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山西省忻州一中2015届高三第一次四校联考 数学理试题

山西省忻州一中 2015 届高三第一次四校联考 数学试题(理) (满分 150 分,考试时间 120 分) 一、选择题(5× 12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 2 1. 设全集为 R,集合 M ? {x x ? 4}, N ? {x log 2 x ? 1} ,则 M ? N ? A.[?2,2] B. (??,?2) C. (2,??) D. (?2,??) 开始 2. 已知 i 是虚数单位,则复数 ( A. 1 B. ?1 2i 2 ) 的值为 1? i C. i D. ? i 否 输入 x x≥1? 3. 执行如图所示的程序框图,当输出值为 4 时,输入 x 的值为 A.2 C.-2 或-3 B. ? 2 D.2 或-3 是 y=1?x y=x2 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 4. 实数 x, y 满足 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?y ?1 ? A.-1 5. 二项式 ( x ? A.180 B.0 C.3 D.4 输出 y 结束 2 10 ) 展开式中的常数项是 x2 B.90 C.45 D.360 6. 三棱锥的三视图如图,正视图是等边三角形,侧视图是直角三 角形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积为 1 侧视图 6 A. 12 7. 已知双曲线 3 B. 3 6 C. 4 2 3 D. 3 正视图 x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则此双 2 a b 2 俯视图 曲线的渐近线方程为 A. y ? ?2 x B. y ? ? 2 x C. y ? ? 2 x 2 D.-3 D. y ? ? 1 x 2 8. 等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 3S2 ? 0 ,则公比 q = A.-2 B.2 C.3 , AC ? 2, 9. 点 A, B, C , D 均在同一球面上,且 AB 、 AC 、 AD 两两垂直,且 AB ? 1 AD ? 3 ,则该球的表面积为 A. 7? B. 14? x C. 7? 2 D. 7 14? 3 10. 若 a 满足 x ? lg x ? 4 , b 满足 x ? 10 ? 4 ,函数 f ( x) ? ? 则关于 x 的方程 f ( x) ? x 解的个数是 A.1 B.2 C.3 ? x 2 ? (a ? b) x ? 2,x ? 0 , 2 , x ? 0 ? D.4 11. 抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点,若 ?OFM 的外接圆 与抛物线 C 的准线相切( O 为坐标原点),且外接圆的面积为 9π,则 p ? A.2 B.4 C.6 D.8 12. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x ? R 都 f ( x ? 6) ? f ( x) ? f (3) 成 立;当 x1 , x2 ?[0,3] ,且 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .给出下列四个命题: x1 ? x2 ① f (3) ? 0 ;②直线 x ? ?6 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴;③函数 y ? f ( x) 在 [?9,?6] 上为增函数;④函数 y ? f ( x) 在 [0,2014 ] 上有 335 个零点. 其中正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 13. 已知 a ? b , a ? 2 , b ? 3 ,且 a ? 2b 与 ?a ? b 垂直,则实数 ? 的值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ▲ . 14. 数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn ? 1(n ? 1) ,则 {an } 的通项公式 为 ▲ . 15.函数 f ( x) ? 3 sin 2 1 ? 3 x ? 2 sin 2 x( ? x ? ? ) 的最小值是 3 3 2 4 ▲ . 16.在等比数列 {an } 中, 0 ? a1 ? a4 ? 1,则能使不等式 (a1 ? 1 1 1 ) ? ( a2 ? ) ? ? ? ? ? ( a n ? ) ? 0 a1 a2 an 成立的最大正整数 n 是 ▲ . 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答 写在答卷纸的相应位置上) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a ,b ,c ,其面积为 S ,且 b2 ? c 2 ? a 2 ? (1)求 A ; 4 3 S. 3 4 (2)若 a ? 5 3 , cos B ? ,求 c . 5 18.(本小题满分 12 分) P E A F D B C 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 面ABCD , AD // BC , ?BAD ? 90? , AC ? BD, BC ? 1, AD ? PA ? 2 , E , F 分别为 PB, AD 的中点. (1)证明: AC ? EF ; (2)求直线 EF 与平面 PCD 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分) 为迎接高一新生报到,学校向高三甲、乙、丙、丁四个实验班征召志愿者.统计如下: 班 级 志愿者 人数 取 50 名参加问卷调查. (1)从参加问卷调查的 50 名志愿者中随机抽取两名,求这两名来自同一个班级的概率; (2)在参加问卷调查的 50

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