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2018高三数学理4月统一测试一模试题北京市西城区带答案_图文

西城区高三统一测试 数学(理科) 2018.4 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合 题目要求的一项. 1.若集合 , ,则

(A)

(B)

(C)

(D)

2 .执行如图所示的程序框图,输出的

值为

(A)

(B)

(C)

(D)

3 .已知圆的方程为

.以原点为极点,



正半轴为极轴建立极坐标系,该圆的极坐标方

程为

(A)

(B)

(C)

(D)

4 .正三棱柱的三视图如图所示,该正三棱柱

的表面积是

(A)

(B)

(C)

(D)

5 .已知

是正方形

的中心.若

,其





,则

(A)

(B)

(C)

(D)

6 .设函数
20 × 20

. 则“ 有 两 个 不 同 的 零 点 ” 是

“ , 使 ”的

( A )充分而不必要条件

( B )必要而不充

分条件

( C )充分必要条件

( D )既不充

分也不必要条件 7.函数



的图象上关于

原点

对称的点共有

(A)0对

(B)1对

(C)2对

( D ) 3 对 8.某计算机系统在同一时间只能

执行一项任务,且该任务完成后才能执行下一

项任务.现有

三项任务 U , V , W ,计算机

系统执行这三项任务的时间(单位: s )依次







,其中

.一项任务的“相对等

待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成

该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间

之比.下列四种执行顺序中,使三项任务“相

对等待时间”之和最小的是

( A ) UVW

( B ) VWU ( C ) WUV ( D ) UWV

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分 )

二、填空题:

本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30

分. 9.若复数

的实部与虚部相等,则实数

____ . 10 . 设 等 差 数 列
20 × 20

的前

项和



.若



, 则 ____ ; ____ . 11 . 已 知 抛

物线

的焦点与双曲线

的一个焦点重合,则

____ ;

双曲线的渐近线方程是

____ . 12 . 设

,若函数

的最小正周期



, 则 ____ . 13 . 安 排 甲 、 乙 、 丙 、 丁 4 人

参加 3 个运动项目,每人只参加一个项目,每

个项目都有人参

加.若甲、乙 2 人不能参加

同一个项目,则不同的安排方案的种数为

____ . ( 用 数 字 作 答 ) 14 . 如 图 , 在 长 方 体

中,







在侧面

上.若点

到直

线



的距离相等,



的最小值是

____ .

三 、 解 答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 80

分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或

演 算 步 骤 . 15 . ( 本 小 题 满 分 13 分 )

在△

中,已知



(Ⅰ)求

的大小;

(Ⅱ)





, 求 △ 的 面 积 . 16 . ( 本 小 题 满 分 13

分)

某 企 业 2017 年 招 聘 员 工 , 其 中 A 、 B 、

C 、 D 、 E 五种岗位的应聘人数、录用人数和

录 用 比 例 ( 精 确 到 1% ) 如 下 :

岗位

男性应

聘人数
20 × 20

男性录用人数

男性录用比例

女性

应聘人数

女性录用人数

女 性 录 用 比 例 A 269

167 62% 40 24 60% B 40 12 30% 202 62 31% C 177 57 32% 184 59 32% D 44

26 59% 38 22 58% E 3 2 67% 3 2 67% 总 计 533 264 50% 467 169 36%

(Ⅰ)从表中所有应聘人员中随机选择 1 人,

试估计此人被录用的概率;

(Ⅱ)从应聘 E

岗位的 6 人中随机选择 2 人.记

为这 2 人中

被录用的人数,求

的分布列和数学期望;

(Ⅲ)表中 A 、 B 、 C 、 D 、 E 各岗位的男

性、女性录用比例都接近(二者之差的绝对值

不 大 于 5% ), 但 男 性 的 总 录 用 比 例 却 明 显 高 于 女

性的总录用比例.研究发现,若只考虑其中某

四种岗位,则男性、女性的总录用比例也接

近,请写出这四种岗位.(只需写出结论)

17 . ( 本 小 题 满 分 14 分 )

如 图 1 , 在△

中,



分别为



的中点,



的中

点,



. 将△ 沿

折 起 到△ 的 位 置 , 使 得

平面

平面

,如图 2 .

(Ⅰ)求证:



(Ⅱ)求直线

和平面

所成角的正弦值;

(Ⅲ)线段

上是否存在点

,使得直线



所成角的余弦值为
20 × 20

?若存在,求出

的值;

若 不 存 在 , 说 明 理 由 . 18 . ( 本 小 题 满 分 13

分)

已知函数

,其中



(Ⅰ)若曲线



处的切线与直线

垂直,求

的值;

(Ⅱ)当

时,证明:

存在极小

值 . 19 . ( 本 小 题 满 分 14 分 )

已知圆

和椭





是椭圆

的左焦点.

(Ⅰ)求椭圆

的离心率和点

的坐标;

(Ⅱ)点

在椭圆

上,过



轴的垂线,交圆

于点





重 合 ), 是 过 点

的圆

的切线.圆

的圆心

为点

,半径长为

.试判断直线

与圆



位 置 关 系 , 并 证 明 你 的 结 论 . 20 . ( 本 小 题 满

分 13 分 )

数列



满足:

.记

的前

项和为

,并规定

.定义集









(Ⅰ)对数













,求集合



(Ⅱ)若集合



,证明:



(Ⅲ)给

定正整数

.对所有满足

的数列

,求集合

的元素个数的最小值.

西城区高三统一测试

数 学 ( 理 科 ) 参 考 答 案 及 评 分 标 准 2018.4 一 、

选 择 题 : 本 大 题 共 8 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 40
20 × 20

分.1.D2.C3.B4.D5.B6.C7.C8. A 二 、

填 空 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 每 小 题 5 分 , 共 30

分 . 9 . 10 .

, 11 .

, 12 . 13 . 14 .

注:

第 10 , 11 题 第 一 空 3 分 , 第 二 空 2 分 . 三 、 解

答 题 : 本 大 题 共 6 小 题 , 共 80 分 . 其 他 正 确 解

答 过 程 , 请 参 照 评 分 标 准 给 分 . 15 . ( 本 小 题

满 分 13 分 )

解:(Ⅰ)因为







. [1 分 ] 在△ 中 , 由 正 弦 定 理



. [3 分 ] 所 以

. [4 分 ] 因 为



[5分 ] 所 以

. [6 分 ] ( Ⅱ ) 在△ 中 , 由 余

弦定理得



所以

, [8 分 ] 整 理 得



[9分 ] 解 得

,或

, 均 适 合 题 意 . [11 分 ]



时 ,△ 的 面 积 为

. [12 分 ] 当

时 ,△

的面积为

. [13 分 ] 16 . ( 本 小 题 满 分 13

分)

解:(Ⅰ)因为

表中所有应聘人员总

数为



被该企业录用的人数为



所以

从表中所有应聘人员中随机选择 1 人,此人被

录用的概率约为

.[3分 ] ( Ⅱ ) X 可 能 的 取

值为

. [4 分 ] 因 为 应 聘 E 岗 位 的 6 人 中 ,

被 录 用 的 有 4 人 , 未 被 录 用 的 有 2 人 , [5 分 ]
20 × 20

所以





. [8 分 ] 所 以 X 的 分 布 列

为 : X 0 1[ 2 P

. [10 分 ] ( Ⅲ ) 这 四 种 岗 位 是 : B 、 C 、

D 、 E . [13 分 ] 17 . ( 本 小 题 满 分 14 分 )

解:(Ⅰ)因为

在△ 中 ,



分别为



的中点,

所以





所以

,又



的中点,

所以

. [1 分 ] 因 为

平面





,且

平面



所以

平面

, [3 分 ]

所以

. [4 分 ] ( Ⅱ ) 取

的中点

,连



,所以



由(Ⅰ)得





如图

建立空间直角坐标系

. [5 分 ] 由 题 意

得,



















设平面

的法向量为









,则



,所以

. [7 分 ]

设直线

和平面

所成的角为







所以

直线

和平面

所成角的正弦

值为

. [9 分 ] ( Ⅲ ) 线 段

上存在点



合题意.



,其中

. [10 分 ] 设

,则





所以

,从而



所以

,又



所以

. [12 分 ] 令



整理得

. [13 分 ]

20 × 20

解得

,舍去



所以

线段

上存在点

适合题意,且

. [14 分 ]

18 . ( 本 小 题 满 分 13 分 )

解:(Ⅰ)

的导

函数为

. [2 分 ] 依 题 意 , 有

, [4 分 ]

解得

. [5 分 ] ( Ⅱ ) 由



知,



同号.



, [6 分 ] 则

. [8 分 ] 所 以

对任意

,有

,故



单 调 递 增 . [9 分 ]

因为

,所以







存在

,使



. [11 分 ] 与

在区间

上的情况如下:

?K 极 小 值 ?J 所 以

在区间

上单调递减,

在区间

上单调递增.

所以

存在极小



. [13 分 ] 19 . ( 本 小 题 满 分 14 分 )

解:(Ⅰ)由题意,椭圆

的标准方程



. [1 分 ] 所 以



,从而











故椭圆

的离心率

. [3 分 ]

椭圆

的左焦点

的坐标为

. [4 分 ]

(Ⅱ)直线

与圆

相 切 . 证 明 如 下 : [5 分 ]



,其中

,则

, [6 分 ] 依 题 意 可



,则

. [7 分 ] 直 线

的方程为



整理为
20 × 20

. [9 分 ] 所 以 圆

的圆心

到直线

的距离

. [11 分 ] 因 为

. [13 分 ] 所









所以

直线

与圆



切 . [14 分 ] 20 . ( 本 小 题 满 分 13 分 )

解:

(Ⅰ)因为











, [2 分 ]

所以

. [3 分 ] ( Ⅱ ) 由 集 合

的定义



,且

是使得

成立的最小的 k ,



以 .[5 分 ] 又 因 为



所 以 [6 分 ] 所



. [8 分 ] ( Ⅲ ) 因 为

,所以



空.

设集合

,不妨设



则由(Ⅱ)可





同理

,且



所以







,所以

的元素个数

. [11 分 ] 取 常 数

数列



,并令





,适合题意,



,其元素个数恰为



综上,

的元素

个数的最小值为

. [13 分 ]

20 × 20


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