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山东省淄博市2014届高三上学期期末考试数学理试题

高三教学质量抽测试题 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟.答题前, 考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在试卷和 答题卡规定的位置。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷(共 60 分) 注意事项: I.第Ⅰ卷共 12 小题. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。不涂在答题卡上,只答在试卷上不得分。 一、选择题(本大题共 l2 小题,每小题 5 分,满分 60 分.每小题只有一项是符合题目 要求的. ) 1.设集合 A ? {x | x ? 1} ,集合 B ? {x | y ? 3 ? x} ,则 A ? B ? A. [0,??) B. (??,1) C. [1,??) D. (1,3]

2.复数 z 满足 (1 ? 2i) z ? 7 ? i ,则复数 z ? A.1+3i B.l-3i C.3+i D.3-i

3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? x ? x
3

B. y ? 3

x

C. y ? log2 x

D. y ? ?

1 x

4.执行如图所示的程序框图,若输出结果为 3,则 可输入的实数 x 的个数为

A.1

B.2

C.3
2 2

D.4

5.已知实数 a、b,则“a>b”是“ a ? b ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.已知,等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 a9 ? 2a5 , a 2 ? 2 ,则 a1 ?
2

A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D.2

7. 如图所示的三棱柱, 其正视图是一个边长为 2 的正方形, 其俯视图是一个正三角形, 该三棱柱侧视图的面积为

A. 2 3

B. 3

C. 2 2

D.4

8.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是

0) 成中心对称 A.两个函数的图象均关于点 (? ,
B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? C.两个函数在区间 ( ?

π 4

? 对称 4

? ? , ) 上都是单调递增函数 4 4
? 个单位得到函数①的图像 4

D.可以将函数②的图像向左平移 9.函数 y ? ln

1 的图象大致为 1? x

10.若 O 为△ABC 所在平面内任一点,且满足 (OB ? OC) ? (OB ? OC ? 2OA) ? 0 ,则 △ABC 的形状为 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

11.下列四个命题: ①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度; ②某只股票经历了 10 个跌停(下跌 10%)后需再经过 10 个涨停(上涨 10%)就可以 回到原来的净值; ③某校高三一级部和二级部的人数分别是 m、n,本次期末考试两级部数学平均分分别

是 a、b,则这两个级部的数学平均分为

na mb ? ; m n

④某中学采用系统抽样方法,从该校高一年级全体 800 名学生中抽 50 名学生做牙齿健 康检查,现将 800 名学生从 l 到 800 进行编号.已知从 497~513 这 16 个数中取得的学生编 号是 503,则初始在第 1 小组 1~16 中随机抽到的学生编号是 7. 其中真命题的个数是 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

12.已知 A、B、P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点,且 A、B 关于坐标原点对称, a 2 b2

若直线 PA、PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ?

2 ,则该双曲线的离心率等于 3
C. 2 第Ⅱ卷(共 90 分) D.

A.

5 2

B.

6 2

15 3

注意事项: 1.第Ⅱ卷共 10 道题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案,考生须用 0.5 毫米黑色签字笔答在答题卡规定的区域内, 在试卷上答题不得分。 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 4 分, 共 16 分. 将答案填在答题卷相应位置上. ) 13.计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ____________

14.已知函数 f ( x) ? x ? ln(x ? 1) ? 1 ,函数零点的个数是________

?x ? 2 y ? 0 ? 15. 设 z=x+y, 其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 , 若 z 的最大值为 2014, 则 k 的值为_______. ?0? y?k ?
16.若实数 a、b、c 满足 2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,则 c 的最大值是________. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .
2 2 2

(I)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sinB+sinC=1,试求内角 B、C 的大小. 18. (本小题满分 12 分) 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形;侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的 中点.

(I)证明:PA∥平面 BDE; (Ⅱ)求二面角 B-DE-C 平面角的余弦值.

19. (本小题满分 12 分) 请你设计一个包装盒, 如图所示 ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分 所示的四个全等的等腰直角三角形, 再沿虚线折起, 使得 ABCD 四个点重合于图中的点 P, 正好形成一个四棱柱形状的包装盒,其中 E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的 两个端点,设 AE=FB=xcm. (I)某广告商要求包装盒侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值; (II)某广告商要求包装盒容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值.

20. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 Sn ,等比数列 {bn } 中各项均为正数,b1=1, 且 b2 ? S2 ? 12 ,数列{bn}的公比 q ?

S2 . b2

(I)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)证明:

1 1 1 1 2 ? ? ? ?? ? . 3 S1 S 2 Sn 3
2 2 2 2

21. (本小题满分 13 分) 已知动圆 C 与圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1 相外切, 与圆 C2 : ( x ?1) ? y ? 9 相内切, 设动

圆圆心 C 的轨迹为 T,且轨迹 T 与 x 轴右半轴的交点为 A. (I)求轨迹 T 的方程; (Ⅱ)已知直线 l:y=kx+m 与轨迹为 T 相交于 M、N 两点(M、N 不在 x 轴上) .若以 MN 为直径的圆过点 A,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 22. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ln x (a 为非零常数)图像上点(e,f(e))处的切线与直线 y=2x 平 行(其中 e=2.71828…) . (I)求函数 f(x)解析式; (Ⅱ)求函数 f(x)在[t,2t](t>0)上的最小值; (Ⅲ) 若斜率为 k 的直线与曲线 y ? f ' ( x) 交于 A(x1, y1)、B( x2,y2 )( x1 ? x2 ) 两点, 求证: x1 ?

1 ? x2 . k

2014 届高三上学期期末考试数学试题 答案
一、选择题 1.D 11.C 2.B 12.D 16. 2 ? log2 3 . 3.A 4.C 5.D 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B

二、填空题: 13.

2 ,0; 3

14.2;

15.1007;

17. (本小题满分 12 分)
2 2 2 2 2 2 解: (Ⅰ)∵ a ? b ? c ? bc ,由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ,

故 cos A ? ?

2 1 π? , A ? 120 ………………6 分 2 3

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 ,∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin

?
3

? B) ? 1 ,

?
3

cos B ? cos

?

1 3 sin B ? 1 , sin B ? cos B ? 1 ,………………8 分 3 2 2

方法一:∴ sin

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B ? 1 ,∴ sin( B ?

?
3

) ? 1 ,………………10 分

π π 2 ? B? ? π, 3 3 3 π π π 故 B ? ? ,从而 B ? C ? .………………12 分 3 2 6
又∵ B 为三角形内角, 方法 2: ?

? ?sin B ? 3 cos B ? 2 ?sin B ? cos B ? 1 ?
2 2

,解得 cos B ?

3 ………………10 分 2

又∵ B 为三角形内角,故 B ? C ? (注:处理角 C 同等对待! ) 18. (本小题满分 12 分)

π .……………12 分 6

解: (Ⅰ)如图,连接 AC 交 BD 于 F,再连接 EF;……………………1 分

因为四边形 ABCD 为正方形,所以 F 为 AC 中点;……………………3 分 又因为 E 为 PC 中点,所以 EF//PA;……………………5 分 因为 EF ? 平面 BDE,PA ? 平面 BDE,且 EF//PA, 所以 PA//平面 BDE;……………………6 分 (Ⅱ)如图所示,以 D 为坐标原点,分别以 DA 、 DC 、 DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.

设 PD=DC=2,则 A(2,0,0) ,P(0,0,2) ,E(0,1,1) ,B(2,2,0) . ??? ? ???? ??? ? PA ? (2,0, ?2), DE ? (0,1,1), DB ? (2, 2,0) . (只建系无坐标不得分)………………7 分 设 n ? ( x, y,1) 是平面 BDE 的一个法向量,

?

? ???? ? ? ? y ?1 ? 0 ?n?DE ? 0 则由 ? ? ??? ,得 ? ,即 n ? (1, ?1,1) ………………9 分 ? ?2 x ? 2 y ? 0 ? ?n?DB ? 0
??? ? ? 又 n 2 ? DA ? (2,0,0) 是平面 DEC 的一个法向量.……………10 分

设二面角 B―DE―C 的平面角为 ? ,
? ? ? ? n ? n2 2 3 cos ? ? cos ? n 1 , n 2 ?? ? 1 ? ? ? ∴ 3 . | n1 | ? | n 2 | 3?2

故二面角 B―DE―C 平面角的余弦值为

3 .……………12 分 3

19. (本小题满分 12 分) 解:设包装盒的高为 h(cm) ,底面边长为 a(cm) ,

? 2 (30 ? x),0 ? x ? 30. …………2 分 2 (Ⅰ) S ? 4ah ? 8x(30 ? x) ? ?8( x ? 15) 2 ? 1800 , …………4 分 所以当 x ? 15 时,S 取得最大值.…………6 分
由已知得: (Ⅱ) V ? a 2 h ? ?2 2 x3 ? 60 2 x 2 .…………8 分 由 a 2 h ? 2 2 ? ( x 2 ? 30x 2 ),V ? ? 6 2 x(20 ? x). 由 V ? ? 0 得: x ? 0 (舍)或 x=20. 当 x ? (0, 20) 时, V ? ? 0 ;

a ? 2 x, h ?

60 ? 2 x

当 x ? (20,30) 时, V ? ? 0 ; 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最小值.…………10 分

1 . h 1 1 2 …………12 分 此时 a ? 2 即 ,装盒的高与底面边长的比值为 2
20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由于 S2 ? 12 ? b2 ? 12 ? q ,可得 q ?

12 ? q ,………………2 分 q

解得: q ? 3 或 q ? ?4 (舍去) ,………………………3 分

S2 ? 9 , d ? a2 ? a1 ? S2 ? 2a1 ? 3 ,………………………4 分 ? an ? 3 ? (n ?1)3 ? 3n ………………………5 分

bn ? 3n?1 ………………………6 分
(Ⅱ)证明:由 an ? 3n ,得 ? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ………………………7 分? ? ? ? ( ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

? Sn ?

n(3 ? 3n) 1 2 2 1 1 ? ? ? ( ? ) 2 Sn n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

?

1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ? ? … ? ? (1 ? ? ? ? ? ? … ? ? ) ? (1 ? ) S1 S2 Sn 3 2 2 3 3 4 n n ?1 3 n ?1
…………9 分

? n ? 1 ?0 ?


1 1 1 2 1 2 ? ? ? (1 ? ) ? …………11 分 n ?1 2 3 3 n ?1 3

1 1 1 1 2 ? ? ? … ? ? …………12 分 3 S1 S2 Sn 3

21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) CC1 ? r ? 1 , CC2 ? 3 ? r ,∴ CC1 + CC 2 =4………2 分 ∴点 C 的轨迹是以 C1 、 C 2 为焦点(c=1) ,长轴长 2a=4 的椭圆………………4 分
]

∴点 C 的轨迹 T 的方程是

x2 y2 ? ? 1 ……………………………………6 分 4 3

(Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) , 将 y ? kx ? m 代入椭圆方程得: (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 .
2 2 2

? x1 ? x2 ?

?8km 4m2 ? 12 , x x ? . (*式)……………………………8 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

, ? MN 为直径的圆过点 A , A 点的坐标为(2,0)

???? ? ???? ? AM ? AN ? 0 ,即 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2 ? 0 .……………………………10 分

? y1 ? kx1 ? m , y2 ? kx2 ? m , y1 y2 ? k 2 x1x2 ? (km ? 2)( x1 ? x2 ) ? m2 ,代入(*式)
得: 7m ? 16km ? 4k ? 0 ,
2 2

m 2 m ? ? 或 ? ?2 都满足 ? ? 0 ,……………………12 分 k 7 k m 由于直线 l : y ? kx ? m 与 x 轴的交点为( ? , 0 ) , k m 当 ? ?2 时,直线 l 恒过定点 (2, 0) ,不合题意舍去, k m 2 2 2 ? ? ? ,直线 l : y ? k(x ? ) 恒过定点 ( ,0) .………………………13 分 k 7 7 7 ?
22. (本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)由点 (e, f (e)) 处的切线方程与直线 2 x ? y ? 0 平行, 得该切线斜率为 2, 即 f ' (e) ? 2.

? f ?( x) ? k (ln x ? 1) ,且 f ?(e) ? k (ln e ? 1) ? 2 ? k ? 1 ,所以 f ( x) ? x ln x ,…………1 分 f ?( x) ? ln x ? 1 ,

x
f ?( x ) f ( x)

1 (0, ) e
?

1 e
0

1 ( , ??) e

?
单调递增
……2 分

单调递减

极小值(最小值)

①0?t ? ②

1 1 1 1 ? t ? 2 ,即 0 ? t ? 时, f ( x)min ? f ( ) ? ? ;………………………3 分 e e e e 1 1 ?t ?t ?2 , 即 t ? 时 , f ( x) 在 [t , t ? 2] 上 单 调 递 增 , e e

f ( x)min ? f (t ) ? t ln t ;……………4 分
(Ⅱ) 2 x ln x ? ? x 2 ? ax ? 3 恒成立等价于 a ? 2ln x ? x ? 设 h( x) ? 2ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h '( x) ?

3 恒成立; ……………………5 分 x

3 x

( x ? 3)( x ? 1) ; x2

当 x ? (0,1) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递减; 当 x ? (1, ??) , h '( x) ? 0 , h( x) 单调递增; 所以 h( x)min ? h(1) ? 4 .………………………6 分 因 为 对 一 切

x ? (0, ??)

,

2 f ( x) ? g ( x)













a ? h( x)min ? 4 .………………………8 分

1 2 x 2 ? 恒成立等价于 x ln x ? x ? ( x ? (0, ??)) 恒成立; x e ex e e 1 1 由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 的最小值是 ? (当且仅当 x ? 取等号)…10 e e
(Ⅲ) ln x ? 分

1? x x 2 ? ( x ? (0, ??)) ,则 m '( x) ? x ; x e e e 1 易得 m( x)max ? m(1) ? ? (当且仅当 x ?1 取等号).……………12 分 e 1 1 2 由于 ? 1 ,从而对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x ? x ? 成立.……………13 分 e ex e
设 m( x) ?


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