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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修五课时作业:第2章数列的递推公式(选学)]


2.1.2

数列的递推公式(选学)

课时目标 1.了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同.2.会根据数列的递 推公式写出数列的前几项.

1.如果数列{an}的第 1 项或前几项已知,且从数列{an}的第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫做这 个数列的______公式. 2.一般地,一个数列{an},如果从______起,每一项都大于它的前一项,即__________, 那么这个数列叫做递增数列. 如果从______起, 每一项都小于它的前一项, 即__________, 那么这个数列叫做递减数列.如果数列{an}的各项________,那么这个数列叫做常数列.

一、选择题 1.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( A.递增数列 C.常数项 2.数列 1,3,6,10,15,…的递推公式是( A.an+1=an+n,n∈N+ B.an=an-1+n,n∈N+,n≥2 C.an+1=an+(n+1),n∈N+,n≥2 D.an=an-1+(n-1),n∈N+,n≥2

) B.递减数列 D.不能确定 )

1 1 3.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1= an+ n,则此数列第 4 项是( ) 2 2 1 A.1 B. 2 3 5 C. D. 4 8 4.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1· a2· a3…an=n2,则 a3+a5 等于( ) 25 25 A. B. 9 16 61 31 C. D. 16 15 1 ? 5.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ) ?1+n?,则 an 等于( A.2+ln n B.2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n -1 6.已知数列{an}中,a1=a(a 为正常数),an+1= (n=1,2,3,…),则下列能使 an=a an+1 的 n 的数值是( ) A.15 B.16 C.17 D.18 二、填空题 1 1 7.已知数列{an}满足:a1=- ,an=1- (n>1),则 a4=________. 4 an-1 8.已知数列{an}满足:a1=a2=1,an+2=an+1+an,(n∈N+),则使 an>100 的 n 的最小值 是________. 9.某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2010 年底全县的绿化率已 达 30%.从 2011 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与此

同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化.设全县面积为 1,2010 年底绿化面积 3 为 a1= ,经过 n 年绿化总面积为 an+1.则 an+1 用 an 表示为________. 10 1 10.已知数列{an}满足 a1= ,anan-1=an-1-an,则数列{an}的通项公式是________. 2 三、解答题 1 1 11.在数列{an}中,a1= ,an=1- (n≥2,n∈N+). 2 an-1 (1)求证:an+3=an; (2)求 a2 010.

12.某餐厅供应 1 000 名学生用餐,每星期一有 A、B 两种菜可供选择,调查资料显示星 期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜, 而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜, 用 An、Bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数,试写出 An 与 An-1 的关系及 Bn 与 Bn-1 的关系.

能力提升 1 13.已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ ,n∈N+,则通项公式 an=________. nn+ 2 2 14.设{an}是首项为 1 的正项数列,且(n+1)· an+1-nan +an+1an=0(n=1,2,3,…),则它的 通项公式是________.

1 数列的递推公式是给出数列的另一种重要形式,一般地,只要给出数列的首项或前几项 以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项. 2.由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一. ①叠加法:当 an-an-1=f(n-1)满足一定条件时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an- an-1)=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1). an a2 a3 an ②叠乘法:当 =f(n-1)满足一定条件时,an=a1· · ·…· =a1· f(1)· f(2)·…·f(n-1). a1 a2 an-1 an-1

2.1.2

数列的递推公式(选学) 答案

知识梳理 1.递推 2.第 2 项 an+1>an 作业设计 1.A 2.B 3.B

第 2 项 an+1<an

都相等

32 9 52 25 4.C [a1a2a3=32,a1a2=22,a1a2a3a4a5=52,a1a2a3a4=42,则 a3= 2= ,a5= 2= . 2 4 4 16 61 故 a3+a5= .] 16 5.A 1? n+ 1 ? 1? [∵an+1=an+ln? ?1+n?,∴an+1-an=ln?1+n?=ln n =ln(n+1)-ln n.

又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4 -ln 3+…+ln n-ln(n-1)]=2+ln n-ln 1=2+ln n.] -1 -1 -1 -a-1 -1 -1 6.B [a1=a,a2= ,a3= = = ,a4= = =a, a a+1 a2+1 -1 a3+1 -a-1 +1 +1 a a+1 -1 -1 a5= = ,……. a4+1 a+1 ∴a4=a1,a5=a2,…依次类推可得:an+3=an, ∴{an}为周期数列,周期为 3. ∵a1=a,∴a3k+1=a1=a.] 1 7.- 4 8.12 4 4 9.an+1= an+ 5 25 解析 由已知可得 an 确定后,an+1 表示如下: an+1=an· (1-4%)+(1-an)· 16%, 4 4 即 an+1=80%an+16%= an+ . 5 25 1 10.an= n+1 1 1 解析 ∵anan-1=an-1-an,∴ - =1. an an-1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ = +( - )+( - )+…+( - )=2+1+1+…+ -1个 =n+1. an a1 a2 a1 a3 a2 an an-1 n 1 1 1 ∴ =n+1,∴an= . an n+1 11.(1)证明 1 an+3=1- =1- an+2 1 1 1- an+1 =1- 1 1 1- 1 1- an =1- 1 =1- =1 an an-1-an 1- an-1 an-1 1



1 =1-(1-an)=an. -1 an-1

∴an+3=an. (2)解 由(1)知数列{an}的周期 T=3, 1 a1= ,a2=-1,a3=2. 2 又∵a2 010=a3×670=a3=2,∴a2 010=2. An+Bn=1 000, ? ? 12.解 由题意知:?An=0.8An-1+0.3Bn-1, ? ?Bn=0.2An-1+0.7Bn-1. 由 An-1+Bn-1=1 000,得 Bn-1=1 000-An-1. 所以 An=0.8An-1+0.3× (1 000-An-1)=0.5An-1+300. 同理,Bn=0.2× (1 000-Bn-1)+0.7Bn-1=0.5Bn-1+200. 1 13.- n 1 解析 ∵an+1-an= , nn+ 1 ∴a2-a1= ; 1× 2 1 a3-a2= ; 2× 3 1 a4-a3= ; 3× 4 … … 1 an-an-1= ; n- n 1 1 1 1 1 1 1 1 以上各式累加得,an-a1= + +…+ =1- + - +…+ - 1× 2 2× 3 2 2 3 n- n n-1 n 1 =1- . n 1 1 ∴an+1=1- ,∴an=- . n n 1 14.an= n
2 解析 ∵(n+1)a2 n+1-nan+anan+1=0, ∴[(n+1)an+1-nan]· (an+1+an)=0, ∵an>0,∴an+an+1>0, ∴(n+1)an+1-nan=0.

方法一

an+1 n = . an n+1

a2 a3 a4 a5 an 1 2 3 4 n-1 ∴ · · · ·…· = ····…· , a1 a2 a3 a4 an-1 2 3 4 5 n

an 1 ∴ = . a1 n 1 1 又∵a1=1,∴an= a1= . n n 方法二 (n+1)an+1-nan=0, ∴nan=(n-1)an-1=…=1× a1=1, 1 ∴nan=1,an= . n


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