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人教版A数学必修二综合测试题(含答案)

数学必修二综合测试题
一. 选择题 *1.下列叙述中,正确的是( )

(A)因为 P ?? , Q ?? ,所以 PQ ? ? (B)因为 P ?? ,Q ? ? ,所以 ? ? ? =PQ (C)因为 AB ? ? ,C ? AB,D ? AB,所以 CD ? ? (D)因为 AB ? ? , AB ? ? ,所以 A ? (? ? ? ) 且 B ? (? ? ? ) *2.已知直线 l 的方程为 y ? x ? 1 ,则该直线 l 的倾斜角为( ) .
主视图 左视图

(A) 30

?

(B) 45

?

(C) 60

?

(D) 135

?

*3.已知点 A( x,1, 2)和点B . (2,3,4),且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( ) (A)-3或4 (B)–6或2 (C)3或-4 (D)6或-2

*4.长方体的三个面的面积分别是 2、 3、 6 ,则长方体的体积是( ) .
俯视图

A. 3 2

B. 2 3

C. 6

D.6 ( D、 4? a 2 )

*5.棱长为 a 的正方体内切一球,该球的表面积为 A、 ? a 2 B、2 ? a 2 C、3 ? a 2

*6.若直线 a 与平面 ? 不垂直,那么在平面 ? 内与直线 a 垂直的直线( ) (A)只有一条 (B)无数条 (C)是平面 ? 内的所有直线 (D)不存在 **7.已知直线 l 、 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,给出下列四个命题: ①若 m∥ l ,n∥ l ,则 m∥n ③若 m∥? ,n∥? ,则 m∥n 其中假命题 是( ) . ... (A) ① (B) ② (C) ③ (D) ④ ) . ②若 m⊥? ,m∥?, 则? ⊥? ④若 m⊥? ,? ⊥? ,则 m∥? 或 m ? ? ?

**8.在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(
y y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

**9.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为( * ) . ... (A)

? 4

(B)

5 3 ? (C) ? (D) ? 4 2
) .
1

2 2 **10.直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 9 交于 E、F 两点,则 ? EOF(O 是原点)的面积为(

A. 2 5

3 B. 4

3 C. 2

6 5 D. 5


**11.已知点 A(2,?3) 、 B(?3,?2) 直线 l 过点 P(1,1) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率的取值 k 范围是 ( A、 k ?

3 或 k ? ?4 4

B、 k ?

3 1 或k ? ? 4 4

C、 ? 4 ? k ?

3 4

D、

3 ?k?4 4
) . A . ?1, ? ? ?

2 ***12. 若 直 线 y ? kx ? 4 ? 2k 与 曲 线 y ? 4 ? x 有 两 个 交 点 , 则 k 的 取 值 范 围 是 (

3 [?1, ? ) 4 B.

3 ( , 1] C. 4

D. (??, ? 1] . .

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. **13.如果对任何实数 k,直线(3+k)x+(1-2k)y+1+5k=0 都过一个定点 A,那么点 A 的坐标是 **14.空间四个点 P、 A、 B、 C 在同一球面上, PA、 PB、 PC 两两垂直, 且 PA=PB=PC=a, 那么这个球面的面积是
2 2 **15.已知 圆O1 : x2 ? y2 ? 1与圆O2 ( : x-3) ? (y+4) ? 9 ,则

圆O1与圆O2 的位置关系为



a

***16.如图①,一个圆锥形容器的高为 a ,内装一定量的水.如果将容器 倒置,这时所形成的圆锥的高恰为 (如图②) ,则图①中的水面高度 为 . 三.解答题: **17. (本小题满分 12 分) 如图,在 ? OABC 中,点 C(1,3) . (1)求 OC 所在直线的斜率; (2)过点 C 做 CD⊥AB 于点 D,求 CD 所在直线的方程.
O

a 2


y



C

B D

1

A

x

c m **18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知正四棱锥 V- ABCD 中, 若 AC ? 6 AC与BD交于点M,VM 是棱锥的高 , VC ? 5cm ,求正四棱锥 V - ABCD 的体积.
V



D A M B

C

***19. (本小题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 为棱 AD、AB 的中点.
2

(1)求证:EF∥平面 CB1D1; (2)求证:平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. A
1

D
1

C1 B1

E A

D F B

C

***20. (本小题满分 12 分)已知直线 l1 :mx-y=0 , l2 :x+my-m-2=0 (Ⅰ)求证:对 m∈R, l1 与 l2 的交点 P 在一个定圆上;

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王新敞
学案

(Ⅱ)若 l1 与定圆的另一个交点为 P1 , l2 与定圆的另一交点为 P2 ,求当 m 在实数范围内取值时,⊿ PP1 P2 面积的 最大值及对应的 m.

***21. (本小题满分 12 分) 如图,在棱长为 a 的正方体 A1 B1C1 D1 ? ABCD 中, (1)作出面 A 1 BC1 与面 ABCD 的交线 l ,判断 l 与线 AC 1 1 位置关系,并给出证明; (2)证明 B1D ⊥面 A 1 BC1 ; (3)求线 AC 到面 A 1 BC1 的距离; (4)若以 D 为坐标原点, 分别以 DA, DC, DD1 所在的直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴, 建立空间直角坐标系,试写出 B, B1 两点的坐标.

y
2

A
0 2

x P
3

Q
****22. (本小题满分 14 分)

已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1和定点 A(2,1),由圆 O 外一点 P (a, b) 向圆 O 引切线 PQ,切点为 Q,且满足 PQ ? PA . (1) 求实数 a、b 间满足的等量关系; (2) 求线段 PQ 长的最小值; (3) 若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点,试求半径取最小值时圆 P 的方程.

参考答案
一.选择题 DBACA BDCCD AB
4

二.填空题 三.解答题

13. (?1, 2)

2 14. 3?a

15. 相离

3 16. (1 ? 7 )a

2

17. 解: (1)? 点 O(0,0) ,点 C(1,3) ,

? OC 所在直线的斜率为 kOC ? 3 ? 0 ? 3 .
1? 0
(2)在 ? OABC 中, AB // OC ,

? CD⊥AB,? CD⊥OC. ? CD 所在直线的斜率为 kCD ? ? 1 .
3

1 3 18. 解法 1:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形, 1 1 1 ? MC ? AC ? BD ? ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 1 1 且 S ABCD ? ? AC ? BD ? ? 6 ? 6 ? 18 (cm2). 2 2 ? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中,

? CD 所在直线方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1), 即x ? 3 y ?10 ? 0 .

V

D M B

C

VM ? VC ? MC ? 5 ? 3 ? 4 (cm).
2 2 2 2

A

? 正 四 棱 锥 V - ABCD 的 体 积 为
1 1 3 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm ). 3 3

解法 2:? 正四棱锥 V - ABCD 中,ABCD 是正方形, ? MC ? 1 AC ? 1 BD ? 1 ? 6 ? 3 (cm). 2 2 2 且 AB ? BC ?

2 AC ? 3 2 (cm) . 2

? SABCD ? AB2 ? (3 2)2 ? 18 (cm2).
? VM 是棱锥的高 , ? Rt△VMC 中, VM ? VC 2 ? MC 2 ? 52 ? 32 ? 4 (cm). ? 正四棱锥 V - ABCD 的体积为 S ABCD ? VM ? ?18 ? 4 ? 24 (cm3).
19. (1)证明:连结 BD. 在长方体 AC1 中,对角线 BD // B1D1 . 又? E、F 为棱 AD、AB 的中点, ? EF // BD . P P2(2,1) P1 O

1 3

1 3 y

? EF // B1D1 .

x

5

又 B1D1? ? 平面 CB1D1 , EF ? 平面 CB1D1 ,

? EF∥平面 CB1D1.
(2)? 在长方体 AC1 中,AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1? ? 平面 A1B1C1D1,

? AA1⊥B1D1. 又? 在正方形 A1B1C1D1 中,A1C1⊥B1D1, ? B1D1⊥平面 CAA1C1.
又? B1D1? ? 平面 CB1D1,

? 平面 CAA1C1⊥平面 CB1D1. 20. 解: (Ⅰ) l1 与 l2 分别过定点(0,0) 、 (2,1) ,且两两垂直,∴ l1 与 l2 的交点必在以(0,0) 、 (2,1)为一
条直径的圆:

x ( x ? 2) ? y( y ? 1) ? 0 即

x 2 ? y 2 ? 2x ? y ? 0 (Ⅱ)由(1)得 P1 (0,0) 、 P2 (2,1) , 1 5 ∴⊿ PP1 P2 面积的最大值必为 ? 2r ? r ? . 2 4 1 此时 OP 与 PP . 1 2 垂直,由此可得 m=3 或 ? 3
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王新敞
学案

21.解: (1)在面 ABCD 内过点 B 作 AC 的平行线 BE ,易知 BE 即为直线 l , ∵ AC ∥ AC 1 1 , AC ∥ l ,∴ l ∥ AC 1 1. (2)易证 AC 1 D ,同理可证 A 1B ⊥ B 1D , 1 1 ⊥面 DBB 1D 1 ,∴ AC 1 1⊥B 又 AC 1B = A 1 ,∴ B 1 D ⊥面 A 1 1 ? A 1 BC1 . A 到面 A1BC1 的距离,也就是点 B1 到面 A1BC1 的距离,记为 h ,在 (3)线 AC 到面 A 1 BC1 的距离即为点

三棱锥 B1 ? BAC 1 1 中有

1 1 3a . VB1 ?BA1C1 ? VB? A1B1C1 ,即 S?A1BC1 ? h ? S ?A1B1C1 ? BB1 ,∴ h ? 3 3 3
(4) C(a, a,0), C1 (a, a, a) 22. 解: (1)连 OP, ? Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定

y
2

理有

PQ ? OP ? OQ .
又由已知 PQ ? PA ,故 PQ ? PA .
2 2

2

2

2

A
O 2

即: (a ? b ) ?1 ? (a ? 2) ? (b ?1) .
2 2 2 2 2

x P

Q

化简得实数 a、b 间满足的等量关系为: 2a ? b ? 3 ? 0 . (2)由 2a ? b ? 3 ? 0 ,得 b ? ?2a ? 3 .

6 4 PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? a 2 ? (?2a ? 3) 2 ? 1 ? 5a2 ?12a ? 8 = 5(a ? )2 ? . 5 5
故当 a ?

2 2 6 时, PQ min ? 5. 5. 即线段 PQ 长的最小值为 5 5 5

解法 2:由(1)知,点 P 在直线 l:2x + y-3 = 0 上. ∴ | PQ |min = | PA |min ,即求点 A 到直线 l 的距离.
6

∴ | PQ |min =

| 2×2 + 1-3 | 2 5 = . 5 22 + 12

(3)设圆 P 的半径为 R ,

? 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 O 的半径为 1,
? R ?1 ? OP ? R ?1. 即 R ? OP ? 1 且 R ? OP ? 1 .
而 OP ? a 2 ? b2 ? a 2 ? (?2a ? 3)2 ? 5(a ? )2 ? 故当 a ?

6 5

9 , 5

6 时, OP ? 3 5. min 5 5

3 , Rmin ? 3 5 ? 1 . 5 5 得半径取最小值时圆 P 的方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 . 5 5 5 解法 2: 圆 P 与圆 O 有公共点,圆 P 半径最小时为与圆 O 外切(取小者)的 情形,而这些半径的最小值为圆心 O 到直线 l 的距离减去 1,圆心 P 为过原点 与 l 垂直的直线 l’ 与 l 的交点 P0.
此时, b ? ?2a ? 3 ? r= 3 3 5 -1 = -1. 5 22 + 12

y
2

A
P0
O 2

又 l’:x-2y = 0,

x P
l

6 ? x? , ? x ? 2 y ? 0, ? ? 5 .即 P0( 6 ,3 ). 解方程组 ? ,得 ? 5 5 ?2 x ? y ? 3 ? 0 ?y?3 ? 5 ?
∴ 所求圆方程为 ( x ? 6 ) 2 ? ( y ? 3 ) 2 ? ( 3 5 ? 1) 2 5 5 5

Q

7


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