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高中数学竞赛二试试题答案B卷

2008 年全国高中数学联合竞赛加试(B 卷)

试题参考答案

说明:

1.评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分; 2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划
分档次评分,10 分为一个档次,不要增加其他中间档次.
一、(本题满分 50 分)

如题一图, ABCD 是圆内接四边形. AC 与 BD 的交点为

P ,E 是弧 AB 上一点,连接 EP 并延长交 DC 于点 F ,点 G, H

分 别 在 CE , DE 的 延 长 线 上 , 满 足 ?E A G? ?F A D, ?EBH ? ?FBC ,求证: C, D,G, H 四点共圆.

[证] 由已知条件知

?FAG ? ?FAE ? ?EAG ? ?FAE ? ?FAD ? ?DAE .



?DAE ? ?DCE ?180? ,

所以

?FAG ? ?DCE ?180?,

从而 A, F,C,G 四点共圆,此圆记为 ?1 . 同理可证: B, F, D, H 四点共圆,此圆记为 ?2 . 点 E 在圆 ?1 , ?2 内.延长 FE 与圆 ?1 相交于点 I ,则 IP? PF ? AP? PC ? DP? PB ,
故 B, F, D, I 四点共圆.

题一图

所以 I 在 ?BFD 的外接圆上,故 I 在 ?2 上.
再用相交弦定理:
E C? E G? E? F ?E I ?E, D E H 故 C, D,G, H 四点共圆.

答一图

二、(本题满分 50 分)

求满足下列关系式组

的正整数解组 (x, y, z) 的个数.

[解] 令 r ? y ? z ,由条件知 0 ? r ? 50 ,方程化为

x2 ? (z ? r)2 ? 2z2 ,即 x2 ? 2zr ? r2 ? z2 .

(1)

因 y ? z ? r ? 0 ,故 z2 ? x2 ? y2 ? z2 ? x2 ,从而 z ? x .

设 p ? z ? x ? 0 .因此(1)化为

?2zp ? p2 ? 2zr ? r2 ? 0 .

(2)

下分 r 为奇偶讨论, (ⅰ)当 r 为奇数时,由(2)知 p 为奇数.

令 r ? 2r1 ?1 , p ? 2 p1 ?1,代入(2)得

2( p12 ? p1 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? r1) ?1 ? 0 .

(3)

(3)式明显无整数解.故当 r 为奇数时,原方程无正整数解.

(ⅱ)当 r 为偶数时,设 r ? 2r1 ,由方程(2)知 p 也为偶数.从而可设 p ? 2 p1 ,代

入(2)化简得

p12 ? zp1 ? zr1 ? r12 ? 0 .

(4)

由(4)式有 z( p1 ? r1) ? p12 ? r12 ? 0 ,故 p1 ? r1 ,从而可设 p1 ? r1 ? a ,则(4)可化

为 (r1 ? a)2 ? za ? r12 ? 0 ,

2r12 ? 2ar1 ? za ? a2 ? 0 .

(5)



z

?

2r12 a

?

2r1

?

a

为整数,故 a

2r12 .

又 z ? z ? x ? 2 p1 ? 2(r1 ? a) ,因此

(r1 ? a)2 ? r12 ? za ? 2(r1 ? a)a ,得 a2 ? 2r12 ,

a ? 2r1 . 因此,对给定的 r1 ? 1, 2,???, 25 ,解的个数恰是满足条件 a ? 2r1 的 2r12 的正因数 a 的 个数 N (r1) .因 2r12 不是完全平方数,从而 N (r1) 为 2r12 的正因数的个数? (2r12 ) 的一半.即

N (r1) ? ? (2r12 ) / 2 .

由题设条件,1 ? r1 ? 25 .而
25 以内有质数 9 个:2,3,5,7,11,13,17,19,23.将 25 以内的数分为以下八组::

A1 ? {20 , 21, 22 , 23, 24},

A2 ? {2? 3, 2? 5, 2? 7, 2?11},

A3 ? {22 ? 3, 22 ? 5} ,

A4 ? {23 ? 3} ,

A5 ? {2 ? 32} ,

B1 ? {3,5, 7,11,13,17,19, 23} ,

B2 ? {32 , 52} ,

B3 ? {3? 5,3? 7} ,
从而易知

N ( A1) ? N (20 ) ? N (21) ? N (22 ) ? N (23) ? N (24) ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 15 ,

N ( A2 ) ? N (2? 3) ? 4 ? 6? 4 ? 24 ,

N ( A3) ? 9? 2 ? 18 ,

N ( A4 ) ? 12 ,

N ( A5 ) ? 10 ,

N (B1) ? 3?8 ? 24 ,

N (B2 ) ? 5? 2 ? 10 ,

N (B3) ? 9? 2 ? 18 ,

将以上数相加,共 131 个.因此解的个数共 131. 三、(本题满分 50 分)

2008
? 设 ak ? 0 ,k ? 1, 2, , 2008 .证明:当且仅当 ak ? 1时,存在数列{xn} 满足以下条件: k ?1

(ⅰ) 0 ? x0 ? xn ? xn?1 , n ? 1, 2,3, ;

(ⅱ)

lim
n??

xn

存在;

2008

2007

? ? (ⅲ) xn ? xn?1 ? ak xn?k ? ak x ?1 n?k , n ? 1, 2, 3, .

k ?1

k ?0

[证] 必要性:假设存在{xn} 满足(ⅰ),(ⅱ),(iii).注意到(ⅲ)中式子可化为

2008
? xn ? xn?1 ? ak (xn?k ? xn?k?1) , n ? N* , k ?1

其中 x0 ? 0 .

将上式从第 1 项加到第 n 项,并注意到 x0 ? 0 得

xn ? a1(xn?1 ? x1) ? a2 (xn?2 ? x2 ) ? ? a2008 (xn?2008 ? x2008 ) .

由(ⅱ)可设

b

?

lim
n??

xn

,将上式取极限得

2008
? b ? ? ak , k ?1

2008
因此 ? ak ? 1. k ?1

2008
? 充分性:假设 ak ? 1.定义多项式函数如下: k ?1

2008
? f (s) ? ?1? ak sk , s ?[0,1] , k ?1

则 f (s) 在[0,1]上是递增函数,且

2008
f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? ?1? ? ak ? 0 . k ?1

因此方程 f (s) ? 0 在[0,1]内有唯一的根 s ? s0 ,且 0 ? s0 ? 1,即 f (s0 ) ? 0 .

n
? 下取数列{xn} 为 xn ? s0k , n ? 1, 2, ,则明显地{xn} 满足题设条件(ⅰ),且 k ?1

? xn

?

n
s0k
k ?1

?

s0

?

sn?1 0

1? s0



因0

?

s0

?

1,故

lim
n??

sn?1 0

?

0

,因此 lim n??

xn

?

lim
n??

s0

?

sn?1 0

1? s0

?

s0 1? s0

,即{xn} 的极限存在,满

足(ⅱ).

2008
? 最后验证{xn} 满足(ⅲ),因 f (s0 ) ? 0 ,即 ak s0k ? 1 ,从而 k ?1

2008

2008

2008

? ? ? xn ? xn?1 ? s0n ? ( ak s0k )s0n ? ak s0n?k ? ak (xn?k ? xn?k?1) .

k ?1

k ?1

k ?1

综上,已证得存在数列{xn} 满足(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ).


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