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高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结


1. 均值不等式法 例1 设 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? n(n ? 1). 求证 f ( x) ? 1 1 ? a ? 2 bx 1 2 n ?1 n(n ? 1) (n ? 1) 2 ? Sn ? . 2 2 例2 已知函数 ,若 f (1) ? 1 4 ,且 f ( x ) 在[0,1]上的最小值为 ,求证: 2 5 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) ? n ? 1 例 3 求证 Cn 1 ? . 2 n?1 2 2 3 n ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ? n?2 2 2 ? an ? 1, x12 ? x2 ? (n ? 1, n ? N ) . 例 4 已知 a2 ? a2 ? 1 2 2 ? xn ? 1 ,求证: a1 x1 ? a2 x2 ? ? ? an xn ≤1. 2.利用有用结论 例 5 求证 (1 ? 1)(1 ? 1 1 1 )(1 ? )? (1 ? ) ? 2n ? 1. 3 5 2n ? 1 例 6 已知函数 求证: 例7 1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? a ? n x f ( x) ? lg ,0 ? a ? 1, 给定n ? N ? , n ? 2. n f (2 x) ? 2 f ( x)(x ? 0) 对任意 n ? N ? 且 n ? 2 恒成立。 ? 1, an ?1 ? (1 ? 1 1 )an ? n . n ?n 2 2 已知 a1 ( I ) 用数学归纳法证明 an ? 2(n ? 2) ; ( II ) 对 ln(1 ? x) ? x 对 x ? 0 都成立,证明 an ? e2 (无理数 e ? 2.71828 例 8 已知不等式 ) 1 1 ? ? 2 3 ? 1 1 ? [log2 n ], n ? N ? , n ? 2 。 [log2 n] 表示不超过 log2 n 的最大整数。设正数数列 n 2 {an } 满足: a1 ? b(b ? 0), an ? 再如:设函数 nan?1 2b , n ? 2. 求证 a n ? , n ? 3. n ? an?1 2 ? b[log2 n] f ( x) ? ex ? x 。 n k n e ? f ( x) 最小值; (Ⅱ)求证:对于任意 n ? N ,有 ? ( ) ? . e ?1 k ?1 n (Ⅰ)求函数 例9 设 an 1 ? (1 ? ) n ,求证:数列 {an } 单调递增且 a n ? 4. n 3. 部分放缩 例 10 例 11 设 an 设数列 ? 1? 1 ? 1a ? a 2 3 ? 1 , a ? 2 ,求证: a n na ? 2. 有: ?an ?满足 an?1 ? an2 ? nan ? 1?n ? N ? ? ,当 a1 ? 3 时证明对所有 n ? 1, 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 (i)an ? n ? 2 ; (ii) 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 . 2 4 . 添减项放缩 例 12 设n n ? 1, n ? N ,求证 ( ) ? 2 3 8 . (n ? 1)(n ? 2) 1 (n ? 1,2,?). an 5 证明 an 例 13 设数列 {an } 满足 a1 ? 2, an ?1 ? an ? ? 2n ? 1 对一切正整数 n 成立; 利用单调性放缩: 构造函数 例 14 已

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