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【高中数学必修二】4.3.1空间直角坐标系_图文

4.3.1 空间直角坐标系

数轴上的点用代数方 法怎么表示?
B
-2 -1 A

O

1

2

3

x

数轴上的点可以用 唯一的一个实数表示

y

平面坐标系中的点又 怎么表示?
P (x,y) 平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

y

O

x

x

怎样确切的表示空间 中的点M的位置?
当建立空间直角坐标系后,空间中的点M,可以 用有序实数(x,y,z)表示.

z

M

O x

y

一、空间直角坐标系
OABC ? D A B C 是单位正方体.以O为原点,分 如图, 别以射线OA,OC, OD ' 的方向为正方向,以线段OA,OC,OD '
' ' ' '

的长为单位长,建立三条数轴:x轴、y 轴、z 轴.这时我们 说建立了一个空间直角坐标系O ? xyz ,其中点O 叫做坐标 原点, x轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平 面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz平面、zOx平面.

z
D'

C'

A'

B'

O
A B

C

y

x

在空间直角坐标系中 , 让右手拇指

指向 x 轴的正方向 , 食指指向y 轴
的正方向, 如果中指能指向z 轴的

正方向, 则称这个坐标系为

右手直角坐标系 说明:本书建立 的坐标系都是右 手直角坐标系.
x
x

z

z

O

y y

空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成1350, z

而z轴垂直于y轴.
0 135 2.y轴和z轴的单位长度相同, o

x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半. x

1350

y

空间直角坐标系的划分:


z

yz 面


zx 面
Ⅱ Ⅰ

xy 面
Ⅶ Ⅷ

?

O

y


x


空间直角坐标系把空间分成八个部分

空间直角坐标系中任意 一点的位置如何表示?

二、空间点的坐标:
设点M是空间的一个定点,过点M分别作垂直于x 轴、 y 轴和z 轴的平面,依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P、 Q 和R . 设点P、Q 和R 在x轴、y z 轴和z轴上的坐标分别是 x,y和z,这样空间一点M的 R 坐标可以用有序实数组(x, M y,z)来表示,, (x,y, M’ O Q y z)叫做点M 在此空间直角 P 坐标系中的坐标,记作 x M ( x ,y ,z ) .
其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标

三、特殊位置的点的坐标:
z

?
F

C

观察发现:坐标

?
x

1
O

?
1

E

?

?
D

B y

轴上的点至少有两 个坐标等于0;坐标 面上的点至少有一 个坐标等于0。

? A1

?

点P的位置 坐标形式

原点

O D

X轴上

A E

Y轴上

B F

Z轴上

C

(0,0,0) (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
X Y面内 Y Z面内 Z X面内

点P的位置
坐标形式

(x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)

z

(1)坐标平面内的点: ?
1 E

?
F

C

?
x

1
O

?

?
D

B y

xoy平面上的点竖坐标为0 yoz平面上的点横坐标为0 xoz平面上的点纵坐标为0

? A1

?

(2)坐标轴上的点:
x轴上的点纵坐标和竖坐标都为0 y轴上的点横坐标和竖坐标都为0

z轴上的点横坐标和纵坐标都为0

知识运用
OABC—A’B’C’D’是单位正方体.以O为原点,分别以射 线OA,OC, OD’的方向为正方向,以线段OA,OC, OD’的长为单 位长,建立空间直角坐标系O—xyz.试说出正方体的各个顶点 的坐标.并指出哪些点在坐标轴上,哪些点在坐标平面上.

z
(0,0,1)

D

'

C

'(0,1,1)

(1,0,1)

A

'

B '(1,1,1)
O(0,0,0) C(0,1,0) y
B(1,1,0)

A (1,0,0)

x

例1 : 在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, OA ? 3, OC ? 4, OD? ? 2, 写出所有点的坐标 .
z
2 D ' (0,0, 2)

C '?0,4,2?
B '(3, 4, 2)
4

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

y

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

x A (3, 0, 0)

四、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (1)与点M关于x轴对称的点: (2)与点M关于y轴对称的点: (3)与点M关于z轴对称的点:

(x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z)

(4)与点M关于原点对称的点: (-x,-y,-z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

四、空间点的对称问题:
点M(x,y,z)是空间直角坐标系O-xyz中的一点 (5)与点M关于平面xOy的对称点: (x,y,-z) (6)与点M关于平面yOz的对称点: (-x,y,z) (7)与点M关于平面zOx的对称点: (x,-y,z)

规律:关于谁对称谁不变,其余的相反。

课堂小结
1、空间直角坐标系的建立; 2、空间直角坐标系的划分(八个部分);
3、空间中点的坐标(一一对应);

4、特殊位置的点的坐标;
5、空间点的对称问题。


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