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2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程

2011 年—2017 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13.坐标系与参数方程
一、解答题 【2017,22】在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? 3 cos ? , ? y ? s in ? ,

( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为

? x ? a ? 4t, ? ? y ? 1 ? t,

( t 为参数) .

(1)若 a ? ? 1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为

17

,求 a .

【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t , ? y ? 1 ? a sin t ,

( t 为参数, a ? 0 ) .在以坐标

原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 : ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C 3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan ? 0 ? 2 , 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上, 求a .

1

【2015,23】在直角坐标系 x O y 中,直线 C 1 : x = ? 2,圆 C 2 : ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C 1 , C 2 的极坐标方程; (II)若直线 C 3 的极坐标方程为 ? ?
?
4

2

2

??

? R ? ,设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N ,求 ? C 2 M N 的面积.

【2014,23】已知曲线 C :

x

2

4

?

y

?x ? 2 ? t ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 9 ? y ? 2 ? 2t
2

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 3 0 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | P A | 的最大值与最小值.

【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5 cos t, ? y ? 5 ? 5 s in t

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).

2

【2012,23】已知曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上,且 A,B,C,D 依 逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2,
?
3

) 。

(1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围。
2 2 2 2

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
uuu v uuuv

? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 s in ?

( ? 为参数)

M 是 C1 上的动点,P 点满足 O P ? 2 O M ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 A B .
?
3

与 C1 的异于

3

2011 年—2017 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13.坐标系与参数方程(解析版)
一、解答题 【2017,22】在直角坐标系 x O y 中,曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? 3 cos ? , ? y ? s in ? ,

( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为

? x ? a ? 4t, ? ? y ? 1 ? t,

( t 为参数) .

(1)若 a ? ? 1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为
【解析】(1) a ? ? 1 时,直线 l 的方程为 x
?x ? 4y ? 3 ? 0 ? 联立方程 ? x 2 2 ? y ?1 ? ? 9

17

,求 a .

? 4y ? 3 ? 0

.曲线 C 的标准方程是

x

2

9

? y

2

?1



?x ? 3 ,解得: ? ?y ? 0

21 ? x ? ? ? ? 25 或? 2 4 ?y ? ? 25 ?

,则 C 与 l 交点坐标是 ? 3 , 0 ? 和 ? ?
?

?

21 25



24 ? ? 25 ?

(2)直线 l 一般式方程是 x 则 P 到 l 距离 d 依题意得: d m a x
?

? 4y ? 4 ? a ? 0

.设曲线 C 上点 p ? 3 c o s ?
5 s in ? ? ? ?

, s in ?

?.
? 3 4

3 c o s ? ? 4 s in ? ? 4 ? a 17

?

??

4 ? a

,其中 ta n ?



17

?

17

,解得 a ? ? 1 6 或 a ? 8 .

【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? a cos t , ? y ? 1 ? a sin t ,

( t 为参数, a ? 0 ) .在以坐标

原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2 : ? ? 4 cos ? . (Ⅰ)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C 3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan ? 0 ? 2 , 若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上, 求a . 【解析】 :⑴
? x ? a cos t ? ? y ? 1 ? a s in t

( t 均为参数),∴ x 2

?

?y

? 1?

2

? a

2



∴ C 1 为以 ? 0 ,1 ? 为圆心, a 为半径的圆.方程为 x 2 ∵ x2 ⑵
? y
2

? y

2

? 2y ?1? a

2

? 0

? ?

2

, y ? ? s in ?

,∴ ?

2

? 2 ? s in ? ? 1 ? a

2

? 0

即为 C 1 的极坐标方程
2

C 2 :? ? 4 co s ?

2 ,两边同乘 ? 得 ?

? 4 ? cos ?

?

2

? x ? y ,? cos ? ? x

2

4

? x ? y

2

2

? 4x

,即 ? x

? 2? ? y

2

2

? 4

②, C 3 :化为普通方程为 y

? 2x

由题意: C 1 和 C 2 的公共方程所在直线即为 C 3 ,①—②得: 4 x ∴1 ?
a
2

? 2y ?1? a

2

? 0

,即为 C 3

? 0

,∴ a

?1
2 2

【2015,23】在直角坐标系 x O y 中,直线 C 1 : x = ? 2,圆 C 2 : ? x ? 1 ? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C 1 , C 2 的极坐标方程; (II)若直线 C 3 的极坐标方程为 ? ?
?
4

??

? R ? ,设 C 2 与 C 3 的交点为 M , N ,求 ? C 2 M N 的面积.

解析: (I)因为 x ? ? c o s ? , y ? ? s in ? ,所以 C 1 的极坐标方程为 ? c o s ? ? ? 2 , C 2 的极坐标方程为
?
2

? 2 ? c o s ? ? 4 ? s in ? ? 4 ? 0 .

(Ⅱ)将 ? =
?2=

?
4

代 入 ? ? 2 ? c o s ? ? 4 ? s i n? ?

2

4 ?

2 ? ? 3 2? ? 4 ? 0 0 得 , ,解得 ? 1 = 2 2 ,

2 ,|MN|= ? 1 - ? 2 =

2 ,因为 C 2 的半径为 1,则 ? C 2 M N 的面积

1 2

?

2 ? 1 ? s in 4 5 =

o

1 2

.

【2014,23】已知曲线 C :

x

2

4

?

y

?x ? 2 ? t ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 9 ? y ? 2 ? 2t
2

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 3 0 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | P A | 的最大值与最小值.
? x ? 2 cos ? ? y ? 3 s in ?

【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0

( ? 为参数) ,

(Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为 d ?

5 5

4 c o s ? ? 3 s in ? ? 6 ,

则 | P A |?

d s in 3 0
0

?

2 5

5

5 s in ? ? ? ?

??6

,其中 ? 为锐角.且 ta n ? ?

4 3

.

当 sin ? ? ? ? ? ? ? 1 时, | P A | 取得最大值,最大值为

22 5
5 5

5



当 sin ? ? ? ? ? ? 1 时, | P A | 取得最小值,最小值为

2

.

5

【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5 cos t, ? y ? 5 ? 5 s in t

(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 解:(1)将 ?
? x ? 4 ? 5 cos t, ? y ? 5 ? 5 s in t

消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,

即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. 将?
? x ? ? cos ? , ? y ? ? s in ?

代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.

所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. (2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2y ? 0
2 2

解得 ?
? ? 2,

? x ? 1, ?y ?1

或?

? x ? 0, ? y ? 2.

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ?

π ? π ? ? ? ,? 2, ? . 4 ? 2 ? ?

【2012,23】已知曲线 C 1 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为

极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A,B,C,D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C 1 上任意一点,求 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围。 【解析】 (1)曲线 C 1 的参数方程 ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 3 sin ?
y
2

?
3

) 。

2

2

2

2

化为

直角坐标方程为

x

2

4

?

9

? 1,

曲线 C 2 的极坐标方程 ? ? 2 化为 直角坐标方程为 x ? y ? 4 , 因为点 A 的极坐标为(2, 所以点 B 的极坐标为(2,
?
3
5? 6
2 2

) , ) ,点 C 的极坐标为(2,
4? 3

) ,点 D 的极坐标为(2,

1 1? 6

) ,

因此点 A 的直角坐标为(1, 3 ) ,点 B 的直角坐标为( ? 3 ,1) ,

6

点 C 的直角坐标为(-1,- 3 ) ,点 D 的直角坐标为( 3 ,-1) 。 (2)设 P( 2 c o s ? , 3 s in ? ) ,则 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD |
? ( 2 c o s ? ? 1) ? ( 3 s in ? ?
? ( 2 c o s ? ? 1) ? ( 3 s in ? ?
2

2

2

2

2

2

3 ) ? (2 cos ? ?
3 ) ? (2 cos ? ?
2

2

3 ) ? ( 3 s in ? ? 1)
2

2

2

3 ) ? ( 3 s in ? ? 1)

2

? ( 2 c o s ? ? 1) ? ( 3 s in ? ? ? ( 2 c o s ? ? 1) ? ( 3 s in ? ?
2
2

2

3 ) ? (2 cos ? ? 3 ) ? (2 cos ? ?
2

2

3 ) ? ( 3 s in ? ? 1)
2

2

2

3 ) ? ( 3 s in ? ? 1)

2

? 2 0 s in ? ? 3 2 ? [3 2 , 5 2 ] 。

因此 | PA | ? | PB | ? | PC | ? | PD | 的取值范围为[32,52]。

2

2

2

2

【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
uuu v uuuv

? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 s in ?

( ? 为参数)

M 是 C1 上的动点,P 点满足 O P ? 2 O M ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 A B .
? ? ? ,由于 M 点在 C 1 上,所以 ? ? ? ? x 2 y 2 ? 2 cos ? ? 2 ? 2 s in ?

?
3

与 C1 的异于

? x y ? 解: (I)设 P ? x , y ? ,则由条件知 M ? , ? ? 2 2 ?

,即 ?

? x ? 4 cos ? ? y ? 4 ? 4 s in ?

.

从而 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ? y ? 4 ? 4 s in ?

( ? 为参数). ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ?
? 4 s in

(II)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? 射线 ? 射线 ? 所以
?

? 4 s in ?

? 8 s in ?

.

?
3

与 C 1 的交点 A 的极径为 ? 1 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2
3

?
3

, ,

?

?
3

? 8 s in

?
3

A B ? ?1 ? ? 2 ? 2

.

7


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