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圆锥曲线专题例题5


圆锥曲线专题(五)3 月 18 日例题
2 2 例 12,已知直线 l : y ? k ( x ? 1) 过椭圆 C : x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F,且与椭圆 C 交于 2 2

a

b

2 不同的两点 A、B,若抛物线 x ? 4 3 y 的焦点是椭圆 C 的顶点.

(1)求椭圆 C 的方程?

(2)若直线 l 交 y 轴于点 M,且 AM ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,
当 k 变化时,求 ?1 ? ?2 的值? (1) (2) (2)设
1 2 1 2 1 2 1 2 得 ?1 ? x ? 1 , ? 2 ? x ? 1 ?1 ? ?2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x x ? ( x ? x ) ? 1 1 2 1 2 1 2 1 2 , ①

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 由 AM ? ?1 AF MB ? ?2 BF
x ?x
x x 2x x ? (x ? x )

联立 ?

? y ? k ( x ? 1) ?3x ? 4 y ? 12
2 2

? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 8 带入①式得 ?1 ? ?2 ? . 3 .
所以 x1 ? x2 ? 例 13.设椭圆

2 x2 y 2 ,右准线为 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? 2 2 a b

????? ???? ? l , M , N 是 l 上的两个动点, F1M ? F2 N ? 0
(1)若 F1M ? F2 N ? 2 5 ,求 a, b 的值; (2)证明:当 MN 取最小值时, F1M ? F2 N 与 F1 F2 共线. 解:由 a 2 ? b 2 ? c 2 与 e ?

?????

???? ?

????? ???? ?

???? ?

c 2 ? ,得 a 2 ? 2b 2 a 2

? ? ? 2 ? 2 ,l 的 F1 ? 0? 0? ? ? 2 a, ?,F2 ? ? 2 a, ? ? ? ? ?

方程为 x ? 2a 设M

?

2a,y1 ,N

?

?

????? ? 3 2 ? ? 2 ? ???? ? 2a,y2 则 F1M ? ? a , y , F N ? a , y ? ? ? 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ?

?

由 F1M ? F2 N ? 0 得 y1 y2 ? ?

????? ???? ?

3 2 a <0 2



2 ????? ???? ? ?3 2 ? 2 (1) 由 F1M ? F2 N ? 2 5 , 得 ? ② ? 2 a? ? ? y1 ? 2 5

?

?

? 2 ? 2 ③ ? ? 2 a? ? ? y2 ? 2 5 ? ?

2

由①、②、③三式,消去 y1 , y2 ,并求得 a 2 ? 4 故 a ? 2, b ? (2) MN
2 2

2 ? 2 2

? ? y1 ? y2 ? ? y12 ? y22 ? 2 y1 y2 ? ?2 y1 y2 ? 2 y1 y2 ? ?4 y1 y2 ? 6a 2

当且仅当 y1 ? ? y2 ?

6 6 6 a 或 y2 ? ? y1 ? a 时, MN 取最小值 a 2 2 2
???? ? ?3 2 ? ? 2 ? ? 2 a,y1 ? ??? ? 2 a,y2 ? ? ? 2 2a, y1 ? y2 ? 2 2a, 0 ? 2F1F2 ? ? ? ?

此时, F1M ? F2 N ? ?

????? ???? ?

?

? ?

?

故 F1M ? F2 N 与 F1 F2 共线.

????? ???? ?

???? ?

x2 y2 1 例 14.已知椭圆 E: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 以抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点为顶点, 且离心率为 , a b 2 求椭圆 E 的方程;(1)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 相交于 A、B 两点,与直线 x ? ?4 相交
于 Q 点,P 是椭圆 E 上一点,且满足 OP ? OA ? OB (其中 O 为坐标原点),试问在 x 轴上是 否存在一点 T,使得 OP ? TQ 为定值?若存在,求出点 T 的坐标及 OP ? TQ 的值;若不存在,请 说明理由? 解(1) (1) 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 直线方程与椭圆方程联立,消 y,化简可 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0, 所以 x1 ? x2 ? 由 OP ? OA ? OB 则

?8km 4m 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

P(

? 8km 6m , 2 ) , 带 入 椭 圆 方 程 , 可 得 2 4k ? 3 4k ? 3
化简可得 4m 2 ? 4k 2 ? 3

64 k 2 m 2 36 m 2 ? ?1 4(4k 2 ? 3) 2 3(4k 2 ? 3) 2

??? ? ??? ? 32km ? 8kmt 6m ( m ? 4k ) OP ? TQ ? ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 设 T (t ,0), Q(?4, m ? 4k ), 6m 2 ? 8kmt ? 8km ? 4k 2 ? 3 3 4k (t ? 1) 2 2 ,要使 OP ? TQ 为定值,只须令 因为 4m ? 3 ? 4k , OP ? TQ ? ? 2 2m

[

2k (1 ? t ) 2 (4m 2 ? 3)(1 ? t ) 为定值,即 t=-1,因此在 x 轴上存在一点 T(-1,0)使得 ] ? m m2 uuu r uuu r OP ? TQ = 3 . 2


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