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新编辽宁省辽师大附中高三上学期期中考试数学(理)试题及答案

辽师附中 20xx—20xx 上学期期中考试 高三数学(理)试卷

命题:袁庆祝 校对:王红

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是 符合题目要求的。
? ? 1.已知集合 A ? ?1 ,a? , B ? x x2 ? 5x ? 4 ? 0 ,x ?Z ,若 A B ? ? ,则 a 等于

()

A.2

B.3

C.2 或 4

2. 下列函数中,在区间 (?1,1) 上为减函数的是

A. y ? ln(x ?1)

B. y ? 2? x

C. y ? 1 1? x

D. 2 或 3 ()
D. y ? cos x

3. 等差数列{an}中,公差 d ? 0 ,若 lg a1 , lg a2 , lg a4 也成等差数列,

a5 ? 10 ,则{an}的前 5 项和 S5 ?

()

A. 40

B. 35

C. 30

D. 25

4.



b

?

?

e 1

e

1 dx ”是“函数 x

f

?

x?

?

?? x ???3x

? ?

2 b

,x ? 0 是在 R 上的单调函数”的 ,x ? 0

() A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5. 已知 x,y 满足

,且 z=2x+y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是

()

A.

B.

C.

D.4

6.

若函数

f(x)=

??log ?log ??

2
1 2

x, (?

x ? 0, x), x ?

0,



f(a)>f(-a),则实数

a

的取值范围(

)

A.(-1,0)∪(0,1)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪ (0,1)[KS5UKS5U]

7. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )

A.32 B.18 C.16 D.10

8. 已知 x ? 2 是函数 f (x) ? x3 ? 3ax ? 2 的极小值点,那么函数 f (x) 的极大值为

() A.15

B.16

C.17

D.18

9.

过点

M(-2

0)的直线 l 与椭圆 x2 2

? y2

? 1交于

p1 ,

p2 两点,线段 p1 p2 中点为 p ,设直线 l 斜率

为 k1(k1 ? 0) ,直线 op 斜率为 k2 ,则 k1k2 等于( )

A.2

B.–2

C. 1

D. ? 1

2

2

10. 若函数 f (x) ? x3 ?12 x在区间(k ?1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数

k 的取值范围
A. k ? ?3或 ?1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2

() B.不存在这样的实数 k
D. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3

11.

如图, F1 , F2 是双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0) 的左、右两个焦点,若直线 y ?

x 与双曲线

C 交于 P , Q 两点,且四边形 PF1QF2 为矩形,则双曲线的离心率为
()

A. 2 ? 6

B. 2 ? 6

C. 2 ? 2

D. 2 ? 2

12. 若存在两个正实数 x ,y ,使得等式

3x ? a ?2y ? 4ex??ln y ? ln x? ? 0 成立,其中 e 为自然

则实数 a 的取值范围是

A. ??? ,0?

B.(0 ,3 ] 2e

D. ??? ,0? [ 3 ,? ?)
2e

C.[ 3 ,? ?) 2e

对数的底数, ()

二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 5 分,共 20 分.

13. 存在正数 x 使 2x (x ? a) ? 1成立,则 a 的取值范围是

14. 如图,在三棱柱 侧棱垂直底面,

ABC﹣A1B1C1

中,底面为正三角形,

A1

AB=4,AA1=6,若 E,F 分别是棱 BB1,CC1 上的点,

且 BE=B1E,C1F= CC1, 则异面直线 A1E 与 AF

. C1
B1 F
E C

所成角的余弦值为

.

A

B

15.已知数列1, a1, a2 , 4 成等差数列,数列1, b1, b2 , b3, 4 成等比数列,

则 a2b2 的值是

.

16. 如果对定义在 R 上的函数 f (x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2 都有

x1 f (x1) ? x2 f (x2 ) ? x1 f (x2 ) ? x2 f (x1) ,则称函数 f (x) 为“ H 函数”.

下列函数①

y

?

ex

?

x

;②

y

?

x2

;③

y

?

3x

?

sin

x

;④

?ln ?? 0,

|

x

|,

x x

? ?

0 0

是“ H 函数”的所有序号为_______.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分。解答写出文字说明、证明或验算步骤

17. (10 分) 设 p :实数 a 满足不等式 3a ? 9 , q :函数 f ? x? ? 1 x3 ? 3?3 ? a? x2 ? 9x 无极值点.

3

2

(1)若“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围;

(2)已知.

“ p ? q ”为真命题,并记为 r

,且

t



a2

?

? ??

2m

?

1 2

? ??

a

?

m

? ??

m

?

1 2

? ??

?

0

,若

r



?t

的必要

不充分条件,求实数 m 的取值范围.

18.(12 分)已知函数 f(x)=x2+2ax+1(a∈R),f′(x)是 f(x)的导函数. (1)若 x∈[-2,-1],不等式 f(x)≤f′(x)恒成立,求 a 的取值范围; (2)解关于 x 的方程 f(x)=|f′(x)|;
19. (本小题满分 12 分)各项均为正数的数列{ an }的前 n 次和 S n ,已
知 S1 ? 2 , a7 ? 20 , 且 2( a ? b ) Sn ? (an ? a)(an ? b) , n ? N ? ,
b> 3 >a . 2
(1)求 a 和 b 的值;

(2) bn

?

an ?1 , 3? 2n

记数列{ bn }的前 n 项和为Tn ,求Tn

20.(12 分)如图 1 在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D、E 分别为线段 AB、AC 的中点,AB=4,BC=2 .以 DE 为折痕,将 Rt△ADE 折起到图 2 的位置,使平面 A′DE⊥平面 DBCE,连接 A′C,A′B,设 F 是线

段 A′C 上的动点,满足 CF ? ?CA? .
(Ⅰ)证明:平面 FBE⊥平面 A′DC; (Ⅱ)若二面角 F﹣BE﹣C 的大小为 45°,求 λ 的值.

21. (12 分)(12 分)函数 f (x) ? x2 ? m ln x, h(x) ? x2 ? x ? a (Ⅰ)当 a=0 时, f (x) ? h(x) 在(1,+ ? )上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅱ)当 m=2 时,若函数 k(x) ? f (x) ? h(x) 在[1,3]上恰有两个不同
零点,求实数 a 的取值范围;

22.

已知椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? c ? 0, a2

? b2

? c2 ) 的左、右焦点分别为 F1,F2,若以 F2 为圆心,b ? c

为半径作圆 F2,过椭圆上一点 P 作此圆的切线,切点为T ,且|PT|的最小值不小于 3 (a ? c) . 2
(1)求椭圆的离心率 e 的取值范围;
(2)设椭圆的短半轴长为 1,圆 F2 与 x 轴的右交点为 Q,过点 Q 作斜率为 k(k>0)的直线 l 与 椭圆相交于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求直线 l 被圆 F2 截得的弦长的最大值.

高三数学(理)答案

一、选择题: DBCB 二、填空题:

BCAD

DDCD

13. (?1,??)

14.

2

10

三、解答题:

15. 6

16.①③

17. 解:由 3a ? 9 ,得 a ? 2 ,即 p : a ? 2 . ∵函数 f ? x? 无极值点,∴ f '? x? ? 0 恒成立,得

? ? 9?3 ? a?2 ? 4 ? 9 ? 0 ,解得1? a ? 5,即 q :1? a ? 5.

(1)∵“ p ? q ”为假命题,“ p ? q ”为真命题,∴ p 与 q 只有一个命题是真命题.



p

为真命题,

q

为假命题,则

?a ??a

? ?

2 1或a

?

5

?

a

?

1





q

为真命题,

p

为假命题,则

?a ? 2 ??1 ? a ?

5

?

2

?

a

?

5



? ? 于是,实数 a 的取值范围为 a a ?1或2 ? a ? 5 .

(2)∵“

p

?q

”为真命题,∴

?a ? 2 ??1 ? a ?

5

?1?

a

?

2

.又

a2

?

? ??

2m

?

1 2

? ??

a

?

m

? ??

m

?

1 2

? ??

?

0

,∴

?a

?

m?

??a ?

?

? ??

m

?

1 2

?? ????

?

0

,∴

a

?

m



a

?

m

?

1 2

,即

t



a

?

m



a

?

m

?

1 2



从而 ?t : m ? a ? m ? 1 . 2



r



?t

的必要不充分条件,即

?t



r

的充分不必要条件,∴

??m ???m

? ?

1 1 2

?

2

,解得1 ?

m

?

3 2



18.解:(1)因为

f(x)≤f′(x),所以

x2-2x+1≤2a(1-x).又因为-2≤x≤-1,所以

a≥

x2-2x+1 -x



x∈[-2,-1]时恒成立.因为

x2-2x+1 -x

=1-2 x≤32,所以

a≥32.

(2)因为 f(x)=|f′(x)|,所以 x2+2ax+1=2|x+a|,所以(x+a)2-2|x+a|+1-a2=0,则|x

+a|=1+a 或|x+a|=1-a.

①当 a<-1 时,|x+a|=1-a,所以 x=-1 或 x=1-2a;

②当-1≤a≤1 时,|x+a|=1-a 或|x+a|=1+a,所以 x=±1 或 x=1-2a 或 x=-(1+2a);

③当 a>1 时,|x+a|=1+a,所以 x=1 或 x=-(1+2a).

19. 解:(1)n ? 1时,2( a ? b) ? a1 ? (a1 ? a)(a1 ? b)

∴ a1 = a 或 a1 ? b



a1

=2

,

b



3 2

>a ,



b ? 2,

n ≥2 时

,

2( a

? b) ?

S n?1 =( an?1

?

a) ( an?1

?

b)

则有

a

2 n

?

a

2 n ?1

=(

a

?

b

)(

a

n

?

an?1 ),(

n≥

2) ∵ an >0 ∴ an ? an?1 ? (a ? b) ( n ≥2)

∴ an ? 2 ? (n ?1)(2 ? a) ∵ a7 =20, ∴ a =1

(2)由(1) an

? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1



bn

=

n 2n

∵Tn

=1?

(

1) 2

+

2( 1 )2 2

+

3

?

(

1 2

)3

+?

?

(n

? 1)

?

( 1 )n?1 2

?

n( 1 ) n 2



1 2 Tn

?

1? (1)2 2

+2?(1)3 +?? 2

(n

?1) ? (1)n 2

?

n( 1 )n?1 2



1 2

Tn

=

1 2

+(

1 ) 2 + (1 )3 22

+??

(1)n 2

?

n

?

( 1 )n?1 2

=1-

(1)n 2

?

n

?

( 1 )n?1 2

∴ Tn

?

2?

2?n 2n

20. 解:(Ⅰ)∵平面 A′DE⊥平面 DBCE, A′D⊥DE,

∴A′D⊥平面 DBCE,∴A′DBE. ∵D,E 分别为中点 ∴DE= BC= ,BD= AB=2.

在直角三角形 DEB 中,tan∠BED= = ,tan∠CDE= = . ∴tan∠BED?tan∠CDE=1.

∴∠BED+∠CDE=90°,可得 BE⊥DC.∴BE⊥平面 A′DC,又 BE? 平面 FEB. ∴平面 FBE⊥平面 A′DC. (II)以 D 为坐标原点 DB,DE,DA′分别为 OX,OY,OZ 轴建立空间直角坐标系, 各点坐标分别为 D(0,0,0),A′(0,0,2),B(2,0,0),

C(2,2 ,0),E(0, ,0). (﹣2,﹣2 ,2),

∵ =λ ,∴ =λ(﹣2,﹣2 ,﹣2),∴F 设平面 BEF 的法向量为 =(x,y,z), =

,=

, .





取=



又∵平面 BEC 的法向量为 =(0,0,1),

∴cos45°=

= ,化为 3λ2﹣6λ+2=0,解得 λ=1



又∵0<λ<1,∴λ=1﹣ .

21. 解:(Ⅰ)由 a=0, f (x) ? g(x) 可得 ?mln x ? ?x ,

即 m ? x ┉┉┉┉┉┉┉┉1 分 ln x

记?

?

x ln x

,则

f

(x)

?

g(x)

在(1,+∞)上恒成立等价于 m

? ?(x)min

.

求得 ?

'( x)

?

ln x ln 2

?1 x

┉┉┉┉┉┉┉┉2 分

当 x ? (1, e) 时;? '(x) ? 0 ;当 x ?(e, ??) 时,? '(x) ? 0 ┉┉┉┉┉┉┉┉3 分

故?(x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值,

即?(x)min ? ?(e) ? e ,故 m ? e . ┉┉┉┉┉┉┉┉4 分
(Ⅱ)函数 k(x) ? f (x) ? h(x) 在?1,3? 上恰有两个不同的零点等价于方程 x ? 2ln x ? a ,在?1,3 ? 上

恰有两个相异实根.┉┉┉┉┉┉┉┉5 分
令 g(x) ? x ? 2ln x ,则 g '(x) ? 1? 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉6 分 x

当 x ?[1, 2) 时, g '(x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '(x) ? 0

?g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数.

故 g(x)min ? g(2) ? 2 ? 2 ln 2 ┉┉┉┉┉┉┉┉7 分
又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3 ∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉8 分
22.解:(1)依题意设切线长| PT |? | PF2 |2 ?(b ? c)2 , ∴当且仅当 | PF2 |取得最小值时 | PT | 取得最小值,而| PF2 |min ? a ? c ,(2 分)

? (a ? c)2 ? (b ? c)2 ≥ 3 (a ? c) ,?0 ? b ? c ≤ 1 ,从而解得 3 ≤ e ? 2 ,

2

a?c 2

5

2

故离心率 e 的取值范围是 3 ≤ e ? 2 ;(4 分)

5

2

(2)依题意 Q 点的坐标为 (1, 0) ,则直线的方程为 y ? k(x ?1) ,

? y ? k(x ?1)

联立方程组

?

? x2 ?? a2

?

y2

?1

,得 (a2k 2 ?1)x2 ? 2a2k 2 x ? a2k 2 ? a2 ? 0 ,



A( x1, y1), B( x2, y2 ) ,则有 x1

?

x2

?

2a a2k

2k 2 2 ?1



x1

x2

?

a2k2 ? a2 a2k2 ?1



代入直线方程得

y1 y2

?

k 2[x1x2

?

( x1

?

x2 )

? 1]

?

k 2 (1? a2 ) a2k2 ?1



x1

x2 ? y1

y2

?

k2 ? a2k 2

a2 , ?1

又 OA ? OB ,?OA OB ? 0,?x1x2 ? y1y2 ? 0,?k2 ? a2 ,

?k ? a ,直线的方程为 ax ? y ? a ? 0, (8 分)

圆心

F2

(c, 0)

到直线 l

的距离 d

?

|

ac ? a | a2 ?1

,由图象可知

s ? 2d ? 2 | c ?1| ? 2 c2 ? 2c ?1 ? 2 c2 ? 2c ?1 ? 2 1?

4



a a2 ?1

a2 ?1

c2 ? 2

2c ?1? 9 ? 2

2c ?1

∴ 3 ≤ e ? 2 ,? 3 ≤ c ? 1, 5 ≤ 2c ?1 ? 3 ,

5

24

2



s ? (0,

2 41] ,所以 41

smax

?

2 41 41



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