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2008高考山东数学理科试卷含详细解答(全word版)


年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
第Ⅰ卷(共 60 分)
参考公式: 参考公式: 球的表面积公式: S = 4πR ,其中 R 是球的半径.
2

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的 概率: Pn ( k ) = Cn p (1 ? p )
k k n?k

(k = 0,2, ,n) . 1, L

如果事件 A,B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) . 如果事件 A,B 相互独立,那么 P ( AB ) = P ( A) P ( B ) . 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1.满足 M ? {a1,a2,a3,a4 } ,且 M I {a1,a2,a3 } = {a1,a2 } 的集合 M 的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

解析:本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。集合 M 中必含有 a1 , a2 , 则 M = {a1 , a2 } 或 M = {a1 , a2 , a4 } .选 B. 2.设 z 的共轭复数是 z ,若 z + z = 4 , z z = 8 ,则

z 等于( z



A. i B. ?i C. ±1 D. ±i 解析:本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。可设 z = 2 + bi ,由 z ? z = 8

z z 2 ( 2 ± 2i ) 得 4 + b = 8, b = ±2. = = = ±i. 选 D. z 8 8
2 2

3.函数 y = ln cos x ? ? y

π? ? π < x < ? 的图象是( 2? ? 2
y



y

y

?

π 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x π ? 2 2

O

π x 2

A.

B.

C.

D.

解析:本小题主要考查复合函数的图像识别。 y = ln cos x ( ?

π
2

<x<

π
2

) 是偶函数,

可排除 B、D,由 cos x ≤ 1 ? ln cos x ≤ 0 排除 C,选 A.

4.设函数 f ( x) = x + 1 + x ? a 的图象关于直线 x = 1 对称,则 a 的值为( A.3 B.2 C.1 D. ?1



解:x + 1 、x ? a 在数轴上表示点 x 到点 ?1 、 的距离, a 他们的和 f ( x) = x + 1 + x ? a 关于 x = 1 对称,因此点 ?1 、 a 关于 x = 1 对称,所以 a = 3 (直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦,如取特殊值解也可以) 5.已知 cos ? α ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? α + ? + sin α = ? 的值是( 6? 5 6 ? ?
B.



A. ?

2 3 5

2 3 5

C. ?

4 5

D.

4 5

解: cos(α ? :

π
6

) + sin α =

3 3 4 1 3 4 cos α + sin α = 3 , cos α + sin α = , 2 2 5 2 2 5

sin(α +

? 3 ? 7π π 1 4 ) = ? sin(α + ) = ? ? sin α + cos α ? = ? . ? 2 ? 6 6 2 5 ? ?

6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何 2 体的表面积是( ) A. 9 π B. 10 π 3 D. 12 π C. 11π 解:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合 2 2 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 而成的,其表面及为

S = 4π × 12 + π × 12 × 2 + 2π ×1× 3 = 12π .
7.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1, 3, , 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选 2, L 18 出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( ) A.

1 51

B.

1 68

C.

1 306
3

D.

1 408

解:古典概型问题,基本事件总数为 C18 = 17 × 16 × 3 。 选出火炬手编号为 an = a1 + 3( n ? 1) , a1 = 1 时,由 1, 4, 7,10,13,16 可得 4 种选法;

a1 = 2 时,由 2,5,8,11,14,17 可得 4 种选法; a1 = 3 时,由 3, 6,9,12,15,18 可得 4 种选法。 P= 4+4+4 1 = . 17 × 16 × 3 68

8.右图是根据《山东统计年鉴 2007》中的资料作成的 1997 年至 2006 年 2 我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图. 图中左边的数字从左到右分别表 3 示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字, 右边的数字表示城镇 3 居民百户家庭人口数的个位数字. 从图中可以得到 1997 年至 2006 年我省 城镇居民百户家庭人口数的平均数为( ) A.304.6 B.303.6 C.302.6 D.301.6 解:

9 1 0 2 1 0

1 5 8 6 2 4 7

?9 ? 9 ? 5 ? 2 + 2 + 6 + 10 + 12 + 14 + 17 = 3.6 10

9. ? x ?

? ?

1 ? ? 展开式中的常数项为( 3 x?
B.1320
r 12 ? r

12

) D.220

A. ?1320 解: Tr +1 = C12 x

C. ?220

(?

r 4r ? 12 ? 1 r 4r r r ) = (?1) r C12 x12 ? r ? x 3 = (?1) r C12 x 3 , 令 12 ? = 0得r = 9 3 3 x

9 3 ∴常数项T10 = (?1)9 C12 = ?C12 = ?

12 × 11× 10 = ?220. 3 × 2 ×1

10.设椭圆 C1 的离心率为

5 ,焦点在 x 轴上且长轴长为 26.若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的两个焦 13


点的距离的差的绝对值等于 8,则曲线 C2 的标准方程为(

A.

x2 y 2 ? =1 42 32

B.

x2 y2 ? =1 132 52

C.

x2 y 2 ? =1 32 42

D.

x2 y2 ? 2 =1 132 12
x2 y 2 ? = 1. 42 32

解: 对于椭圆 C1 ,a = 13, c = 5, 曲线 C2 为双曲线,c = 5, a = 4 ,b = 3, 标准方程为:

11.已知圆的方程为 x 2 + y 2 ? 6 x ? 8 y = 0 .设该圆过点 (3, 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 5)

BD ,则四边形 ABCD 的面积为(
A. 10 6 B. 20 6

) C. 30 6 D. 40 6

解: 化成标准方程 ( x ? 3) 2 + ( y ? 4) 2 = 25 ,过点 (3,5) 的最长弦为 AC = 10, 最短弦为 BD = 2 52 ? 12 = 4 6,

S=

1 AC ? BD = 20 6. 2

? x + 2 y ? 19 ≥ 0, ? 12.设二元一次不等式组 ? x ? y + 8 ≥ 0, 所表示的平面区域为 M ,使函数 ?2 x + y ? 14 ≤ 0 ?
y = a x (a > 0,a ≠ 1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是(


A. [1, 3]

B. [2,10]

C. [2, D. [ 10, 9] 9]

解:区域 M 是三条直线相交构成的三角形(如图) 显 然 a > 1 , 只 需 研 究 过 (1, 9) 、 (3,8) 两 种 情 形 ,

a1 ≤ 9 且 a 3 ≥ 8 即 2 ≤ a ≤ 9.

第Ⅱ卷(共 90 分)

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 填空题: 13.执行右边的程序框图,若 p = 0.8 ,则输出的 n = . 开始 输入 p

1 1 1 解: + + > 0.8 ,因此输出 n = 4. 2 4 8
14.设函数 f ( x) = ax + c(a ≠ 0) ,若
2



1

0

f ( x)dx = f ( x0 ) ,

n = 1,S = 0 S < p?


0 ≤ x0 ≤1 ,则 x0 的值为
解:


1 0



1

0

1 1 f ( x)dx = ∫ (ax 2 + c)dx = ax 3 + cx 0 3



a 3 = + c = ax0 2 + c ∴ x0 = 3 3
15.已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, 向量 m = ( 3, 1) , n = (cos A, A) .若 m ⊥ n , ? sin 且 a cos B + b cos A = c sin C ,则角 B = 解: m ⊥ n ? 3 cos A ? sin A = 0 ? A = .

S=S+

1 2n

输出 n 结束

n = n +1

π
3

, sin A cos B + sin B cos A = sin C sin C

sin A cos B + sin B cos A = sin( A + B ) = sin C = sin 2 C ? C =

π
2

.∴ B =

π
6


16.若不等式 3 x ? b < 4 的解集中的整数有且仅有 1, 3 ,则 b 的取值范围为 2,

b?4 ? 0< <1 ? b?4 b+4 ? 3 解: 3 x ? b < 4 ? <x< ,? ? ? 5 < b < 7 即范围为 (5, 7) b+4 3 3 ?3 < <4 ? 3 ?

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答题: 17. 本小题满分 12 分) (本小题满分 . ( 已知函数 f ( x ) =

3 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? )( 0 < ? < π ,ω > 0 ) 为偶函数, 且函数 y = f ( x)

图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f ? π ? 的值; ? ? ?8?

π . 2

(Ⅱ)将函数 y = f ( x) 的图象向右平移

π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来 6

的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 的单调递减区间. 解: (Ⅰ) f ( x ) =

? 3 ? 1 3 sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? ) = 2 ? sin(ω x + ? ) ? cos(ω x + ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? = 2 sin ? ω x + ? ? ? . 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数,所以对 x ∈ R , f ( ? x ) = f ( x ) 恒成立, 因此 sin( ?ω x + ? ? ) = sin ? ω x + ? ?

π 6

? ?

π? ?. 6?

即 ? sin ω x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? + cos ω x sin ? ? ? ? = sin ω x cos ? ? ? ? + cos ω x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? ? = 0. 6? ? ? π? ? = 0. 6?

整理得 sin ω x cos ? ? ?

? ?

因为 ω > 0 ,且 x ∈ R ,所以 cos ? ? ? 又因为 0 < ? < π ,故 ? ? 所以 f ( x ) = 2 sin ? ω x + 由题意得

π π = . 6 2

? ?

π? ? = 2 cos ω x . 2?



ω

=2

π ,所以 ω = 2 .故 f ( x ) = 2 cos 2 x . 2

因此 f ?

π ?π? ? = 2 cos = 2 . 4 ?8?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

π 个单位后,得到 6

π? ? f ? x ? ? 的图象,再将所得图象横坐标伸长到 6? ?

原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f ?

?x π? ? ? 的图象. ?4 6?

所以 g ( x) = f ? 当 2kπ ≤

? ? x π ?? ?x π? ?x π? ? ? = 2 cos ? 2 ? ? ? ? = 2 cos ? ? ? . ?4 6? ?2 3? ? ? 4 6 ??

x π ? ≤ 2kπ + π ( k ∈ Z ) , 2 3 2π 8π 即 4kπ + ≤ x ≤ 4kπ + ( k ∈ Z )时, g ( x) 单调递减, 3 3
因此 g ( x ) 的单调递减区间为 ? 4kπ +

? ?

2π 8π ? . ,kπ + ? ( k ∈ Z ) 4 3 3?

18. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队 3 人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得 零分.假设甲队中每人答对的概率均为

2 2 2 1 ,乙队中 3 人答对的概率分别为 , , ,且各人回答正 3 3 3 2

确与否相互之间没有影响.用 ξ 表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅱ)用 A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于 3”这一事件,用 B 表示“甲队总得分大于乙队 总得分”这一事件,求 P ( AB ) . 解: (Ⅰ)解法一:由题意知, ξ 的可能取值为 0,1,2,3,且

1 2 ? 2? 2 ? 2? 1 P (ξ = 0) = C30 × ?1 ? ? = , P (ξ = 1) = C3 × × ? 1 ? ? = , 3 ? 3? 9 ? 3 ? 27 8 ?2? ? 2? 4 3 ?2? P (ξ = 2) = C × ? ? × ?1 ? ? = , P (ξ = 3) = C3 × ? ? = . ?3? ? 3? 9 ? 3 ? 27
2 3 2 3

3

2

所以 ξ 的分布列为

ξ
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

ξ 的数学期望为 Eξ = 0 ×

1 2 4 8 + 1× + 2 × + 3 × = 2. 27 9 9 27

解法二:根据题设可知, ξ ~ B ? 3, ? ,

? ?

2? 3?

?2? ? 2? 因此 ξ 的分布列为 P (ξ = k ) = C × ? ? × ?1 ? ? ?3? ? 3?
k 3

k

3? k

= C3k ×

2k , k = 0,2,. 1, 3 33

因为 ξ ~ B ? 3, ? ,所以 Eξ = 3 ×

? ?

2? 3?

2 = 2. 3

(Ⅱ)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分乙得 0 分”这一 事件,所以 AB = C U D ,且 C,D 互斥,又

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) = C × ? ? × ?1 ? ? × ? × × + × × + × × ? = 4 , ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?2? ?1 1 1? 4 P( D) = C × ? ? × ? × × ? = 5 , ?3? ?3 3 2? 3
3 3

3

由互斥事件的概率公式得 P ( AB ) = P (C ) + P ( D ) =

10 4 34 34 + = = . 34 35 35 243

解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“乙队得 k 分”这一事件, k = 0,2,. 1, 3 由于事件 A3 B0 , A2 B1 为互斥事件,故有 P ( AB ) = P ( A3 B0 U A2 B1 ) = P ( A3 B0 ) + P ( A2 B1 ) . 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,因此

P( AB) = P( A3 B0 ) + P( A2 B1 ) = P( A3 ) P( B0 ) + P ( A2 ) P( B1 ) 22 ? 1 1 1 2 ? 34 ?2? ? 1 1? 1 = ? ? × ? 2 × ? + C32 × 2 × ? × 2 + × C2 × 2 ? = . 3 ?2 3 2 3 ? 243 ?3? ?3 2?
19. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 将数列 {an } 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
3

a1 a2 a4 a7 a3 a5 a8 a6 a9 a10

…… 记表中的第一列数 a1,a2,a4,a7, 构成的数列为 {bn } , b1 = a1 = 1 . Sn 为数列 {bn } 的前 n 项 L 和,且满足

2bn = 1(n ≥ 2) . 2 bn S n ? S n

(Ⅰ)证明数列 ?

?1? ? 成等差数列,并求数列 {bn } 的通项公式; ? Sn ?
4 时,求上表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和. 91
2bn = 1 ,又 S n = b1 + b2 + L + bn , bn S n ? S n2

(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一 个正数.当 a81 = ?

解: (Ⅰ)证明:由已知,当 n ≥ 2 时,

所以

2( S n ? S n ?1 ) 2( S n ? S n ?1 ) 1 1 1 =1 ? =1 ? ? = , 2 ( S n ? S n ?1 ) S n ? S n ? S n ?1S n S n S n ?1 2

又 S1 = b1 = a1 = 1 .所以数列 ?

?1? 1 ? 是首项为 1,公差为 的等差数列. 2 ? Sn ?

由上可知

1 1 n +1 2 = 1 + (n ? 1) = , ? Sn = . Sn 2 2 n +1 2 2 2 ? =? . n +1 n n(n + 1)

所以当 n ≥ 2 时, bn = S n ? S n ?1 =

?1,    n = 1, ? 因此 bn = ? 2 ? ? n(n + 1) ,n ≥ 2. ?
(Ⅱ)解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q ,且 q > 0 . 因为 1 + 2 + L + 12 =

12 × 13 = 78 , 2

所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列 {an } 的前 78 项,故 a81 在表中第 31 行第三列, 因此 a81 = b13 q = ?
2

4 2 .又 b13 = ? ,所以 q = 2 . 91 13 × 14

记表中第 k ( k ≥ 3) 行所有项的和为 S , 则S =

bk (1 ? q k ) 2 (1 ? 2k ) 2 (1 ? 2k )(k ≥ 3) . =? = 1? q k (k + 1) 1 ? 2 k (k + 1)

20. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 如图,已知四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD 为菱形, PA ⊥ 平面 ABCD , ∠ABC = 60 , E,F
o

分别是 BC,PC 的中点. (Ⅰ)证明: AE ⊥ PD ; (Ⅱ)若 H 为 PD 上的动点, EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为

P F A B E C D

6 ,求二面角 E ? AF ? C 的余弦值. 2
o

解: (Ⅰ)证明:由四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC = 60 ,可得 △ ABC 为正三角形. 因为 E 为 BC 的中点,所以 AE ⊥ BC . 又 BC ∥ AD ,因此 AE ⊥ AD . 因为 PA ⊥ 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD ,所以 PA ⊥ AE . 而 PA ? 平面 PAD , AD ? 平面 PAD 且 PA I AD = A , 所以 AE ⊥ 平面 PAD .又 PD ? 平面 PAD , 所以 AE ⊥ PD . (Ⅱ)解:设 AB = 2 , H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH . 由(Ⅰ)知 AE ⊥ 平面 PAD , 则 ∠EHA 为 EH 与平面 PAD 所成的角. 在 Rt△EAH 中, AE = 3 , 所以当 AH 最短时, ∠EHA 最大, 即当 AH ⊥ PD 时, ∠EHA 最大. S A B E O C F D

P

H

AE 3 6 = = , 此时 tan ∠EHA = AH AH 2
因此 AH =

2 .又 AD = 2 ,所以 ∠ADH = 45o ,

所以 PA = 2 . 解法一:因为 PA ⊥ 平面 ABCD , PA ? 平面 PAC , 所以平面 PAC ⊥ 平面 ABCD . 过 E 作 EO ⊥ AC 于 O ,则 EO ⊥ 平面 PAC , 过 O 作 OS ⊥ AF 于 S ,连接 ES ,则 ∠ESO 为二面角 E ? AF ? C 的平面角, 在 Rt△ AOE 中, EO = AE sin 30 =
o

3 3 o , AO = AE cos 30 = , 2 2
o

又 F 是 PC 的中点,在 Rt△ ASO 中, SO = AO sin 45 =

3 2 , 4

又 SE =

EO 2 + SO 2 =

3 9 30 + = , 4 8 4

SO 在 Rt△ESO 中, cos ∠ESO = = SE

3 2 4 = 15 , 5 30 4

即所求二面角的余弦值为

15 . 5

解法二:由(Ⅰ)知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标 系,又 E,F 分别为 BC,PC 的中点,所以 z A(0, 0) B ( 3, 1,,C ( 3,0) D (0, 0) , 0,, ? 0) 1,, 2, P

? 3 1 ? P (0, 2) E ( 3, 0) F ? 0,, 0,, ? ,, , 1? ? ? 2 2 ?
A

F D E x C y

uuu r uuu ? 3 1 ? r 所以 AE = ( 3, 0) AF = ? 0,, 1? ? 2 ,, . ? 2 ? ?
设平面 AEF 的一法向量为 m = ( x1,y1,z1 ) ,

B

uuu r ? ?m AE = 0, ? 3x1 = 0, ? 则 ? uuur 因此 ? 3 1 x1 + y1 + z1 = 0. ?m AF = 0, ? ? ? 2 2
取 z1 = ?1 ,则 m = (0, ? 1) , 2, 因为 BD ⊥ AC , BD ⊥ PA , PA I AC = A , 所以 BD ⊥ 平面 AFC ,

uuu r
故 BD 为平面 AFC 的一法向量. 又 BD = ( ? 3,0) , 3,

uuu r

uuu r uuu r m BD 2×3 15 所以 cos < m, >= BD = . uuu = r 5 5 × 12 m BD
因为二面角 E ? AF ? C 为锐角, 所以所求二面角的余弦值为

15 . 5

21. 本小题满分 12 分) . (本小题满分 ( 已知函数 f ( x) =

1 + a ln( x ? 1) ,其中 x ∈ N* , a 为常数. n (1 ? x)

(Ⅰ)当 n = 2 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)当 a = 1 时,证明:对任意的正整数 n ,当 n ≥ 2 时,有 f ( x ) ≤ x ? 1 . 解:21. (Ⅰ)解:由已知得函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x > 1} , 当 n = 2 时, f ( x ) =

1 2 ? a(1 ? x)2 + a ln( x ? 1) ,所以 f ′( x) = . (1 ? x) 2 (1 ? x)3

(1)当 a > 0 时,由 f ′( x ) = 0 得 x1 = 1 +

2 2 > 1 , x2 = 1 ? < 1, a a

此时 f ′( x ) =

? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) . (1 ? x)3

当 x ∈ (1 x1 ) 时, f ′( x ) < 0 , f ( x ) 单调递减; , 当 x ∈ ( x1, ∞ ) 时, f ′( x ) > 0 , f ( x ) 单调递增. + (2)当 a ≤ 0 时, f ′( x ) < 0 恒成立,所以 f ( x ) 无极值. 综上所述, n = 2 时, 当 a > 0 时, f ( x ) 在 x = 1 + 当 a ≤ 0 时, f ( x ) 无极值. (Ⅱ)证法一:因为 a = 1 ,所以 f ( x ) = 当 n 为偶数时, 令 g ( x) = x ? 1 ?

? 2 2 ? a? 2? 处取得极小值,极小值为 f ? 1 + ? = ?1 + ln ? . ? ? a a ? 2? a? ?

1 + ln( x ? 1) . (1 ? x) n

1 ? ln( x ? 1) , (1 ? x) n

则 g ′( x ) = 1 +

n 1 x?2 n ? = + > 0 ( x≥ 2) . n +1 x ? 1 x ? 1 ( x ? 1) n +1 ( x ? 1)

所以当 x ∈ [ 2, ∞ ) 时, g ( x ) 单调递增, +

又 g (2) = 0 , 因此 g ( x) = x ? 1 ?

1 ? ln( x ? 1) ≥ g (2) = 0 恒成立, ( x ? 1) n

所以 f ( x) ≤ x ? 1 成立. 当 n 为奇数时, 要证 f ( x) ≤ x ? 1 ,由于

1 < 0 ,所以只需证 ln( x ? 1) ≤ x ? 1 , (1 ? x)n

令 h( x) = x ? 1 ? ln( x ? 1) , 则 h′( x ) = 1 ?

1 x?2 ≥0 ( x≥ 2) , = x ?1 x ?1

所以当 x ∈ [ 2, ∞ ) 时, h( x ) = x ? 1 ? ln( x ? 1) 单调递增,又 h(2) = 1 > 0 , + 所以当 x ≥ 2 时,恒有 h( x ) > 0 ,即 ln( x ? 1) < x ? 1 命题成立. 综上所述,结论成立. 证法二:当 a = 1 时, f ( x ) =

1 + ln( x ? 1) . (1 ? x) n 1 ≤1 , (1 ? x)n

当 x ≥ 2 时,对任意的正整数 n ,恒有 故只需证明 1 + ln( x ? 1) ≤ x ? 1 .

令 h( x ) = x ? 1 ? (1 + ln( x ? 1)) = x ? 2 ? ln( x ? 1) , x ∈ [ 2, ∞ ) , + 则 h′( x ) = 1 ?

1 x?2 = , x ?1 x ?1

当 x ≥ 2 时, h′( x ) ≥ 0 ,故 h( x ) 在 [ 2, ∞ ) 上单调递增, + 因此当 x ≥ 2 时, h( x ) ≥ h(2) = 0 ,即 1 + ln( x ? 1) ≤ x ? 1 成立. 故当 x ≥ 2 时,有 即 f ( x) ≤ x ? 1 .

1 + ln( x ? 1) ≤ x ? 1 . (1 ? x)n

22. 本小题满分 14 分) . (本小题满分 ( 如图, 设抛物线方程为 x = 2 py ( p > 0) ,M 为直线 y = ?2 p 上任意一点, M 引抛物线的切线, 过
2

切点分别为 A,B . (Ⅰ)求证: A,M ,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当 M 点的坐标为 (2, 2 p ) 时, AB = 4 10 .求此时抛物线的方程; ? (Ⅲ)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线 x 2 = 2 py ( p > 0) 上,其中, 点 C 满足 OC = OA + OB ( O 为坐标原点) .若存在,求出所有适合题意的点 M 的坐标;若不存 在,请说明理由. 解: (Ⅰ)证明:由题意设
2 ? x12 ? ? x2 ? ? A ? x1, ?,B ? x2, ?,x1 < x2,M ( x0, 2 p) . ? 2p ? ? 2p ?

uuur

uuu uuu r r

y B A O x

2 由 x = 2 py 得 y =

x2 x ,得 y′ = , 2p p

?2 p

M

所以 k MA =

x1 x , k MB = 2 . p p x1 ( x ? x0 ) , p

因此直线 MA 的方程为 y + 2 p =

直线 MB 的方程为 y + 2 p =

x2 ( x ? x0 ) . p

所以

x12 x + 2 p = 1 ( x1 ? x0 ) ,① 2p p

2 x2 x + 2 p = 2 ( x2 ? x0 ) .② 2p p

x1 + x2 = x1 + x2 ? x0 , 2 x + x2 因此 x0 = 1 ,即 2x0 = x1 + x2 . 2 所以 A,M ,B 三点的横坐标成等差数列.
由①、②得 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当 x0 = 2 时, 将其代入①、②并整理得:

x12 ? 4 x1 ? 4 p 2 = 0 ,

2 x2 ? 4 x2 ? 4 p 2 = 0 ,

2 2 所以 x1,x2 是方程 x ? 4 x ? 4 p = 0 的两根,

因此 x1 + x2 = 4 , x1 x2 = ?4 p ,
2
2 x2 x12 ? 2 p 2 p x1 + x2 x0 = = = , x2 ? x1 2p p

又 k AB

所以 k AB =

2 . p
2

由弦长公式得 AB = 1 + k 又 AB = 4 10 , 所以 p = 1 或 p = 2 ,

( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = 1 +

4 16 + 16 p 2 . 2 p

因此所求抛物线方程为 x 2 = 2 y 或 x 2 = 4 y . (Ⅲ)解:设 D ( x3,y3 ) ,由题意得 C ( x1 + x2,y1 + y2 ) , 则 CD 的中点坐标为 Q ?

? x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 ? , ?, 2 2 ? ?
x0 ( x ? x1 ) , p

设直线 AB 的方程为 y ? y1 =

由点 Q 在直线 AB 上,并注意到点 ?

? x1 + x2 y1 + y2 ? , ? 也在直线 AB 上, 2 ? ? 2

代入得 y3 =

x0 x3 . p
2

若 D ( x3,y3 ) 在抛物线上,则 x3 = 2 py3 = 2 x0 x3 , 因此 x3 = 0 或 x3 = 2 x0 . 即 D (0, 或 D ? 2 x0, 0)

? ?

2 2 x0 ? ?. p ?

(1)当 x0 = 0 时,则 x1 + x2 = 2 x0 = 0 ,此时,点 M (0, 2 p ) 适合题意. ?
2 ? x12 + x2 ? (2)当 x0 ≠ 0 ,对于 D (0, ,此时 C ? 2 x0, 0) ?, 2p ? ?
2 x12 + x2 2 x 2 + x2 2p = = 1 , 4 px0 2 x0

kCD

又 k AB =

x0 , AB ⊥ CD , p
2 2 x0 x12 + x2 x12 + x2 = = ?1 , p 4 px0 4 p2
2

所以 k AB kCD =
2 2

即 x1 + x2 = ?4 p ,矛盾. 对于 D ? 2 x0,

? ?

2 2 ? 2 x0 ? x 2 + x2 ? ,因为 C ? 2 x0,1 ? ? ,此时直线 CD 平行于 y 轴, p ? 2p ? ?

又 k AB =

x0 ≠ 0, p

所以直线 AB 与直线 CD 不垂直,与题设矛盾, 所以 x0 ≠ 0 时,不存在符合题意的 M 点. 综上所述,仅存在一点 M (0, 2 p ) 适合题意. ?


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