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2012届河北省石家庄市高三第二次模拟考试(数学文)word版


2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 2012年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试 高三数学(文科) 高三数学(文科)
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,答卷前,考生务必将自己的 姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 回答第 I 卷时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3. 回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷(选择题 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 已知集合 M={5,6,7 }, N={5,7,8 },则 A. C. 2. 复数 A.第一象限 A. 3. 已知函数 值为 A. 1 B.2 C. 3 D. 4 B. D. =(6,7,8 }

-(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 B.第二象限 B. C.第三象限 C. D.第四象限 D. 的

分别由右表给出, 则

4. 若 x、y 满足约束条件 y

,则 z=3x-y y

A.最小值-8,最大值 0 A. C.有最小值-4,无最大值 C. 5. 的值为

B.最小值-4,最大值 0 B. D.有最大值-4,无最小值 D.

1

A. 1

B.

C.

D. 是向量 与向量 n=(3,-1)夹角为钝角的

6. 已知向量 a=(1,2),b=(2,3),则 A.充分而不必要条件 A. C.充要条件 C.

B.必要而不充分条件 B. D.既不充分也不必要的条件 D.

7. 一个几何体的正视图与侧视图相同,均为右图所示,则其俯视图可能是

8. 程序框图如右图,若 n=5 =5,则输出的 s 值为 A. 30 B. 50 C. 62 D. 66

9. 从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

根据上表可得回归直线方程 A. 70.09 B. 70.12 C. 70.55

,据此模型预报身高为 172 cm 的高三男生的体重为 D. 71.05

10. 已知拋物线 则 |FM|= FM| A. 4 B. 6 C. 8

的焦点为 F,点 M 在该拋物线上,且在 x 轴上方,直线的倾斜角为 600,

D. 10 的图象不可能 不可能是 不可能

11. 已知 a 是实数,则函数

2

12. 已知函数

则满足不等式

的%的取值范围为

A.

B. (-3,1)

C. [-3,0)

D. (-3,0)

第 II 卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答. 第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 双曲线 的离心率为________.

14. 在

中,

,AC=1 ,AB=

,则 BC 的长度为________.

15. 在区间[1,3]上随机选取一个数 x,ex(e 为自然对数的底数)的值介于 e 到 e2 之间的概 率为________. 16. 已知长方体 ABCE-A1B1C1D1 的外接球的体积为 36 ,则该长方体的表面积的最大值为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ,a1=2, S1 2S2 3S3 成等差数列. { a )求数列{an}的通项公式; (I ) {a (II )数列 II 是首项为-6,公差为 2 的等差数列,求数列{bn}的前 n 项和.

18. (本小题满分 12 分) 在三棱柱 AB=1, B=1 点 0,CO 丄侧面 CO (I )证明=BC AB1 (II II)若 OC=OA OC=OA OA,求三棱锥 II 的体积. 中,侧面 ,D 为 为矩形, 交于

的中点,BD 与 D

3

19. (本小题满分 12 分) 我国是世界上严重缺水的国家之一, 城市缺水问题较 为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居 民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标 准?用水量不超过 a 的部分按照平价收费,超过 a 的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个 标准,通过抽样获得了 100 位居民某年的月均用水 量(单位:t :t),制作了频率分布直方图. :t )由于某种原因频率分布直方图部分数 (I ) 据丢失,请在图中将其补充完整; (II)用样本估计总体, 如果希望 80% 80%的居民每月的用水量不超出标准?则月均用水量的最低 标准定为多少吨,请说明理由; (III) 从频率分布直方图中估计该 100 位居民月均用水量的平均数 (同一组中的数据用该区 间的中点值代表).

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P(l P(l, )在椭圆 上,且该椭圆的离心率为 .

(I )求椭圆 E 的方程; ) (II II)过椭圆 E 上一点 P(x0, 3)作圆 II 3) 的面积. 的两条切线, 分别交 x 轴于点 B、 , C 求

21. (本小题满分 12 分) 己知函数 (1)若 a=1,求曲线 a=1 ( I I ) 若存在 (a<2,e 为自然对数的底数). a e 在点 ,使得. 处的切线方程; ,求实数 a 的取值范围.
4

请考生在第 22?24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 已知四边形 ACBE,AB 交 CE 于 D 点, (I )求证: ) ;

(II II)求证:A、E、B、C 四点共圆. II A

23. (本小题满分 H) H)分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系经 xOy 中,以 0 为极点,x 轴的正半轴为极轴,取与直角坐标系相同的长 度单位建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为: ( 为参数);射线 C2 的极坐标方程

为:

,且射线 C2 与曲线 C1 的交点的横坐标为

.

)求曲线 C1 的普通方程; (I ) (II )设 A、B 为曲线 C1 与 y 轴的两个交点,M 为曲线 C1 上不同于 A、B 的任意一点,若直线 II 、 ,M MA 与 MB 分别与 x 轴交于 P、Q 两点,求证|OP| ?|OQ|为定值. |OP|

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数. .

)画出函数 y=f(x)的图象; (I ) (II)若不等式 恒成立,求实数 a 的取值范围.

5

2012 年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试
高三数学(文科答案)
一、 选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项

是符合题目要求的. 是符合题目要求的. 1-5 CBACB 6-10 ABCBC 11-12 BD 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 填空题: 13.

5 4

14. 1 或 2

15.

1 2

16.

72

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 17.解: (Ⅰ)由已知 4 S 2 = S1 + 3S3 ,

4(a1 + a1q ) = a1 + 3a1 (1 + q + q 2 ) ………………….2 分 3q 2 ? q = 0 ,
1 ∴ q = 0 (舍)或 q = ……………………4 分 3

?1? ∴ an = 2 ? ? ? ? 3?

n ?1

.………………………….6 分

(Ⅱ)由题意得: bn ? an = 2n ? 8 ,.........................8 分

?1? bn = an + 2n ? 8 = 2 ? ? ? 3?

n ?1

+ 2n ? 8 ,设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn .

? ? 1 ?n ? 2 ?1 - ? ? ? ? ? 3 ? ? n(-6 + 2n - 8) ?+ Tn = ? …………………….10 分 1 2 13
?1? = n ? 7n ? ? ? ?3?
2

n ?1

+3

.

……………………….12 分

18.解: (Ⅰ)因为 ABB1 A1 是矩形,

D 为 AA1 中点, AB = 1 , AA1 = 2 , AD =

2 , 2

6

所以在直角三角形 ABB1 中, tan ∠AB 1 B = 在 直 角 三 角 形

AB 2 = , BB1 2 ABD

AD 2 = , AB1 2 所以 ∠AB 1 B = ∠ABD ,…………………2 分
中, tan ∠ABD = 又 ∠BAB1 + ∠AB1 B = 90 ,
o

∠BAB1 + ∠ABD = 90o ,
所以在直角三角形 ABO 中,故 ∠BOA = 90 , 即 BD ⊥ AB1 , ………………………………………
o

…………………………………4 分 又因为 CO ⊥ 侧面ABB1 A1 , AB1 ? 侧面ABB1 A1 ,所以 CO ⊥ AB1 所以, AB1 ⊥ 面BCD , BC ? 面BCD , 故 BC ⊥ AB1 ………………………6 分

2 ×1 6 AD × AB 3 2 (Ⅱ)在 Rt ? ABD 中,可求得 BD = , OC = OA = = = 2 BD 3 6 2 1 2 S ?ABB1 = AB ? BB1 = …………………………9 分 2 2 1 1 2 3 6 VB1 -ABC = VC -ABB1 = S ?ABB1 ? OC = ? ? = …………………………12 分 3 3 2 3 18
19.解: (Ⅰ)

……………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.样本中月均用水量不低于 2.5 吨的居民有 20 位,占样本总体的 20%,由样本估计总体,要保证 80%的居民每月的用水量不超出标准,月 均用水量的最低标准应定为 2.5 吨.………………………………………………7 分 (Ⅲ)这 100 位居民的月均用水量的平均数为

7

1 3 5 7 9 11 13 0.5 × ( × 0.10 + × 0.20 + × 0.30 + × 0.40 + × 0.60 + × 0.3 + × 0.1) 4 4 4 4 4 4 4 = 1.875 …………………12 分

? c 1 ? ?e = a = 2 ? 2 ? 2 2 20.解: (Ⅰ)依题意得: ?a = b + c ,…………………2 分 ? 45 ? 1 ? + 4 =1 ? a 2 b2 ?
解之得 a = 4, c = 2, b = 2 3 .

x2 y 2 ∴椭圆 E 的方程为 + = 1 .………………5 分 16 12 x2 y 2 (Ⅱ)把 P ( x0 , 3 ) 代入 + = 1 ,求得 x0 = ±2 ,不妨取 x0 = 2 , 16 12
易知过椭圆 E 上一点 P ( x0 , 3 ) 作圆 x 2 + ( y ? 1) 2 = 1 的两条切线的斜率存在, 设为 k ,则切线的方程为: y ? 3 = k ( x ? 2) ,………………7 分

2k ? 2
依题意得

k +1
2

2 = 1 ,化简得 3k ? 8k + 3 = 0 ,

则 k1 =

4+ 7 4? 7 , k2 = . 3 3 4± 7 ( x ? 2) ,…………………9 分 3

∴切线的方程为: y ? 3 =

令 y = 0 得 x B = ?2 + 7 , xC = ?2 ? 7

1 ∴ S ?PBC = ?2 7 ? 3 = 3 7 .…………………12 分 2
21.解: (Ⅰ)当 a = 1 时, f ( x ) = ( x 2 ? x + 1)e x ,切点为 (1, e) , 于是有 f ′( x ) = ( x 2 + x )e x ,……………2 分

k = f ′(1) = 2e



切线方程为 y = 2ex ? e .………………5 分

(Ⅱ) f ′( x ) = x ( x ? a + 2)e x , 令 f ′( x ) = 0 ,得 x = a ? 2 < 0 或

x =0,
(a ? 2, 0)
8

(1)当 ?2 ? a ? 2 < 0 ,即 0 ? a < 2 时,

x

?2

(?2, a ? 2)

a?2

0

(0, 2)

2

f ′( x) f ( x)




0 极大值

_

0 极小值



?

?

?

f (a ? 2) = ea ? 2 (4 ? a ) , f (2) = e 2 (4 ? a ) , 当 0 ? a < 2 时,有 f (2) … f ( a ? 2)
若存在 x ∈ [ ?2, 2] 使得 f ( x) …3a e ,只须 e (4 ? a ) …3a e ,
2 2 2 2 2

解得 ?

4 剟a 3
?2

1,



0 剟a

1 .……………8 分

②当 a ? 2 < ?2 ,即 a < 0 时,

x f ′( x) f ( x)
∴ ∵

(?2, 0)


0
0 极小值

(0, 2)


2

?

?

f (?2) = e ?2 (4 + 3a ) , f (2) = e 2 (4 ? a ) , e?2 (4 + 3a ) < e2 (4 ? a ) , ∴ f (2) > f ( ?2)

若存在 x ∈ [ ?2, 2] 使得 f ( x ) …3a 2 e 2 ,只须 e 2 (4 ? a ) …3a 2 e 2 , 解得 ?

4 剟a 3

1,



4 ? ? a < 0 .……………11 分 3

综上所述

4 ? 剟a 3

1 .………………12 分

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)依题意,

所以 ?DEB ? ?BEC ,………………2 分 得 ∠3 = ∠4 , 因为 ∠4 = ∠5 , 所以 ∠3 = ∠5 ,又 ∠2 = ∠6 , 可得 ?EBD ? ?ACD .……………………5 分 (Ⅱ)因为 因为 ?EBD ? ?ACD , 所

DE BE = , ∠1 = ∠1 , BE EC

ED BD = , 即 AD CD ∠ADE = ∠CDB , ?ADE ? ?CDB , 所以 ∠4 = ∠8 ,………………7 分

0

ED AD = BD CD

,



因为 ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180 , 因为 ∠2 = ∠7 + ∠8 ,即 ∠2 = ∠7 + ∠4 ,由(Ⅰ)知 ∠3 = ∠5 , 所以 ∠1 + ∠7 + ∠4 + ∠5 = 1800 ,
0 即 ∠ACB + ∠AEB = 180 ,

9

所以 A 、 E 、 B 、 C 四点共圆.………………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为

x2 + y2 = 1 , 2 a

射线 C2 的直角坐标方程为 y = x ( x ≥ 0) ,…………………3 分 可知它们的交点为 ?

? 6 6? 2 ? 3 , 3 ? ,代入曲线 C1 的普通方程可求得 a = 2 . ? ? ?
x2 + y 2 = 1 .………………5 分 2

所以曲线 C1 的普通方程为

(Ⅱ) | OP | ? | OQ | 为定值. 由(Ⅰ)可知曲线 C1 为椭圆,不妨设 A 为椭圆 C1 的上顶点, 设 M ( 2 cos ? , sin ? ) , P ( xP , 0) , Q ( xQ , 0) , 因为直线 MA 与 MB 分别与 x 轴交于 P 、 Q 两点, 所以 K AM = K AP , K BM = K BQ ,………………7 分 由斜率公式并计算得

xP =

2 cos ? 2 cos ? , xQ = , 1 ? sin ? 1 + sin ?

所以 | OP | ? | OQ |= xP ? xQ = 2 .可得 | OP | ? | OQ | 为定值.……………10 分 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由于 f ( x ) = ?

?3 x + 7, x ≥ ?2, …………2 分 ??3 x ? 5 x < ?2.

则函数的图象如图所示:(图略)……………5 分 (Ⅱ) 由函数 y = f ( x ) 与函数 y = ax 的图象可知, 当且仅当 ? 分 所以不等式 f ( x ) ≥ ax 恒成立, 则 a 的取值范围为 ? ?

1 ≤ a ≤ 3 时,函数 y = ax 的图象与函数 y = f ( x) 图象没有交点,……………7 2

? 1 ? , 3 .…………………10 分 ? 2 ? ?

10


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