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教学案 高一数学 函数的单调性


1.3.1 函数的单调性
教学目标
认识目标 使学生能用文字语言和符号语言正确表示增函数、减函数、单调性、 单调区间的概念; 能根据图象确定函数的单调区间;掌握利用函数单调性定义证 明函数单调性的方法和步骤;能证明某些简单函数的单调性。 能力目标 培养学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题的能力以 及分析、归纳和总结能力,培养学生运动变化和数形结合的数学思想。 情感目标 使学生认识事物的变化形态,形成细心观察、认真分析的良好思维习 惯, 同时, 培养学生合作交流意识、 对数学美的艺术体验; 渗透数学思想和文化, 激发学生学习兴趣和热情,获得积极的情感体验。

教法与学法指导
1、教学中教师以探究式教学为主题,配合讲授法来规范学生的表达; 2、教学中以学生为主题,通过学生的探究学习、学生互评等,同时教师给予适 当评价,从而完成本次课的教学。

教学重难点
重点: 函数单调性概念和函数单调性的判断和证明。 难点: 判断函数的单调性和单调性的证明。 重难点突破: 学生在学习函数单调性概念的过程中, 教师通过引入具体事例加以 分析, 首先让学生直观感受函数的单调性, 进而通过引导探究认识函数的单调性; 在判断简单函数的单调性的过程中, 教师引导学生通过直接看图像以及做差这两 种方法来判断函数的单调性。

课时安排 教 具

一课时。 多媒体

一、 创设情境,引入新知
师:通过下面函数的图象变化观察函数值 f(x)随自变量 x 变化而变化的规律。

y

y ? x2

x
O

生:第一个函数是一次函数,在实数集 R 上,y 都随着自变量 x 的增大而增大; 第二个函数是二次函数,在 (??,0)上y随x的增大而减小, 0, ?) 上,y 随 x 在( ? 的增大而增大。 师: 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量增大而增大的性质我们 称之为“函数在这个区间上是增函数” ;函数在其定义域的一个区间上函数值随 着自变量的增大而减少的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数” 。 师:如何用函数的解析式和数学语言描绘上述的变化? 生:?? 师: 在(0, ?) 上,y 随 x 的增大而增大,可以描述为:在区间 0, ?) ? ( ? 上,任取
两个自变量的值 x1、x2 , 得到函数值 f ( x1 ) ? x1 、f ( x2 ) ? x2 , 当x1 ? x2 时, 我们可以得到
2 2

f ( x1 ) ? ( x2 ) ,
追问:请同学们用数学语言描述在 ? ?,0) 上函数值随自变量的增大而减小的性质。 (

二、新课讲授,概念解析
通过上面的实例,让学生归纳总结单调性的定义,教师再加以补充,并加以解释 和强调。 师:函数单调性的定义: 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两 个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? ( x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区 间 D 上是增函数. 师:请同学们仿照增函数的定义,写出减函数的定义 生:一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任 意两个自变量的值 x1、x2 ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说函数 f (x) 在区间 D 上是减函数. 师:如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 师:函数单调性的理解 (1) 在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性,即必须是 f ( x1 ) ? ( x2 ) (或
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ),而不能是 f ( x1 ) ? ( x2 ) (或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ), 从而保证定义的

纯粹性。 (2) 函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的,是局部概念; (3) 学习函数的单调性,要注意定义中条件和结论是双向使用的.

三、运用数学,例题分析
例 1.下图是定义在闭区间 (?5,5) 上的函数 y ? f (x) , 根据图象说出函数的单调区 间,以及在每一个单调区间上,它是增函数还是减函数.

设计意图:学会判断函数的单调性。提醒学生在表示区间上应注意的问题。 同时强调: 函数的单调性离开了定义域就没有任何意义。这也正是为什么函数的 三要素一个也不能缺少的原因。 讨论:结合图像,学生会写出增、减区间,根据学生书写的区间的区别和错 误,提出以下问题。 1、单调区间可以写成闭区间或者开区间吗? 2、一个函数的单调增(减)区间不止一个时,能否写成并集形式? 3、 在增、减函数的定义中,把任意x1、x2 ? D改为存在x1、x2 ? D可以吗? 给学生思考和讨论的时间, 同时适当提示学生用定义解决上面的问题。然后给出 准确的解释。 师:回答上面三个问题 1、如果区间端点处有定义,写成开区间或者闭区间都可以;如果区间端点处没 有定义,则只能写成开区间。 2、函数的单调增(减)区间不止一个时,一般不能写成并集,区间之间一般用“和” 连接或者用逗号隔开. 3、不可以.如图,虽然 f(-1)<f(3),但 f(x)在[-1,3]上并不是递增的
k (k为正常数) 告诉我们,对于一定量的气体, V 当其体积 V 减小时,压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。

例 2.物理学中的玻意耳定律 P ?

k (k为正常数) 在区间 V (0,+∞)上是单调递减的,其次,让学生通过概念来完成说明。培养学生严谨 的思维习惯。同时在此引入“作差法” ,强调这种数学方法的实用性。

设计意图:首先通过学生的直观判断来确定函数 P ?

师: 分析证明过程, 通过多媒体展示解答步骤, 然后提出问题: 通过上面的实例, 请同学们总结出证明函数单调性的一般步骤。 生:①取值:即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2 ; ②作差变形:即作差 f ( x1 ) ? ( x2 ) (或 f ( x2 ) ? ( x1 ) )),并用因式分解、配方、有 理化、通分等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形;通常是变为几个能 判断符号的式子的乘积或者是商的形式; ③定号: 确定差 f ( x1 ) ? ( x2 ) (或 f ( x2 ) ? ( x1 ) )的符号,当符号不确定时,可进行 分类讨论; ④判断:根据定义作出结论.

四.课堂练习,答疑解惑
课本 P32,练习 1、2、3、4 1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量之间的关系.

2.整个上午(8:00—12:00)天气越来越暖,中午(12:00—13:00)时分一 场暴风雨使天气骤然凉爽了许多.暴风雨过后,天气转暖,直到太阳下山(18: 00) ,才又开始转凉.请画出这天 8:00—20:00 期间气温作为时间的函数的一个 可能图象,并说明所画函数的单调区间.

3.根据下图说出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数是增函数还是 减函数.

4.证明函数 y ? ?2 x ? 1 在 R 上是减函数.

五:学生总结、教师归纳
教师说明, 提出问题, 这节课你学到了哪些数学知识?学生一一罗列, 函数 单调性的概念、 判断函数单调性的常用方法、 证明函数单调性的基本步骤。 进 一步提出问题? 整堂课体现了哪些重要的数学思维?自问自答: 从特殊到一般 的研究方法, 从大胆的猜想到严格的证明, 数形结合、 类比的思想,体现了 数学严密的逻辑思维和数学的美。

六、课后作业,巩固提高
课本 39 页习题 1.3 1、2 题

七、板书设计
1.3.1 函数的单调性
单调性定义 增函数 例2 减函数 例1 学生练习 和 附板书 学生练习 和 附板书

教学设计说明: 在教材的处理上, 本次课重点处理了单调性的概念和用作差法证明函数的单 调性问题。 在下次课中可以对作差法进行进一步补充说明,并引出做商法证明单 调性,同时给教给学生几种在作差法证明中的技巧;总结一次、二次、反比例函 数的单调性情况,对常见的单调性的结论做简单介绍并举例说明。 在教学引入中通过让学生直观感受来大致确立函数单调性的概念, 进而使本 次课的教学相对较为轻松; 本次课的重点和难点突破上力求让学生通过直观经验感知, 进而教师进行系 统讲解; 练习环节设置较长时间,主要是让学生进一步巩固所学概念。


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