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等差数列的前n项和性质及应用


复习回顾
等差数列的前n项和公式:

n(a1 ? an ) 形式1: Sn ? 2
形式2:

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2

1.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数,这个函数 有什么特点?

n(n ? 1)d S n ? na1 ? 2

d d 令 A ? , B ? a1 ? 2 2

d 2 d Sn ? n ? (a1 ? )n 2 2

则 Sn=An2+Bn

当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法1 由S3=S11得 ∴ d=-2
1 1 3 ? 13 ? ? 3 ? 2 ? d ? 11 ? 13 ? ? 11 ? 10 ? d 2 2

1 ? Sn ? 13n ? n( n ? 1) ? ( ?2) 2 2 2 ? ? n ? 14n ? ?(n ? 7) ? 49
∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法2 由S3=S11得 d=-2<0

则Sn的图象如图所示 又S3=S11 所以图象的对称轴为
∴当n=7时,Sn取最大值49.

Sn

3 ? 11 n? ?7 2

n 3 7 11

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法3 由S3=S11得 d=-2

∴ an=13+(n-1) ×(-2)=-2n+15 15 ? n? ? ? an ? 0 ? 2 由 ? 得 ? 13 a ? 0 ? ? n ?1 n? ? ? 2 ∴当n=7时,Sn取最大值49.

等差数列的前n项的最值问题 例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值. 解法4 由S3=S11得

a4+a5+a6+……+a11=0 而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∴a7+a8=0 又d=-2<0,a1=13>0 ∴a7>0,a8<0

∴当n=7时,Sn取最大值49.

求等差数列前n项的最大(小)的方法 d 2 d 方法1:由Sn ? n ? (a1 ? )n利用二次函 2 2 数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列 前面有若干项为正,此时所有正项的和为 Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得. ②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值 由an ≤0且an+1 ≥ 0求得.

练习:已知数列{an}的通项为an=26-2n, 要使此数列的前n项和最大,则n的值为 ( C)
A.12 B.13 C.12或13 D.14

2.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd ,

S偶

an ? 1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S偶-S奇= an ,

S奇 S偶

Sn 性质5: { } 为等差数列. n

n ? n?1

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1

3.等差数列{an}前n项和的性质的应用 例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若 S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )

A.63

B.45

C.36

D.27

例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且 a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=( )

A

A.85

B.145

C.110

D.90

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例3.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 -110 . 例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分

Sn 7 n ? 1 别是Sn和Tn,且 ? Tn 4n ? 27
a5 an 求 和 . b5 bn a5 64 ? b5 63 an 14n ? 6 ? bn 8n ? 23

等差数列{an}前n项和的性质的应用 例5.一个等差数列的前12项的和为354, 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数 的项的和之比为32:27,则公差为 5 . 例6.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和 为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则 m= .

10

例7.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .

等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0

24 ? ? d ? ?3 7

13a1+13×6d<0

1 (2) ∵ Sn ? na1 ? n( n ? 1)d 2 1 ? n(12 ? 2d ) ? n( n ? 1)d 2

2 d 24 ? d ? ?3 ∴Sn有最大值. 由(1)知 ? 7 5 12 13 13 由上得 6 ? ? 即6 ? n ? ? 2 d 2 2
由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.

d 2 5d ? n ? (12 ? )n 2 2 5 12 ∴Sn图象的对称轴为 n ? ?

练习1
已知等差数列25,21,19, …的前n项和 为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.

练习2:
求集合

M ? {m m ? 2n ?1, n ? N , m ? 60}

?

的元素个数,并求这些元素的和.

练习3:已知在等差数列{an}中,a10=23,
a25=-22 ,Sn为其前n项和.
(1)问该数列从第几项开始为负?
(2)求S10

(3)求使 Sn<0的最小的正整数n.
(4) 求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值

1.根据等差数列前n项和,求通项公式.

n?1 ? a1 an ? ? ? S n ? S n ?1 n ? 2
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.

d 2 d S n ? n ? (a1 ? ) n 2 2

3.等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n, …也在等差数列, 公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= - (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an ? 此时有:S偶-S奇= nd ,

S偶

an ? 1

性质4:(1)若项数为奇数2n-1,则 S2n-1=(2n- 1)an (an为中间项),

此时有:S偶-S奇= an ,

S奇 S偶

Sn 性质5: { } 为等差数列. n

n ? n?1

两等差数列前n项和与通项的关系

性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n ?1 ? 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n?1

作业

P46 A组 5T, B组 2T,4T


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