斜角的取值范围是( A.[0,π) π? ?3π ? B.? ?0,4?∪? 4 ,π?

x y 4、若直线 + =1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( a b A.2 B.3 C.4 D.5

π? 5、设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为? ?0,4?,则点 P 横坐标的取值范围为( 1? A.? ?-1,-2? ) B.[-1,0] C.[0,1] 1 ? D.? ?2,1?

二、填空题 y 1、已知实数 x,y 满足 2x+y=8,当 2≤x≤3 时,则 的最大值为________;最小值为________. x 2、已知线段 PQ 两端点的坐标分别为 P(-1,1)和 Q(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与线段 PQ 有交点,则 实数 m 的取值范围是________. 3、已知直线 l 过(2,1),(m,3)两点,则直线 l 的方程为______________. 4、在平面直角坐标系 xOy 中,设 A 是半圆 O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线 OA 的倾斜角为 45°,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为 H,过 H 作 OA 的平行线交半圆于点 B,则直线 AB 的方程是________.

5、 设 m∈R, 过定点 A 的动直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx-y-m+3=0 交于点 P(x, y), 则|PA|· |PB| 的最大值是________.

6、 在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y=2a 与函数 y=|x-a|-1 的图象只有一个交点, 则 a 的值为________. 三、解答题
4

1、求适合下列条件的直线方程: (1)经过点 P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等;

(2)经过点 A(-1,-3),倾斜角等于直线 y=3x 的倾斜角的 2 倍.

1 2、(1)求过点 A(1,3),斜率是直线 y=-4x 的斜率的 的直线方程. 3

(2)求经过点 A(-5,2),且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上截距的 2 倍的直线方程.

5

第一节
3 A.m≠- 2

课后作业
)

1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0 表示一条直线,则参数 m 满足的条件是( B.m≠0 C.m≠0 且 m≠1 D.m≠1

2.如果 f′(x)是二次函数,且 f′(x)的图象开口向上,顶点坐标为(1, 3),那么曲线 y=f(x)上任一点的切 线的倾斜角的取值范围是( π? A.? ?0,3? ) π 2π? C.? ?2, 3 ? ) π ? D.? ?3,π?

π π? B.? ?3,2?

3.如图中的直线 l1,l2,l3 的斜率分别为 k1,k2,k3,则 ( A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

4.设直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 α,且 sin α+cos α=0,则 a,b 满足 ( A.a+b=1 C.a+b=0 B.a-b=1 D.a-b=0

)

5.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为( A. 3 C.0 B.- 3 D.1+ 3

)

π π? ?2π ? 6.若直线 l 的斜率为 k,倾斜角为 α,而 α∈? ?6,4?∪? 3 ,π?,则 k 的取值范围是__________. 7. 一 条 直 线 经 过 点 A( - 2,2) , 并 且 与 两 坐 标 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 1 , 则 此 直 线 的 方 程 为 ________________________________________________________________________. 8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的最小值为________. 9.设直线 l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y-2m+6=0 (m≠-1),根据下列条件分别确定 m 的值: (1)直线 l 在 x 轴上的截距为-3;(2)直线 l 的斜率为 1.

10.已知点 P(2,-1). (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.

6

11.若直线 ax+by=ab (a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为( A.1 C.4 B.2 D.8

)

12.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________.

13.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的取值范围是________.

14.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 1 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方程. 2

15.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求 此时直线 l 的方程.

7


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