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江苏省大丰市新丰中学2016届高三上学期10月月考数学试题


大丰区新丰中学 2015-2016 第一学期第一次学情检测 高三数学试题 一. 填空: (每题 5 分,计 70 分) 1.已知集合 A={-2,-1},B={-1,2,3},则 A ? B ? 2.命题:“ ?x ? R , 3 ? 0 ”的否定是
x
1 ? 1 3. (lg ? lg 25) ? 100 2 的值为 4

▲ .



▲ .

▲ ▲

4.“ ? ?

?
4

”是“ tan ? ? 1 ”的

条件. (从 “充分不必要”、 “必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空) 5. 已知幂函数 f(x)=(t -t+1)x 6.曲线 y ?
3

7 ? 3t ? 2 t 2 5

(t∈N)是偶函数,则实数 t 的值为___▲_____. ▲ .

a 和y ? x 2 在它们的交点处的两条切线互相垂直,则 a 的值是 x
2

7.已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b ( a ? 0 )在区间 [2 , 3] 上 有最大值 4 和最小值 1 , 则 a ? b 的值为 ▲ .

? ?log2 x, x ? 0, 8.设函数 f ( x ) ? ? x ,则 f ( f ( ?1)) 的值为 ▲. ? ?4 ,  x ? 0
9. 若函数 f ( x) 定义在 R 上的奇函数,且在 (??,0) 上是增函数,又 f (2) ? 0 ,则不等式

xf ( x ? 1) ? 0 的解集为 ▲
10、已知点 P (1, m ) 是函数 y ? ax ? 的切线,则 a ? b ? m ? ____▲___. 11、存在正数 x 使 e (x ? a) ? 1 成立,则 a 的取值范围是____▲___.
x

2 图像上的点,直线 x ? y ? b 是该函数图像在 P 点处 x

12.已知点 P 是函数 y ? ln x 的图像上一点,在点 P 处的切线为 l1 , l1 交 x 轴于点 M,过点 P 作 l1 的垂线 l 2 , l 2 交 x 轴于点 N,MN 的中点为 Q,则点 Q 的横坐标的最大值为 ▲

1 3 ? x ? , x ? [1, ) ? ? 2 2 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? . 若 存 在 x1 , x2 , 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 , 3 x ? 2 ?2 ? 1, x ? [ ,3) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则

f ( x2 ) 的取值范围是 x1





? 2x ? a ? x ? 1? ? 14. 设函数 f ? x ? ? ? 若 f ? x ? 恰有 2 个零点, 则实数 a 的取值范围 ? ?4 ? x ? a ?? x ? 2a ? ? x ≥1.



二.解答题: (15、16、17 每题 14 分,18、19、20 每题 16 分) 15、 (本题 14 分)已知不等式

2 ? 1 的解集为 A ,不等式 x 2 ? (2 ? a) x ? 2a ? 0 的解集为 1? x

B .(1)求集合 A 及 B ;

(2) 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

16 . 已 知 命 题 p : 指 数 函 数 f ( x) ? ( 2a? 6)在 R 上 单 调 递 减 , 命 题 q : 关 于 x 的 方 程
x

x 2 ? 3 a x ?2a 2 ? 1 ? 0的两个实根均大于 3.若“ p 或 q ”为真,“ p 且 q ”为假 ,求实数 a 的
取值范围.

17 、 ( 本 题 14 分 ) 设 函 数 y ,对任意非零实数 x1 、 x2 满足 ? f ( x )( x ? R 且 x ? 0 ) , f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x x ) 1 2 1 2 (1)求 f (1) ? f ( ?1) 的值; (2)判断函数 y?f(x )的奇偶性; (3)已知 y?f(x )在 (0,?? ) 上为增函数且 f(4)=1,解不等式 f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3

18. 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为 10 万元/辆, 出厂价为 13 万元/辆, 年销售量为 5000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增加投入成本,若每 辆车投入成 本增加的比例为 x (0< x <1 ) ,则出厂价相应提高的比例为 0.7 x ,年销售量 也相应增加.已知年利润=(每辆车的出厂价-每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为 0.4 x ,为使本年度的年利润比上年度有所增加,则投入成本 增加的比例 x 应在什么范围内? (2)年销售量关于 x 的函数为 y ? 3240 (? x 2 ? 2 x ? ) ,则当 x 为何值时,本年度的年利润 最大?最大利润为多少?

5 3

19. .已知函数 f ( x) ? mx ? 3, g ( x) ? x ? 2x ? m
2

(Ⅰ)求证:函数 f ( x) ? g ( x) 必有零点 (Ⅱ)设函数 G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 1 ①若 | G ( x) | 在 ? ?1,0? 上是减函数,求实数 m 的取值范围;

②是否 存在整数 a , b ,使得 a ? G ( x) ? b 的解集恰好是 ? a, b? ,若存在,求出 a , b 的值; 若不存在,说明理由.

20 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x (a 为实常数).
2

(1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在(1,+∞)上是增函数 ; (2)求函数 f ( x) 在上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围.

参考答案: 1、{ ?2, ?1, 2,3 } 1 8、 ?2 9、 (0,1)∪(﹣3,﹣1) 10、2 11、 a ? ?1 12、 2、?x ? R , 3x ? 0 3、 ? 20 4、充分不必要 5、1 6、 ?

2 4

7、

e2 ? 1 2e

13、 ( , 2]

4 3

14、

1 ? a ? 1或a ? 2 2

15、1)

2 ? 1 A={x|-1≤x<1} 1? x

当 a=2 时,x∈φ 当 a>2 时,{x|2<x<a} 当 a<2 时{x|a<x<2}

2)a<-1

18. 解: (1)由题意得:本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x) ; 出厂价为 13×(1+0.7x) ;年销售量为 5000×(1+0.4x) , 因此本年度的利润为 y ? [13 ? (1 ? 0.7 x) ? 10 ? (1 ? x)] ? 5000 ? (1 ? 0.4 x) ??2 分

? (3 ? 0.9 x) ? 5000 ? (1 ? 0.4 x)
即: y ? ?1800 x ? 1500 x ? 15000(0 ? x ? 1),
2
2 由 ?1800 x ? 1500 x ? 15000 ? 15000 ,

??????????6 分 得0 ? x ?

5 6

???8 分

(2)本年度的利润为

5 f ( x) ? (3 ? 0.9 x) ? 3240 ? (? x 2 ? 2 x ? ) ? 3240 ? (0.9 x 3 ? 4.8 x 2 ? 4.5 x ? 5) 3
则 f ' ( x) ? 3240? (2.7 x 2 ? 9.6x ? 4.5) ? 972(9x ? 5)(x ? 3),
' 由 f ( x) ? 0, 解得 x ?

??10 分

5 或x ? 3, 9 5 9

' ' 当 x ? (0, )时, f ( x) ? 0, f ( x) 是增函数;当 x ? ( ,1)时, f ( x ) ? 0, f ( x ) 是减函数.

5 9

∴当 x ?

5 5 时, f ( x)取极大值 f ( ) ? 20000 万元, 9 9

??1 2 分 ??14 分 ??16 分

因为 f ( x) 在(0,1)上只有一个极大值,所以它是最大值, 所以当 x ?

5 时,本年度的年利润最大,最大利润为 20000 万元. 9

19、 【解】(1) f ( x) ? g ( x) = ? x 2 ? (m ? 2) x ? 3 ? m ? 0 ,则 ? ? (m ? 4) 2 ? 0 恒成立,所以方 程 f ( x) ? g ( x) =0 必有解.函数 f ( x) ? g ( x) 必有零点. (2)? G ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?1 ? ? x 2 ? (m ? 2) x ? 2 ? m , 因为 | G ( x) | 在 ? ?1,0? 上是减函数

?m ? 2 ?m ? 2 ? ?1, ? ? 0, ? 所以 ? 2 或? 2 解得 m ? 0 或 m ? 2 . ? ? ?G (0) ? 0 ?G (0) ? 0

? ?G (a) ? a ? ?因为 a ? G ( x) ? b 的解集恰好是 ? a, b? 所以根据图像知 ?G (b) ? a ? 2 ?a ? 4(2 ? m) ? (m ? 2) ? b 4 ?
所以 ?
2 ? b 2 ? ? a ? ( m ? 2) a ? 2 ? m ? a , ? 1? (b ? 2) 消去 m 得, a ? 2 b?2 b?2 ?? b ? (m ? 2)b ? 2 ? m ? a ?

因为 a , b 为整数,所以 b ? 2 ? ?1, 或 b ? 2 ? ?2, 检验 a ? b 且 a ?

4(2 ? m) ? (m ? 2) 2 ? b得 4

a ? ?1, b ? 1; a ? 2, b ? 4 .

20. (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,?? ) , f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ?0, x

故函数 f ( x) 在 (1, ?? ) 上是增函数.????????????????4 分 (2) f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ? [1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] . x

若 a ? ?2 , f ?( x) 在 [1, e ] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e ] 上是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . ?????????????6 分 若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 2

是减函数; 当

?a ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此 时 f ( x) 是增函数.故 [ f ( x)] min ? f ( ) 2 2

?

a a a ln(? ) ? . 2 2 2
若 a ? ?2e 2 , f ?( x) 在 [1, e ] 上非正(仅当 a ? ?2e 2 ,x=e 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在

[1, e ] 上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .????????????8 分
综上可知, 当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1, 相应的 x 值为 1; 当 ? 2e 2 ? a ? ?2 时, f ( x)

的最小值为

a a a ?a ;当 a ? ?2e 2 时, f ( x) 的最小值为 a ? e 2 , ln(? ) ? ,相应的 x 值为 2 2 2 2

相应的 x 值为 e .??????????????????????10 分 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x . ∵ x ? [1, e] , ∴ ln x ?1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ? 令 g ( x) ?

x 2 ? 2x ( x ? [1, e] )??????????????????12 分 x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ? [1, e] ) ,又 g ?( x) ? ,???????14 分 x ? ln x ( x ? ln x) 2

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e ] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [ ?1,?? ) . ?????16 分


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