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山东省金乡一中12-13学年高二9月月考数学文试题


? 金乡一中 2012-2013 学年高二 9 月月考试题 数学(文)
一.选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。) 1. 设全集 U ? R ,集合 A ? x x ? 2或x ? ?1 , B ? x x ? 0 ,则 (? A) ? B ? ( U A. ? 0, 2?
2

?

?

?

?



B.

? 2,???
2

C. (0, 2)

D. (??, ?1)

2. “xy=0”是“ x ? y ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C. 充要条件 3. 若复数 z ? A. 1

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) D. ? i

1 1? i ? ,化简后 z ? ( ?1 ? i 2 B. ? 1 C. i

4.下列函数中,周期为 ? 且图像关于直线 x ?

?
3

对称的函数是(



x ? ) 2 3 x ? C. f ( x) ? 2sin( ? ) 2 6
A. f ( x) ? 2sin( ?

B. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) )

D. f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
6

5.已知 m, n 是两条异面直线,点 P 是直线 m, n 外的任一点,有下面四个结论: ① 过点 P 一定存在一个与直线 m, n 都平行的平面。 ② 过点 P 一定存在一条与直线 m, n 都相交的直线。 ③ 过点 P 一定存在一条与直线 m, n 都垂直的直线。 ④ 过点 P 一定存在一个与直线 m, n 都垂直的平面。则四个结论中正确的个数为( ) A. 1 B.2 C. 3 D. 4 ( )

6.若等差数列 ?an ? 满足 a2 ? S3 ? 4 , a3 ? S5 ? 12 ,则 a4 ? S7 的值是 A.20 B.24
2

C.36
2 n?1

D.72

7.数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 2 ),?,(1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 A. 2 ? 1
n

)? 的前 n 项和为
n ?1 D. 2 ? 2 ? n

(

)

B. n ? 2 ? n
n

n ?1 C. 2 ? n

?
8.已知正项等比数列 {an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am、an ,使得 am an ? 4a1 , 则 m? n 的值为 A.10 B.6 ( C.4 D.不存在 ( ) )

9.数列 ?an ? a1 ? 1, a ? ?n, an ?, b ? ?an?1 , n ? 1?, 且a ? b, 则a100 ? 中 A. 100 99 B.—

100 99

C. 100

D .—100

10.将正偶数集合 ?2,4,6,??从小到大按第 n 组有 2 n 个偶数进行分组:

?2,4?, ?6,8,10,12?, ?14,16,18,20,22,24?,?? 则 2120 位于第(
A.33 B.32
0 2

)组

C.31

D.30 )

11. 在△ABC 中,若 C ? 60 , c ? ab ,则三角形的形状为 ( A.直角三角形 B. 等腰三角形. C.等边三角形

D. 钝角三角形.

12.在区间[0, 2 ? ]上满足 sin x ? A. ?0, ? ? B. ? ? , 5? ? ? 6? ?6 6 ? ? ? ? ? 二、填空题(每题5分,共20分) 13.数列 1

1 的 x 的取值范围是( ) 2 ? 2? ? C. ? , D. ? 5? , ? ? ?6 3 ? ? 6 ? ? ? ? ?

0

1 1 1 ? ? , 2 , 3 , 4 , 5 , ?, 的前 n 项之和等于 2 4 8 ?? ??

14.一船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东 60 ,行驶 4 h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东 15 ,这时船与灯塔距离为__________km. 15.已知数列
0

?a ?满足 a
n

1

? 3a2 ? 32 a3 ? ? ? ? ? 3n?1 an ?

n ,则 an ? 2

__________.

* * * 16. 已知 f ?1,1? ? 1 , f ? m, n ? ? N m, n ? N ,且对任意 m, n ? N 都有:

?

?

① f ? m, n ?1? ? f ? m, n? ? 2

② f ? m ?1,1? ? 2 f ? m,1? (2) f ? 5,1? ? 16 ; (3) f ? 5,6? ? 26

给出以下三个结论: (1) f ?1,5? ? 9 ;

其中正确结论为 ____________. 三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共 6 小题,共 70 分) . 17. (本小题满分 10 分)设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 . (1)求 ?an ? 的通项公式 (2)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大时 n 的值.

○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / /

?
18. (本小题满分 12 分)已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? (1) Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,证明: S n ?

1 ? an 2

1 1 ,公比 q ? . 3 3

(2)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ???? ? log 3 an ,求数列 ?bn ? 的通项公式



19.(本小题满分 12 分)某地区位于沙漠边缘地带,到 2010 年年底该地区的绿化率只有 30%,计划 从 2011 年开始加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的 16%将被植树改造为绿洲,但同时原有 3 绿洲面积的 4%还会被沙漠化.设该地区的面积为 1, 2010 年年底绿洲面积为 a1= ,经过一年绿 10 洲面积为 a2,?,经过 n 年绿洲面积为 a n ?1 , (1)求经过 n 年绿洲面积 a n ?1 的通项公式;

线















线





(2)至少需要经过多少年努力,才能使该地区的绿洲面积超过 60%?(取 lg 2=0.3)



? ? ? 20. (本小题满分 12 分) 已知.0 ? ? ? 45 ? ? ? 135 ,cos( 45 ? ? ) ?
?

3 5 sin(135 ? ? ? ) ? , 5 13



/ / / ○ / / / / ○ / / / / ○ / / / / ○



求: (1) sin(? ? ? ) 的值.

(2) cos(? ? ? ) 的值.



21.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, 1 ? 1 , n?1 ? 2an ? 3 , 数列 ?bn ? 中, 1 ? 1 , 且点 (bn?1 , bn ) a a b 在直线 y ? x ? 1 上, (1)求数列 ?an ? 的通项公式 (2)求数列 ?bn ? 的通项公式 (3)若 cn ? an ? 3 ,求数列 ?bncn ? 的前 n 项和 Sn 22. (本小题满分 12 分) a ? (sin

?

? ? x x ? x x , 3 cos ), b ? (cos ,cos ) ,设 f ( x) ? a ? b. 2 2 2 2

?
(1)求函数 f ( x) ? a ? b. 的周期及单调增区间。 (2)设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 f ( A) ? 3,

? ?

b ? 2,sin A ? 2sin C ,求边 c 的值.

参考答案: 1-5 ABDDA 6-10 BDBDA 11-12 CB 13.

n(n ? 1) ?1? ?1? ? ? 2 ? 2?
1 2 ? 3n?1

n

14. 30 2

15.

16.①②③

17. 解: (1)由题意得

? a1 ? 2d ? 5 ? a1 ? 9 ,解得 ? . ? ?d ? 2 ? a1 ? 9d ? ?9
∴ an ? a1 ? (n ?1)d ? 9 ? 2(n ?1) ? 11 ? 2n (2)由(1)知 S n ? na1 ? ∴当 n ? 5 时, Sn 取最大值

n(n ? 1) d ? 10n ? n 2 ? ?(n ? 5) 2 ? 25 2

1 ?1? 18.解: (1)因为 an ? ? ? ? 3 ? 3?

n ?1

?

1 3n

1? 1? 1 ?1 ? n ? 1 ? n 3 3 ? 3 ,所以 S ? 1 ? an Sn ? ? ? n 1 2 2 1? 3
(2) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ???? ? log3 an

?
?(1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n) ? ?
n(n ? 1) 2

19. (1)设 2010 年年底沙漠面积为 b1,经过 n 年治理后沙漠面积为 bn+1,则 an+bn=1. 依题意, n+1 由两部分组成, a 一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化剩下的面积, n-4%an=96%an, a 另一部分是新植树绿洲化的面积 15%bn,于是 an+1=96%an+16%bn=96%an+16%(1-an) 4 4 =80%an+16%= an+ . 5 25 4? 4 4 4 4 4? 由于 an+1= an+ 两边减去 得:an+1- = ?an- ?. 5? 5 25 5 5 5? ? ? 4 4 1 4 ∴ ?an+1- ?是以 a1- =- 为首项, 为公比的等比数列. 5? 5 2 5 ? 4 1?4?n 所以 an+1= - ? ? ,依题意 5 2?5? 4 1?4?n ?4?n 2 (2) - ? ? >60%,即? ? < ,两边取对数得 5 2?5? ?5? 5 2 lg 2-lg 5 1-2lg 2 1-0.6 n> log 4 = = = =4. 5 2lg 2-lg 5 1-3lg 2 1-0.9
5

故至少需要 5 年才能达到目标. 20.解 0 ? ? ? 45 ? ? ? 135
? ? ?

? 90 ? < 45? ? ? < 0?

135 ? < 135? ? ? <180 ?

4 ∴ sin( 45? ? ? ) ? ? 5


? 12 cos(135 ? ? ? ) ? ? 13

?

sin(? ? ? ) ? ? cos?(135? ? ? ) ? (45? ? ? )? ? ??cos(135? ? ? ) cos(45? ? ? ) ? sin(135? ? ? ) sin(45? ? ? )?
= ? ?(?

? ?

12 3 5 4 ? 56 ) ? (? )? ? 13 5 13 5 ? 65

cos(? ? ? ) ? ? cos?(135? ? ? ) ? (45? ? ? )? ? ?cos(135? ? ? ) cos(45? ? ? ) ? sin(135? ? ? ) sin(45? ? ? )?
=- ?(?

? ?

12 3 5 4 ? 16 ) ? (? )? = 13 5 13 5 ? 65

21. 解:∵ an?1 ? 2an ? 3

?
∴ an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ∴

an?1 ? 3 ? 2 , a1 ? 3 ? 4 , an ? 3

∴ ?an ? 3? 是首项为 4,公比为 2 的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , ∴ an ? 2n?1 ? 3 (2)∵ (bn?1 , bn ) 在直线 y ? x ? 1 上,∴ bn ? bn?1 ?1 ,即 bn?1 ? bn ? 1 , 又 b1 ? 1 ∴数列 ?bn ? 是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴ bn ? n (3) cn ? an ? 3 2 ∴ bncn ? n ? 2n?1
n ?1

? 3 ? 3 ? 2n?1

Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ???? ? n ? 2n?1 2Sn ? 1? 23 ? 2 ? 24 ? 3? 25 ???? ? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n?2
两式相减,得 ?Sn ? 22 ? 23 ? 24 ???? ? 2n?1 ?n ? 2 ∴ Sn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 4 22.= sin( x ?
n?2

?

4(1 ? 2n ) ? n ? 2n ? 2 ? 2n ? 2 ? 4 ? n ? 2n ? 2 1? 2

?
3

)?

3 2
x+

? ? 5? ? ? 2k? ? ??即 2k ? ? ? x ? 2k? ? ?? 2 6 6 3 2 5? ? ? x ? 2k? ? 】 所以?函数的单调递增区间是【2k ? ? 6 6
2 k? ?

?

?

周期 T=2 ?

(2)由 f ( A) ? sin( A ?

?
3

)?

? 3 ? 3, , A ? (0, ? ), 得 A ? . 3 2

由 sin A ? 2sin C 得 a ? 2c .又 b ? 2,
2 2 2 由 a ? b ? c ? 2bc cos A 得

4c 2 ? 22 ? c 2 ? 2?2c cos

?
3

3c 2 ? 2c ? 4 ? 0 ,

?
? c ? 0,? c ? 13 ? 1 3


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