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河北省石家庄市第一中学2018-2019学年学年高一下学期期中考试数学理试题解析

石家庄市第一中学 2017—2018 学年度第二学期期中考试高一年级理科 数学试题
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A. 【答案】A 【解析】分析:求解指数和对数不等式得集合 A 和 B,利用交集定义求交集即可. 详解:集合 . 所以 故选 A. 点睛:本题主要考查了指数和对数函数的单调性和交集的运算,属于基础题. 2. 已知向量 A. B. , C. D. ,若 ,则 等于( ) . , B. , C. ,则 D. ( )

【答案】A 【解析】分析:由向量平行得 详解:向量 若 解得 所以 故选 A. 学¥科¥网...学¥科 ¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网...学¥科¥网... 3. 已知公差不为零的等差数列 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 的前 项和为 , ,则 ( ) ,则 . ,有 . , . , ,从而得 ,进而可得数量积.

【答案】A 【解析】分析:设等差数列 详解:设等差数列 由 则 故 故选 A. 点睛:本题主要考查了等差数列的通项公式及前 n 项和的通项公式,属于基础题. 4. 已知 A. 【答案】B 【解析】分析:由 可得 ,由 ,可得 . B. 则 C. 的大小关系为( D. ) . . ,可得: 的公差为 d,且 d≠0,可得 . ,而 代入可得解.

的公差为 d,且

详解:由



,所以

,即

.

又 综上: 故选 A. .

,即

.

点睛:利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式 的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或 式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值 较大小. 5. 函数 的图象可由函数 的图象( ) 的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比

A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向左平移 个单位 B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍,再向右平移 个单位

C. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左平移 个单位 D. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移 个单位 【答案】B 【解析】分析:由函数 详解:由函数 只需将函数 ,再由伸缩平移变换可得解. . 的图象各点的横坐标缩短到原来的 倍,得到 . ;

再向右平移 个单位得到: 故选 B.

1. 点睛: 利用变换作图法作 y=Asin(ωx+φ)的图象时, 若“先伸缩, 再平移”, 容易误认为平移单位仍是|φ|, 就会得到错误答案.这是因为两种变换次序不同,相位变换是有区别的.例如,不少同学认为函数 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位得到的是 y=sin 的图象,这是初学者容易犯的错误.事实上,将 y=sin 2x 的

图象向左平移 个单位应得到 y=sin 2(x+ ),即 y=sin(2x+ )的图象. 2.平移变换和周期变换都只对自变量“x”发生变化,而不是对“角”,即平移多少是指自变量“x”的变 化,x 系数为 1,而不是对“ωx+φ”而言;周期变换也是只涉及自变量 x 的系数改变,而不涉及 φ.要通过 错例辨析,杜绝错误发生. 6. 已知函数 A. 【答案】D 【解析】分析:根据对数的运算性质可得 详解:由 ,可知 ,从而得解. 恒成立,所以函数的定义域为 R. B. C. D. ,则 ( )

. 所以 故选 D. 点睛:本题主要考查了函数的中心对称性,及对数的运算法则,属于基础题. 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) .

A. 2

B. 3

C. 4

D. 6

【答案】A 【解析】分析:由三视图还原原几何体如图,可知该几何体为四棱锥,底面 ABCD 为直角梯形,PB 为四棱 锥的高等于 2.再由棱锥体积公式求解. 详解:由三视图还原原几何体如图,

该几何体为四棱锥,底面 ABCD 为直角梯形,PB 为四棱锥的高等于 2. ∴该几何体的体积 故选:A. 点睛:(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面 的位置关系和数量关系,利用相应体积公式求解;(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用 等积法、分割法、补形法等方法进行求解. 8. 已知函数 象是( ) (其中 且 ),若 ,则 在同一坐标系内的大致图 .

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】试题分析:当 时, 与 的单调性一致,这样 A 与 D 排除,根据条件 ,故选 B.

,故 C 排除,因为显然 考点:1.指数函数;2.对数函数.

9. 若正数 A. B.

满足 C.

,则 D.

的最小值为(



【答案】C 【解析】分析:由 详解:由 当且仅当 故选 C. 点睛:在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数; ②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最 值. 10. 已知奇函数 A. 【答案】D 【解析】分析:求不等式 出函数的图象,分类讨论即可解决. 的解集,先转化为求不等式 的解集,根据奇函数的单调性作 B. 在 上单调递减,且 C. ,则不等式 D. 的解集为( ) ,可得 ,即 时 有最小值 9. ,可得 ,进而展开用基本不等式可得最小值. .

详解:∵奇函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0, 作函数 f(x)的草图,如图所示:

先求不等式

的解,

当 x>0 时(y 轴右侧),f(x)<0(x 轴下方),∴x>2 当 x<0 时(y 轴左侧),f(x)>0(x 轴下方),∴x<?2 可见不等式 xf(x)>0 的解为:?2<x<0 或 0<x<2 再将 x 换成 x?1, 得:?2<x?1<0 或 0<x?1<2 即:?1<x<1 或 1<x<3 故选 D. 点睛:本题主要考查不等式的求解,利用函数奇偶性和单调性的关系及数形结合进行求解是解决本题的关 键.解这种题型往往是根据函数所给区间上的单调性,根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶 函数在对称区间上的单调性相反,奇函数在对称区间上的单调性相同) ,然后再根据单调性列不等式求解. 11. 等比数列 中,公比为 ,其前 项积为 ,并且满足 ) . ,

,则以下结论不正确的是( A. C. B. 的值是 中最大的 D. 使

成立的最大自然数 等于

【答案】C 【解析】分析:利用等比数列的性质及等比数列的通项公式判断出①正确.利用等比数列的性质及不等式 的性质判断出②正确.利用等比数列的性质判断出③错误.利用等比数列的性质判断出④正确,从而得出 结论. 详解:∵ ,∴ , ∴ .



,∴

,

∴ ∴



. .故 A 正确;



,故 B 正确; ,故 C 不正确; . ,故 D 正确.

故选 C. 点睛: 熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度, 历年高考对等比数列的性质考查较多, 主要是考查“等 积性”,题目“小而巧”且背景不断更新.解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质,不要 把两者的性质搞混. 12. 已知函数 A. B. C. D. ,函数 ,则函数 的零点的个数为( )

【答案】C 【解析】分析:求出函数 详解:函数 的解析式,推出 ,可得 的表达式,然后求解函数的零点. ,



,

令 可得

, ,

画出 由图可得: 故 故选:C.

与 y= 的图象如图所示: 与 y= 有 4 个交点 有 4 个零点。

点睛:函数零点的求解与判断
(1)直接求零点:令 ,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; 上是连续不断的曲线,且 ,还必须结合函

(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间

数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同 的值,就有几个不同的零点,充分利用图象的对称性处理问题.

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知向量 , 夹角为 【答案】 【解析】分析:由 详解:向量 , 夹角为 所以 , . . 故答案为: . ,借助于向量的模和数量积求解即可. , , , , ,则 ___________.

点睛:该题考查的是有关平面向量的问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有向量数量积的定义式,对 应的解题的思想就是见模就平方,从而求得结果. 14. 在等差数列 ___________. 【答案】 【解析】分析:根据题意当且仅当 n=8 时 Sn 取得最大值,得到 S7<S8,S9<S8,联立得不等式方程组,求解 得 d 的取值范围. 详解:在等差数列 所以 即 . ,解得 . 中,当且仅当 时 取得最大值, 中, ,公差为 , 为其前 项和,当且仅当 时 取得最大值,则 的取值范围为

故答案为:

.

点睛:该题考查的是有关等差数列的前 项和最大值的问题,在求解的过程中,需要明确其前 项和取最大 值的条件 结果. 15. 已知直三棱柱 积为___________. 【答案】 【解析】试题分析:由下图可知,球心在 的位置,球的半径为 . ,故表面积为 的 6 个顶点都在球 的球面上, , ,则球 的表面 ,仅有一项最大时没有等号,之后就是应用题的条件,确定其相关项的符号,从而求得

考点:球的内接几何体. 【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为 ,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用 其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为 则其体对角线

长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.直棱柱;有一条棱垂直于一个面的棱锥,设高为 其外接球 半径 公式秒杀公式 16. 如图, 在 中, 为 的最小值为__________. . 上不同于 的任意一点, 点 满足 .若 , 则

【答案】 【解析】 根据题意: ,因为 、 、 三点共线, 所以有 , 即 ,

,所以

的最小值为 .

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.
17. 设全集是实数集 , (1)当 (2)若 【答案】 (1) 时,求 ; ,求实数 的取值范围. ; (2) . , .

【解析】分析: (1)分别解不等式求得集合,再由并集定义求解即可; (2)由 详解: (1) 当 则 (2) 则当 则当 当 时, 时, 时, ,即 . 满足 ,满足 时, . ,由 ,则 ,则 , 得 成立 成立 得 , , ,讨论 , 和 求解即可.

则可得 综上:

点睛:解答本题时注意以下两点: (1)注意集合间关系的转化,即 ;

(2)已知集合间的包含关系求参数的取值范围时,可借助于数轴将问题转化为关于集合端点值间的不等式 组来解,解题时要注意不等式中的等号能否取得. 18. 设数列 (1)求 满足 的通项公式; 的前 项和. ; (2) . 时, ,再作差得 , 验证 .

(2)求数列 【答案】 (1)

【解析】 试题分析: (1) 先由题意得

时也满足(2)由于 试题解析: (1) (2)由(1) ∴ 19. 在 (1)求 ; (2) 为边 上一点, . , ,求 中,角 所对的边分别为 , ,

,所以利用裂项相消法求和.

. .



【答案】 (1) ; (2)

【解析】分析: (1)由余弦定理可得 (2)在 ②可得解. 详解: (1)由已知条件和余弦定理得: 中,由正弦定理可得:

,从而可得 ,①,在

,进而得解; 中, ,②,联立①和

即: 则 又 (2)在 在 , . 中,由正弦定理可得: 中, ,② ,①

由①②可得:

,即:

,

化简可得:

.

点睛:在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一 次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的 应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.

20. 已知函数 (1)求 (2)设



.

的最小正周期和单调递增区间; ,若函数 为奇函数,求 的最小值. ; (2) . 化简为 的解析式,因为 , 即可解得到 是奇函数,得到 的

【答案】 (1) ,

【解析】 试题分析: (1) 利用三角函数的诱导公式将 最小正周期,及单调递增区间; (2)根据(1)得到函数 ,从而求解 的最小值.

试题解析: (1)解:

,所以函数

的最小正周期

.

由 所以函数 的单调递增区间为

, 得 . .)



(注:或者写成单调递增区间为 (2)解:由题意,得 所以 解得 所以 的最小值为 . ,即 , 所以 ,验证知其符合题意. 又因为

, 因为函数 , ,

为奇函数,且



考点:三角函数的图象和性质. 21. 为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一种把二氧化 碳处理转化为可利用化工产品的项目. 经测算, 该项目月处理成本 (元)与月处理量 似地表示为 之间的函数关系可近

,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200 元,若该

项目不获利,国家将给予补偿.

(1)当

时,判断该项目能否获利.如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需

要补贴多少元才能使该项目不亏损? (2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? 【答案】 (1) ; (2) . 时,获利是 ,费用是 时, ,两者差是二次函数,用 , ,当每月

【解析】试题分析: (I)当

配方法可知该项目不会获利; (II) 平均处理成本即 , 当 所以当 处理量为 试题解析: (I)当 时,设该项目获利为 ,则 时, 取得最小值 . 当 时,

吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

所以当 当

时, 时, 取得最大值

,因此,该项目不会获利, ,

所以政府每月至少需要补贴 5000 元才能使该项目不亏损 (2)由题意可知,食品残渣的每吨平均处理成本为:



① 当 所以当 ② 当

时, 时, 取得最小值 240.9 分 时, ,



当且仅当

,即

时, 取得最小值 200,因为 200<400,所以当每月处理量为 400 吨时,才能

使每吨的平均处理成本最低. 考点:应用问题、导数与最值.

【方法点晴】在现实生活中,很多问题的两变量之间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同 的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.分段函数主要是每一段上自变 量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注 意各段变量的范围,特别是端点. 22. 若函数 恰为 为定义域 上的单调函数,且存在区间 是 上的正函数,区间 上的正函数,求 (其中 ,使得当 时, 的取值范围

,则称函数 是

叫做函数的等域区间. 的等域区间; 是 上的正函数?若存在,请求出实数 的取值范围;若

(1)已知

(2)试探求是否存在 ,使得函数 不存在,请说明理由. 【答案】 (1) ; (2) .

【解析】分析: (1) 的等域区间;

是[0,+∞)上的正函数,然后根据正函数的定义建立方程组,解之可求出 f(x)

2 (2)根据函数 g(x)=x +m 是(-∞,0)上的正函数建立方程组,消去 b,求出 a 的取值范围,转化成关于

a 的方程 详解:(1) 所以当 x∈[a,b]时, 即 解得 a=0,b=1,



上有解即可.

在[0,+∞)上单调递增,

故函数 f(x)的“等域区间”为[0,1]; (2)假设存在 ,使得函数 存在 两式相减得 使得: , 在 , ,所以 上有解, 是 (*) 上的正函数,且此时函数在 上单调递减,

代入上式:即关于 的方程 方法①参变分离:即 令

实数 的取值范围为 方法②实根分布:令 ,解得 方法③ : (*)式等价于方程 ,

, ,即函数的图像在 , 在 . 上有两个不相等的实根 , 内与 轴有交点,


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