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正弦函数和余弦函数的图像与性质


正弦函数、余弦函数的图象和性质

函 数

函数 函数
函数

一、正弦函数、余弦函数的图象(几何法) 1、用几何法作正弦函数的图像
利用正弦线作出 y ? sin x,x ? 0, 2π 的图象. y
作法: (1) (2) (3) (4)
π 3
π 2

?

?

1P 1
?
6

/ p1

等分; 作正弦线; 平移; 连线.
5π 3 11π 6

o1

M -1 1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

π 2?

x

-

-

-

正弦函数、余弦函数的图象
2、用几何法作余弦函数的图像 : y
1P 1
/ p1

o1

y

(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
7? 6 4? 3 3? 2 5? 3 11? 6

-

Q1

M1

-1A

Q2

-

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

2?

x

y

y
1-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

-

-

-

l

正 弦 曲 线
由终边相同的角三角函数值相同,所以 y=sin x 的图象在 ? ,[-4 ? ,-2 ?] , [-2 ? ,0] , [0,2 ?] , [2? ,4 ?] , ? 与 y=sin x,x?[0,2 ?] 的图象相同 , 于是平移得正弦曲线 .
y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2?
-

o-1



4?
-

6?
-

x

-

-




y
1
-



线

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

-1 -

o

2?
-

4?
-

6?
-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

-

x

单击: 返回

观察 y = sin x ,x?[ 0,2 ?] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7? 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

π 1); 图象的最高点: ( , 2

0),( π,0),(2 π ,0); 与 x 轴的交点: (0, 3π 图象的最低点: ( ,? 1) . 2

-

五点 作图法

正弦函数、余弦函数的图象
y
1-

(五点作图法)

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
5? 3 11? 6

?

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0) x 图象的最低点 3?

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点 (定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

-

( 2 ,?1)

图象的最高点 与x轴的交点

1-

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

? 3? ( , 0 ) ( x 2? 2 2 ,0) 图象的最低点 (? ,?1)

-

4









1.试画出正弦函数在区间 [0, 2? ]上的图像.
y 2
1

O ?1
-2

? 2
?

?

3? 2
5

2?
x
10

3? (0, 0), ( ,1), (? , 0), ( , ?1), (2? , 0) 五个关键点: 2 2

利用五个关键点作简图的方法称为“五点法”
-4

4









2.试画出余弦函数在区间 [0, 2? ] 上的图像.
2

y

1

? 2

?
5

3? 2

2?
x
10

O ?1
-2

3? (0,1), ( , 0), (? , ?1), ( , 0), (2? ,1) 五个关键点: 2 2
-4 并注意曲线的“凹凸”变化 .

?

五 点 作 图 法
列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标.
描点:定出五个关键点.

连线:用光滑的曲线顺次连结五个点.

二、正弦函数的性质
观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

x?R

(1) 值域 [ -1, 1 ]
π x ? ? 2kπ(k ? Z ) 2
时,取最大值1;

π x ? ? ? 2kπ(k ? Z ) 时,取最小值-1; 2

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零 常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x+T )= f (x),那么函数 f (x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期.

(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · 2 ?)=sin x (k?Z) 可知:

正弦函数是一个周期函数,2? ,4? ,? ,-2? ,
-4? ,? , 2k ?(k?Z 且 k≠0)都是正弦函数的周期. 2 ? 是其最小正周期 .

(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x 正弦函数是奇函数.

图象关于原点成中心对称 .
y
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

x
π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
? π 2



0 0



π 2



? 0



3π 2

-1

1

-1

π? π π π, ?? ? ? ? ? ? ? 2 k π, ? 2 k π ?, k ? Z 上, 是增函数; ?2 2 2? 2 在闭区间 ? ? ? π 3π3 ? π π ? ? , ? ? ? ? 2 k π, ? 2 k π , k ? Z 上,是减函数. 在闭区间 ? ? 2 2 ? ? 2 y ? ?2
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x

-?



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

cox -1
y=cosx (x?R)

0

0

增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z ? + ?], k?Z 减区间为 [2k?, 2k,

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

y=sinx
y
1 ? 2? 3? 4?

y= cosx
y
1

图 象 定义域 值 域

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

R [?1,1]
x ? 2k? ?

?

R [?1,1]
x ? 2k? ( k ? Z )

最 值

ymax=1
x ? 2k? ?

2

(k ? Z ) 时



?
2

ymax=1
(k ? Z ) 时
x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时

ymin= ?1

ymin= ?1
x ? k? ?

y= 0

x ? k? ( k ? Z )

?
2

(k ? Z )

y=sinx
y

y= cosx
y
1

图 象 周期性 奇偶性

1
? 2? 3? 4?

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

2? 奇函数 单调增区间:
[?

2? 偶函数
单调增区间:
[? ? 2k? ,2? ? 2k? ](k ? Z )

单调性

? ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2
? 2k? , 3? ? 2k? ]( k ? Z ) 2

单调减区间:
[

?

单调减区间:
[2k? ,? ? 2k? ](k ? Z )

2

例1. 用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]的图 像。 (1)y=2+sin x; y (2)y=sin x-1 ; y=2+sin x x∈ [0,2 π] (3)y=3sin x. 3
2 1 2. π π . . . . 0 x
? 2
3? 2

-1

y=sin x -1 x∈[0,2π]

y=sin 3x x∈[0,2π]

例2.求下列函数的最大值与最小值,及取到最值 时的自变量 x 的值. 3 2 (1) y ? ?2cos x (2) y ? (sin x ? ) ? 2

解:(1) 当 x ? 2k? ? ? , k ? Z 时, ymax ? 2

2

ymin ? ?2 当 x ? 2k? , k ? Z 时,
3 2 (2)视为 y ? (u ? ) ? 2, u ? sin x 2 17 ? ymax ? 当 u ? ?1,即 x ? 2k? ? , k ? Z 时, 4 2 7 ? ymin ? ? 当 u ? 1,即 x ? 2k? ? , k ? Z 时, 4 2

例3. 当x∈[0,2π ]时,求不等式
1 的解集. cos x ? y 2
1

y =
O -1

? 2

π

?? 2

1 2



x

p 5 p 变式问题 :如果 ?p ] [0, ]U [ x∈R ,呢 2 3 3

例4.下列函数的定义域:

1 1? y= 1 ? sin x
2? y=

? 2 cos x

? 例5.

求下列函数的最值: ? 1? y=sin(3x+ )-1
4

2? y=sin2x-4sinx+5

例6. 求下列函数的单调区间:
(1) y=2sin(-x )
解:y=2sin(-x ) = -2sinx ? ? ? [ +2k ? , +2k?],k?Z 上单调递减 函数在 ? 函数在 [
2 ? 2
2 3? +2k?, 2 ? ) 4

+2k?],k?Z上单调递增
k? ? k? ?

(2) y=3sin(2x? ? ? 解: 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ?
2k? ?

?
8

?
2

2

? 2x ?

?
4

4

? 2k? ?

所以:单调增区间为 单调减区间为

3? 7? ? x ? k? ? 8 8 ? 3? [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 7? [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 2

2

? x ? k? ?

3? 8

例 7. 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π 3π 2π ? . (1) sin( ) 和sin(? ); (2) sin 和 sin 4 18 3 10 π π π π ? < ? < ? < , 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y =sin x 在[ ? 2 ,2 ] 上是增函数.

所以 sin( ? (2) 因为

π 2π 3π < < <π , 2 3 4

π π )<sin( ? ) . 10 18

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

π ,π ] 上是减函数, 2
3π 4

> sin



例8.判断f(x)=xsin(?+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f ( x) ? x sin(? ? x) ? ? x sin x
f (? x) ? ?(? x) sin(? x) ? f ( x)
f ( ? x) ? f ( x)

函数的奇偶性

所以函数y=xsin(?+x)为偶函数

定义域关于原点对称

f (? x) ? f ( x)

f (? x) ? ? f ( x)

奇函数

偶函数

1 选择题
① 函数y=4sinx,x ? [-?, ?]的单调性( B ) A 在[-?,0]上是增函数,[0,?]是减函数; B 在[-?/2,?/2]上是增函数,在[-?,?/2]上是减函数; C 在[0,?]上是增函数,在[-?,0]上是减函数; D 在[?/2,?]及[-?,-?/2]上是增函数,在[-?/2,?/2]上

是减函数。



函数y=cos(x+?/2),x?R ( A ) A 是奇函数; B 是偶函数; C 既不是奇函数也不是偶函数; D 有无奇偶性不能确定。

2 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: ? cos15? / 8 > _ cos14? / 9 sin 250? _ sin 260 >
? cos515? _ > cos530

sin(?54? / 7) < _ sin(?63? / 8)

3 判断下列函数的奇偶性:

① f ( x) ? sin x ? cos x
1 ? sin x ? cos x ② f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x

(答案:①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数)

y=sinx
y
1 ? 2? 3? 4?

y= cosx
y
1

图 象 定义域 值 域

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

R [?1,1]
x ? 2k? ?

?

R [?1,1]
x ? 2k? ( k ? Z )

最 值

ymax=1
x ? 2k? ?

2

(k ? Z ) 时



?
2

ymax=1
(k ? Z ) 时
x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时

ymin= ?1

ymin= ?1
x ? k? ?

y= 0

x ? k? ( k ? Z )

?
2

(k ? Z )

y=sinx
y

y= cosx
y
1

图 象 周期性 奇偶性

1
? 2? 3? 4?

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

2? 奇函数 单调增区间:
[?

2? 偶函数
单调增区间:
[? ? 2k? ,2? ? 2k? ](k ? Z )

单调性

? ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2
? 2k? , 3? ? 2k? ]( k ? Z ) 2

单调减区间:
[

?

单调减区间:
[2k? ,? ? 2k? ](k ? Z )

2

求三角函数的单调区间:
1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性

3. 利用图象寻找单调区间


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