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2016届山西大学附中高三(上)12月月考数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年山西大学附中高三(上)12 月月考数学试卷(理 科)
一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. (5 分) (2015?开封二模)若(1+2ai)i=1﹣bi,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则|a+bi|= ( ) C. D. A. +i B.5

2. (5 分) (2016?深圳校级一模) 已知 M={y∈R|y=x2}, N={x∈R|x2+y2=2}, 则 M∩N= ( A.{(﹣1,1) , (1,1)} B.{1} C.[0,1] D. 3. (5 分) (2016?广州模拟)下列说法正确的是( ) A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 B.若 p:?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:?x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.“若α= ,则 sinα= ”的否命题是“若α≠ ,则 sinα≠ ”



4. (5 分) (2016?安徽模拟)若α∈(0, A. B. C. D.

) ,且 cos2α+cos(

+2α)=

,则 tanα(



5. (5 分) (2016?南昌校级二模)执行如图所示的程序框图,输出 应填( )

.那么判断框内

A.k≤2015 B.k≤2016 C.k≥2015 D.k≥2016 6. (5 分) (2016?安徽模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(



A.

B.

C.

D.

7. (5 分) (2016?衡阳二模) 已知变量 x, y 满足

, 则

的取值范围是 (



A.

B.

C.

D.

8. (5 分) (2015 秋?小店区校级月考)已知 为 5,则该展开式中 x2 的系数为( A. B.﹣5 C. D.5

(a∈R)的展开式中常数项



9. (5 分) (2013?沈河区校级模拟)已知函数 f(x)是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)单调递增,则关于 x 的不等式 f(x﹣1)>f(a)的解集为( ) A. B.

C.

D.随 a 的值而变化

10. (5 分) (2015?佳木斯一模)三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=1, PA= ,则该三棱锥外接球的表面积为( A.5π B. C.20π D.4π )

11. (5 分) (2016?锦州一模)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右

焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则 双曲线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D.

12. (5 分) (2009?虹口区二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S15>0,S16<0,则 中最大的是( )

A.

B.

C.

D.

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分) (2015 秋?小店区校级月考)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a?2n+a﹣2,则 an . 14. (5 分) (2016?潍坊一模)如图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点,则该点落在 阴影部分中的概率为 .

15. (5 分) (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC, DC 上,BC=3BE,DC=λDF,若 ? =1,则λ的值为 .

16. (5 分) (2016?西安三模)已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x) < ,则不等式 f(x2)< 的解集为 .

三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.) 17. (12 分) (2016?河南校级二模)已知函数 (1)设 (2)在△ABC 中,AB=1, ,且 ,求θ的值; ,且△ABC 的面积为 ,求 sinA+sinB 的值. .

18. (13 分) (2015 秋?小店区校级月考)如图,矩形 ABEF 所在的平面与等边△ABC 所在 的平面垂直,AB=2,AF=1,O 为 AB 的中点. (1)求证:OE⊥FC; (2)求二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值.

19. (12 分) (2015 春?延庆县期末)已知一个袋中装有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色 外完全相同. (1) 每次从袋中取一个球, 取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数ξ的分布列, 数学期望 E(ξ)和方差 D(ξ) . (2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球次数η 的数学期望. 20. (13 分) (2015?银川模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 心且与直线 l 相切的圆的方程. 21. (2015 秋?泉州校级期末)设函数 f(x)=x2﹣2x+alnx (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; ,求以 F2 为圆

(2)若函数 f(x)存在两个极值点 x1、x2(x1<x2) ,①求实数 a 的范围;②证明: >﹣ ﹣ln2.

选修 4-4:坐标系统与参数方程 22. (10 分) (2015 秋?小店区校级月考)在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 (φ为参数,0≤φ≤π) ,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 选修 4-5:不等式选讲 23. (10 分) (2013?新课标Ⅰ) (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围. ,射线 OM:θ= 与半圆 C 的

2015-2016 学年山西大学附中高三 (上) 12 月月考数学试 卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分.) 1. (5 分) (2015?开封二模)若(1+2ai)i=1﹣bi,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则|a+bi|= ( ) C. D. A. +i B.5

【分析】利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出. 【解答】解:∵(1+2ai)i=1﹣bi,∴﹣2a+i=1﹣bi, ∴﹣2a=1,1=﹣b,解得 a=﹣ ,b=﹣1. 则|a+bi|=|﹣ ﹣i|= = = .

故选:D. 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式,属于基础题.

2. (5 分) (2016?深圳校级一模) 已知 M={y∈R|y=x2}, N={x∈R|x2+y2=2}, 则 M∩N= (



A.{(﹣1,1) , (1,1)} B.{1} C.[0,1] D. 【分析】求出 M 中 y 的范围确定出 M,求出 B 中 x 的范围确定出 N,找出两集合的交集即 可. 【解答】解:由 M 中 y=x2≥0,得到 M=[0,+∞) , 2 2 由 N 中 x +y =2,得到﹣ ≤x≤ ,即 N=[﹣ , ], 则 M∩N=[0, ], 故选:D. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 3. (5 分) (2016?广州模拟)下列说法正确的是( A.“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件 )

B.若 p:?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:?x∈R,x2﹣x﹣1<0 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题

D.“若α=

,则 sinα= ”的否命题是“若α≠

,则 sinα≠ ”

【分析】利用充要条件判断 A 的正误;命题的否定判断 B 的正误;复合命题的真假判断 C 的正误;否命题的关系判断 D 的正误; 【解答】解:对于 A,“f(0)=0”是“函数 f(x)是奇函数”的充要条件,显然不正确,如果 函数的定义域中没有 0,函数可以是奇函数例如,y= ,∴A 不正确;

对于 B,若 p:?x0∈R,x02﹣x0﹣1>0,则¬p:?x∈R,x2﹣x﹣1≤0,∴B 不正确; 对于 C,若 p∧q 为假命题,则 p,q 一假即假命,∴C 不正确; 对于 D,“若α= ,则 sinα= ”的否命题是“若α≠ ,则 sinα≠ ”,满足否命题的形式,

∴D 正确; 故选:D. 【点评】 本题考查命题的真假的判断, 四种命题的关系, 充要条件的判定, 基本知识的考查.

4. (5 分) (2016?安徽模拟)若α∈(0, A. B. C. D.

) ,且 cos2α+cos(

+2α)=

,则 tanα(



【分析】由条件利用诱导公式、二倍角公式,同角三角函数的基本关系求得 3tan2α+20tanα ﹣7=0,解方程求得 tanα的值. 【解答】解:若 (cos2α+sin2α) , ∴ cos2α﹣ sin2α﹣2sinαcosα=0,即 3tan2α+20tanα﹣7=0. ,且 ,则 cos2α﹣sin2α=

求得 tanα= ,或 tanα=﹣7(舍去) , 故选:B. 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,诱导公式、二倍角公式的应用,以及三角 函数在各个象限中的符号,属于基础题. 5. (5 分) (2016?南昌校级二模)执行如图所示的程序框图,输出 应填( )

.那么判断框内

A.k≤2015 B.k≤2016 C.k≥2015 D.k≥2016 【分析】模拟执行程序框图,根据程序的功能进行求解即可. 【解答】解:本程序的功能是计算 S= =1﹣ 由 1﹣ = , ,得 = , + +…+ =1﹣ + ﹣ +…+ ﹣

即 k+1=2016,即 k=2015, 即 k=2016 不成立,k=2015 成立, 故断框内可填入的条件 k≤2015, 故选:A. 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题,也考查了数列求和的应用问题, 属于基础题. 6. (5 分) (2016?安徽模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由三视图判断出几何体是四棱锥,且底面是直角梯形,依据三视图的数据,求出表 面积 【解答】解:由三视图判断出几何体是四棱锥,且底面是直角梯形高为 PA;

S△PAB= ×1= ,

1×1= ,S△PBC=

×

=

,S△PAD=

=1,S 梯形=

(1+2)

∵PA=1,AC= 表面积为: 故选;B

,PC=

,CD= =

,PD=

,∴Rt△PCD 的面积=

=



【点评】 本题考查了运用空间思维能力解决空间几何体的方法, 运用三视图得出空间几何体 的结构特征是解题的关键.

7. (5 分) (2016?衡阳二模) 已知变量 x, y 满足

, 则

的取值范围是 (



A.

B.

C.

D. =1+ 表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)

【分析】作出可行域,变形目标函数可得 连线的斜率与 1 的和,数形结合可得.

【解答】解:作出满足

所对应的区域(如图阴影) ,

变形目标函数可得

=

=1+



表示可行域内的点与 A(﹣2,﹣1)连线的斜率与 1 的和, 由图象可知当直线经过点 B(2,0)时,目标函数取最小值 1+ = ;

当直线经过点 C(0,2)时,目标函数取最大值 1+ 故答案为:[ , ].

= ;

【点评】本题考查简单线性规划,涉及直线的斜率公式,准确作图是解决问题的关键,属中 档题.

8. (5 分) (2015 秋?小店区校级月考)已知 为 5,则该展开式中 x2 的系数为( A. B.﹣5 C. D.5

(a∈R)的展开式中常数项



【分析】根据

(a∈R)的展开式中常数项为 5,求出 a 的值,即可求展开

式中 x2 的系数. (a∈R) 的展开式中常数项为 =5,

【解答】 解:

∴a= , ∴展开式中 x2 的系数为 =﹣ ,

故选:A. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,属于基础题. 9. (5 分) (2013?沈河区校级模拟)已知函数 f(x)是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数,且当 x>0 时,f(x)单调递增,则关于 x 的不等式 f(x﹣1)>f(a)的解集为( ) A. B.

C.

D.随 a 的值而变化

【分析】具有奇偶性的函数定义域关于原点对称可求得 a 值,由偶函数性质知,f(x﹣1) >f(a)可化为 f(|x﹣1|)>f( ) ,根据 f(x)的单调性可得|x﹣1|> ,再考虑到定 义域即可解出不等式. 【解答】解:因为 f(x)是定义在[a﹣1,2a]上的偶函数, 所以(a﹣1)+2a=0,解得 a= . 则 f(x)定义域为[﹣ , ]. 由偶函数性质知,f(x﹣1)>f(a)可化为 f(|x﹣1|)>f( ) , 又 x>0 时,f(x)单调递增,所以|x﹣1|> ①, 又﹣ ≤x﹣1 联立①②解得 ②, x< 或 <x≤ ,

故不等式 f(x﹣1)>f(a)的解集为[ , )∪( , ]. 故选 C. 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的应用,考查抽象不等式的求解,属中等题. 10. (5 分) (2015?佳木斯一模)三棱锥 P﹣ABC 中,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=1, PA= ,则该三棱锥外接球的表面积为( ) A.5π B. C.20π D.4π 【分析】根据题意,证出 BC⊥平面 PAC,PB 是三棱锥 P﹣ABC 的外接球直径.利用勾股 定理结合题中数据算出 PB= ,得外接球半径 R= ,从而得到所求外接球的表面积

【解答】解:PA⊥平面 ABC,AC⊥BC, ∴BC⊥平面 PAC,PB 是三棱锥 P﹣ABC 的外接球直径; ∵Rt△PBA 中,AB= ∴PB= ,PA= ,可得外接球半径 R= PB=

∴外接球的表面积 S=4πR2=5π 故选 A.

【点评】本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积,着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股 定理和球的表面积公式等知识,属于中档题.

11. (5 分) (2016?锦州一模)如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右

焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A、B.若△ABF2 为等边三角形,则 双曲线的离心率为( )

A.4

B.

C.

D.

【分析】由双曲线的定义,可得 F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a,BF2﹣BF1=2a,BF2=4a, F1F2=2c,再在△F1BF2 中应用余弦定理得,a,c 的关系,由离心率公式,计算即可得到所 求. 【解答】解:因为△ABF2 为等边三角形,不妨设 AB=BF2=AF2=m, A 为双曲线上一点,F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a, B 为双曲线上一点,则 BF2﹣BF1=2a,BF2=4a,F1F2=2c, 由 ,则 ,

在△F1BF2 中应用余弦定理得:4c2=4a2+16a2﹣2?2a?4a?cos120°, 得 c2=7a2,则 .

故选:B. 【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质,考查余弦定理的运用,考查运算能力,属于 中档题. 12. (5 分) (2009?虹口区二模)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S15>0,S16<0,则 中最大的是( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由题意可得 a8>0,a9<0,故等差数列{an}是递减数列,a8 是正项当中最小的,a9 是负项当中最大的,得到 S8 最大,进而得 最大

【解答】解 由题意可得 S15= ∴a8>0. 而 S16= =

=15a8>0,

=8(a8+a9)<0.

∴a9<0. 故等差数列{an}是递减数列. 故 a8 是正项当中最小的,a9 是负项当中最大的, ∴S8 最大,故 故选 C. 最大,

【点评】 本题考查等差数列的性质, 前 n 项和公式的应用, 判断 a8 是正项当中最小的, a9 是 负项当中最大的,S8 最大,是解题的关键. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13. (5 分) (2015 秋?小店区校级月考) 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=a?2n+a﹣2, 则 an
﹣1

=2n

. 【分析】由题意可表示数列的前 3 项,由等比数列可得 a 值,可得数列的首项和公比,可得 通项公式. 【解答】解:由题意可得 a1=S1=a?21+a﹣2=3a﹣2, a2=S2﹣S1=a?22﹣a?21=2a, a3=S3﹣S2=a?23﹣a?22=4a, 由等比数列可得(2a)2=4a(3a﹣2) , 解得 a=0 或 a=1, 当 a=0 时 a2=2a=0,不能为等比数列的项,应舍去, ∴a=1,∴a1=3a﹣2=1,a2=2a=2,公比 q=2 ∴an=1×2n 1=2n 1, ﹣ 故答案为:2n 1 【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式,求出 a 的值是解决问题的关键,属基础 题.
﹣ ﹣

14. (5 分) (2016?潍坊一模)如图,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点,则该点落在 阴影部分中的概率为 .

【分析】根据题意,易得正方形 OABC 的面积,观察图形,由定积分公式计算阴影部分的 面积,进而由几何概型公式计算可得答案. 【解答】解:根据题意,正方形 OABC 的面积为 1×1=1, 由函数 y=x 与 y= 由于 y=x2 与 y= 围成阴影部分的面积为∫01( ﹣x)dx=( ﹣ )|01= ,

互为反函数,所以阴影部分的面积为 ,

则正方形 OABC 中任取一点 P,点 P 取自阴影部分的概率为 . 故答案为: . 【点评】本题考查几何概型的计算,涉及定积分在求面积中的应用,关键是正确计算出阴影 部分的面积. 15. (5 分) (2014?天津)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC, DC 上,BC=3BE,DC=λDF,若 ? =1,则λ的值为 2 .

【分析】根据向量的基本定理,结合数量积的运算公式,建立方程即可得到结论. 【解答】解:∵BC=3BE,DC=λDF, ∴ = = + , = + = = , + , = + = + = + ,

∵菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°, ∴| ∵ ∴( ? + |=| |=2, ? =2×2×cos120°=﹣2,

=1, )?( + )= )=1, + +(1+ ) ? =1,

即 ×4+ 整理得

×4﹣2(1+ ,

解得λ=2, 故答案为:2.

【点评】本题主要考查向量的基本定理的应用,以及数量积的计算,要求熟练掌握相应的计 算公式.

16. (5 分) (2016?西安三模)已知函数 f(x) (x∈R)满足 f(1)=1,且 f(x)的导数 f′(x) < ,则不等式 f(x2)< 的解集为 (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) .

【分析】设 F(x)=f(x)﹣ x,根据题意可得函数 F(x)在 R 上单调递减,然后根据 f (x2)< 可得 f(x2)﹣ <f(1)﹣ ,最后根据单调性可求出 x 的取值范围.

【解答】解:设 F(x)=f(x)﹣ x,则 F′(x)=f′(x)﹣ ∵f′(x)< ,∴F′(x)=f′(x)﹣ <0 即函数 F(x)在 R 上单调递减 而 f(x2)< 即 f(x2)﹣ <f(1)﹣

∴F(x2)<F(1)而函数 F(x)在 R 上单调递减 ∴x2>1 即 x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) 【点评】本题主要考查了导数的运算,以及利用单调性解不等式和构造法的应用,同时考查 了运算求解的能力,属于中档题. 三.解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.) 17. (12 分) (2016?河南校级二模)已知函数 (1)设 (2)在△ABC 中,AB=1, ,且 ,求θ的值; ,且△ABC 的面积为 ,求 sinA+sinB 的值. )+ , .

【分析】 (1)利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得,f(x)=2cos(x+ 由 可得,cos(θ+ )= ,结合已知

可求θ的值;

(2)由(1)知 得

由已知面积

可得,

从而有

由余弦定理

可得 a2+b2=再由正弦定理得 可求.

【解答】解: (1) = 由 得 = (5 分) . (3 分)

于是

(k∈Z) 因为

所以

(7

分)

(2)因为 C∈(0,π) ,由(1)知 因为△ABC 的面积为 ,所以

. (9 分)

,于是

.①

在△ABC 中,设内角 A、B 的对边分别是 a,b. 由余弦定理得 由①②可得 由正弦定理得 所以 或 于是 , . (14 分) 的 可以把函数化为 ,所以 a2+b2=7.② . (12 分)

【点评】 (1) 考查了二倍角公式的变形形式 应用, 辅助角公式 一个角的三角函数,进而可以研究三角函数的性 (2)考查了正弦定理及余弦定理及三角形的面积公式的综合运用.

18. (13 分) (2015 秋?小店区校级月考)如图,矩形 ABEF 所在的平面与等边△ABC 所在 的平面垂直,AB=2,AF=1,O 为 AB 的中点. (1)求证:OE⊥FC; (2)求二面角 F﹣CE﹣B 的余弦值.

【分析】 (1)根据等边三角形,确定出 OC⊥AB,根据面面垂直的性质,得出 OC⊥平面 ABEF,从而得出 OC⊥OE,根据矩形的边长的关系,得出 OF⊥OE,从而根据线面垂直的 判定定理,得出 OE⊥平面 OFC,从而得证 OE⊥FC. (2)建立空间直角坐标系,应用平面的法向量求得二面角的余弦值. 【解答】 (1)证明:连接 OC,OF,∵AC=BC,O 是 AB 的中点,∴OC⊥AB. 又∵平面 ABEF⊥平面 ABC,平面 ABEF∩平面 ABC=AB, OC?平面 ABC,∴OC⊥平面 ABEF.

∵OE?平面 ABEF,于是 OC⊥OE. 又矩形 ABEF,AB=2AF=2,∴OF⊥OE. 又∵OF∩OC=O,∴OE⊥平面 OFC,∴OE⊥FC. (2)解:由(1)得,AB=2AF=2,取 EF 的中点 D,以 O 为原点, OC,OB,OD 所在的直线分别为 x,y,z 轴, 建立空间直角坐标系.∵AB=AC,∴ ,于是有 , 从而 , =(0,﹣2,0) ,

设平面 FCE 的法向量 =(x,y,z) ,由





,取



同理,可求得平面 BCE 的一个法向量



设 , 的夹角为θ,则



由于二面角 F﹣CE﹣B 为钝二面角,所以所求余弦值为



【点评】本题考查了空间位置关系空间角、法向量的应用、向量垂直与数量积的关系、等边 三角形与矩形的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分) (2015 春?延庆县期末)已知一个袋中装有 3 个白球和 3 个红球,这些球除颜色 外完全相同. (1) 每次从袋中取一个球, 取出后不放回,直到取到一个红球为止,求取球次数ξ的分布列, 数学期望 E(ξ)和方差 D(ξ) . (2)每次从袋中取一个球,取出后放回接着再取一个球,这样取 3 次,求取出红球次数η 的数学期望. 【分析】 (1)取到 1 个红球为止,这是目标,那么取球次数ξ的最小值为 1,最大值为 4,求 出对应值的概率,由此能求出取球次数ξ的分布列,数学期望 E(ξ)和方差 D(ξ) . (2)取出后放回,这是条件,所以每一次取到红球队的概率相同,这就相当于做了三次独 立重复试验.由此得到取出红球次数η~B(3, ) ,从而能求出 E(η) . 【解答】解: (1)由题意知ξ的可能取值为 1,2,3,4, P(ξ=1)= ,

P(ξ=2)=

=

=



P(ξ=3)=

=

=



P(ξ=4)= ∴ξ的分布列为: ξ P E(ξ)= D(ξ)=

=

=



1

2

3

4

= , +(2﹣ )2× +(3﹣ )2× +(4﹣ )2× = .

(2)取出后放回,取球 3 次相当于 3 次独立重复试验, ∴取出红球次数η~B(3, ) , ∴E(η)=3× = . 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法,解题时要认真审题, 注意二项分布的性质的合理运用. 20. (13 分) (2015?银川模拟)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1,F2,且|F1F2|=2,点(1, )在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且△AF2B 的面积为 心且与直线 l 相切的圆的方程. 【分析】 (Ⅰ)先设出椭圆的方程,根据题设中的焦距求得 c 和焦点坐标,根据点(1, ) 到两焦点的距离求得 a,进而根据 b= 求得 b,得到椭圆的方程. ,求以 F2 为圆

(Ⅱ) 先看当直线 l⊥x 轴, 求得 A, B 点的坐标进而求得△AF2B 的面积与题意不符故排除, 进而可设直线 l 的方程为:y=k(x+1)与椭圆方程联立消 y,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 根据韦达定理可求得 x1+x2 和 x1?x2,进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径,求得 k,最 后求得圆的半径,得到圆的方程. 【解答】解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 椭圆 C 两焦点坐标分别为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) . ∴ ∴a=2,又 c=1,b2=4﹣1=3, 故椭圆的方程为 . . ,由题意可得:

(Ⅱ)当直线 l⊥x 轴,计算得到: , 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为:y=k(x+1) , ,消去 y 得(3+4k2)x2+8k2x+4k2﹣12=0 , 不符合题意.



显然△>0 成立,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,











又圆 F2 的半径



所以 化简,得 17k4+k2﹣18=0, 即(k2﹣1) (17k2+18)=0,解得 k=±1 所以, ,



故圆 F2 的方程为: (x﹣1)2+y2=2. 【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线,椭圆与圆的关系.考查了学生综合 运用所学知识,创造性地解决问题的能力. 21. (2015 秋?泉州校级期末)设函数 f(x)=x2﹣2x+alnx (1)当 a=2 时,求函数 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若函数 f(x)存在两个极值点 x1、x2(x1<x2) ,①求实数 a 的范围;②证明: >﹣ ﹣ln2. 【分析】 (1)求得函数的导数,求得切线的斜率和切点,由点斜式方程可得切线的方程; (2)①已知函数 f(x)=x2﹣2x+alnx+1 有两个极值点 x1, x2 可化为 f′(x)= 有两个不同的正根 x1,x2,从而解得 a 的范围; ②由根与系数的关系可得,x1+x2=1,x1x2= a,从而 a=2x2(1﹣x2) ,代入化简可得 f(x1) =(x1﹣1)2+alnx1﹣1=x22+2x2(1﹣x2)ln(1﹣x2)﹣1( <x2<1) , x2)ln(1﹣x2)﹣ =x2+2(1﹣ =0

( <x2<1)令 h(t)=t+2(1﹣t)ln(1﹣t)﹣ , ( <t<1) ,求

导判断函数的单调性,从而证明上式成立.

【解答】解: (1)函数 f(x)=x2﹣2x+2lnx 的导数为 f′(x)=2x﹣2+ , f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 2,切点为(1,﹣1) , 即有 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+1=2(x﹣1) , 即为 2x﹣y﹣3=0; (2)①函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , f′(x)= ,

∵函数 f(x)=x2﹣2x+alnx+1 有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2. ∴f′(x)=0 有两个不同的根 x1,x2,且 0<x1<x2, ∴ ,

解得,0<a< ; ②证明:由(1)知, x1+x2=1,x1x2= a,则 a=2x2(1﹣x2) , 因此,f(x1)=(x1﹣1)2+alnx1﹣1 =x22+2x2(1﹣x2)ln(1﹣x2)﹣1( <x2<1) , =x2+2(1﹣x2)ln(1﹣x2)﹣ ( <x2<1) ,

令 h(t)=t+2(1﹣t)ln(1﹣t)﹣ , ( <t<1) , 则 h′(t)=1+2[﹣ln(1﹣t)﹣1]+ = ﹣2ln(1﹣t) ,

∵ <t<1,∴1﹣t2>0,ln(1﹣t)<0, ∴h′(t)>0, 即 h(t)在( ,1)上单调递增, 则 h(t)>h( )=﹣ ﹣ln2, >﹣ ﹣ln2.

即有

【点评】本题考查了导数的综合应用,同时考查了根与系数的关系,化简比较繁琐,注意要 细心,属于难题. 选修 4-4:坐标系统与参数方程

22. (10 分) (2015 秋?小店区校级月考)在直角坐标系 xOy 中,半圆 C 的参数方程为 (φ为参数,0≤φ≤π) ,以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ,射线 OM:θ= 与半圆 C 的

交点为 O、P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. 【分析】 (I)先利用参数方程与普通方程的转化公式将圆 C 的方程转化为普通方程,再利用 公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ转化为极坐标方程; (II)利用圆 C 的极坐标方程求出点 P 的极坐标,再利用直线 l 的极坐标方程求出点 Q 的极 坐标,最后利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|计算即可. 【解答】解: (Ⅰ)半圆 C 的参数方程为 (φ为参数,0≤φ≤π) ,

化为半圆 C 的普通方程为(x﹣1)2+y2=1(0≤y≤1) , 2 利用互化公式可得极坐标方程:ρ ﹣2ρcosθ=0, ∴半圆 C 的极坐标方程是 .

(Ⅱ)设(ρ1,θ1)为点 P 的极坐标,则



解得



设(ρ2,θ2)为点 Q 的极坐标,





解得



由于θ1=θ2, ∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=4, 所以 PQ 的长为 4. 【点评】 本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化、 参数方程与普通方程的转化等基 础知识, 意在考查考生的分析问题解决问题的能力、 转化能力、 运算求解能力, 属于中档题. 选修 4-5:不等式选讲 23. (10 分) (2013?新课标Ⅰ) (选修 4﹣5:不等式选讲) 已知函数 f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集;

(Ⅱ)设 a>﹣1,且当

时,f(x)≤g(x) ,求 a 的取值范围.

【分析】 (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,画出函数 y 的图象,数形结合可得结论. (Ⅱ)不等式化即 1+a≤x+3,故 x≥a﹣2 对 都成立.故﹣ ≥a﹣2,由此

解得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣2 时,求不等式 f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0.

设 y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则 y=

,它的图象如图所示:

结合图象可得,y<0 的解集为(0,2) ,故原不等式的解集为(0,2) . (Ⅱ)设 a>﹣1,且当 ﹣2 对 都成立. 时,f(x)=1+a,不等式化为 1+a≤x+3,故 x≥a

故﹣ ≥a﹣2,解得 a≤ ,故 a 的取值范围为(﹣1, ].

【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法,函数的恒成立问题,函数的单调性的应用,体 现了数形结合以及转化的数学思想,属于中档题.


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