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汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试(理数)


2014 届第一学期金山中学高三期中考试试卷 理科数学
一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 1、命题“ ?x ? R , x ? x ? 1 ≥ 0 恒成立”的否定是(
2


2

A. ?x ? R , x ? x ? 1 < 0 恒成立;
2

B. ?x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 恒成立; D. ?x ? R , x ? x ? 1 < 0 恒成立.
2

C. ?x ? R , x ? x ? 1 ≥ 0 成立;
2
x

2、已知函数 f ( x) ? 3 ? x ? 7 的零点为 x0 , 则 x0 所在区间为( A. [?1, 0] 3、已知函数 f ( x) ? B. [ ?2, ?1] C. [1, 2]



D. [0, 1] )

( x ? 1)2 ? a (a 为非零常数 ) ,则 f (x) 的图像满足( x ?1
B.关于点 (1, 1) 对称 D.关于直线 x ? 1轴对称

A.关于点 (1, 0) 对称 C.关于原点对称
2

4、函数 f ( x) ? ax ? ax ? 1 (a ? 0) ,如果 f (?k ) ? 0 ,则 f (k ? 1) 的值是( A.正数 B.负数 C.零 )



D.无法确定

2 2 5、若 x ? 0 、 y ? 0 , 则 x ? y ? 1 是 x ? y ? 1 的(

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不是充分也不是必要条件
2

6、设 f (x) 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x ? [ 0 , 1 ] 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则 f (x) 在区间 [ 0 , 2013 ] 内零点的个数为( A.2013 B.2014
2

) C.3020 D.3019

7、设集合 A ? {x 10 ? 3x ? x ≥ 0} , B ? {x m ? 1 ≤ x ≤ 2m ? 1} ,如果有 A ? B ? B ,则 实数 m 的取值范围是( A. (?? , 3] ) C. [2, 3] D. [2, 5]

B. [?3, 3]

8、在 R 上定义运算:对 x 、 y ? R ,有 x ? y ? 2 x ? y ,如果 a ? (3b) ? 1 (ab ? 0) ,则

1 1 ? ( ) 的最小值是( a 3b
A. 10 B. 9



C.

32 3

D.

28 3

二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9、不等式 x ? 3 ? x ? 1 的解集是
1

.

10、已知 f (x) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log 2 x ,则 f (? ) ? 11、已知函数 f ( x) ? ?

1 2

.

?log a x

( x ? 1)

2 ??ax ? (2a ? 1) x ? 3 ( x ? 1)

(a ? 0 且 a ? 1) 如果对任意 x1 ? x2 ,


都有 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 成立, 则 a 的取值范围是____________. 12、如果方程 (a ? 1) x ? a ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是 13、已知函数 f ( x) ? . .

1 3 3 x ? x ,则函数 f ( x) 过点 (2, 1) 的切线方程为 . 2 2

14、若对任意 x ? A , y ? B , A 、 B ? R )有唯一确定的 f ( x , y ) 与之对应,称 f ( x , (

y ) 为关于 x 、 y 的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x 、

y 的广义“距离”;
(1)非负性: f ( x, y ) ? 0, 当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x 、 y 的广义“距离”的序号: ① f ( x, y ) ?| x ? y | ; ② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;
2

③ f ( x, y ) ?

x ? y.

能够成为关于的 x 、 y 的广义“距离”的函数的序号是____________.

三、解答题(15、16 题每题 12 分,17 至 20 题每题 14 分,共 80 分) 15、已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? sin 2 x
2 2

(1)求 f ( x) 的最大值和最小正周期; (2)设 ? ? [0,

?
2

], f (

?
2

?

?
8

)?

5 ? ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16、某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 . 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x (x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位: 元) .为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积

2

17、已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 满足对 ?x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,且方程
2

f ( x) ? 1 ? 0 有重根.
(1)求函数 f (x) 的解析式; (2)设 a n ?

f ( n) ? 2 (n ? N *) ,求数列 {a n } 的前 n 项和 S n . f ( n)

18、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? mx ? nx ? 2 ; 3 2

(1)如果函数 f ( x) 有两个极值点 ?1 和 2 ,求实数 m 、 n 的值; (2)若函数 f ( x) 有两个极值点 x1 和 x2 ,且 x1 ∈ [ ?1, 1] , x2 ∈ [1, ??) , 求

(m ? 2)2 ? (n ? 1)2 的最小值.

19、已知函数 g ( x) ? ln x ? ax ? bx , 函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行
2

于 x 轴. (1)确定 a 与 b 的关系; (2) 当 a ? 1 时,求函数 g ( x) 的单调区间; (3)证明:对任意 n ? N * ,都有 ln ?1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 成立. i2

3

20、已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x ? ax ? ln x , g ( x) ? e .(其中 e 是自然对数的底数)
2 x

(1)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ( x) 的极值; (2)令 F ( x) ?

f ( x) ,若函数 F ( x) 在区间 (0, 1] 上是单调函数,求 a 的取值范围. g ( x)

4

参考答案:
DCAB BCAB 10、1 11、 1 ? a ≤ 2
14、①

9、 {x ? R x ? 2}

12、 a ? 1 或 a ≤ 0

13、 y ? 1和 9 x ? 2 y ? 16 ? 0

15、解:(1)? f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x ?

2(

? 2 sin(2 x ? ) 4 且 x ? R ? f ( x) 的最大值为 2 2? 最小正周期 T ? ?? 2
(2)? f (

?

2 2 cos 2 x ? sin 2 x) 2 2

? ) ? 2 sin(2( ? ) ? ) ? 2 sin(? ? ) 2 8 2 8 4 2 5 10 ? 2 cos ? ? ,? cos ? ? 2 4

?

?

?

?

?

?

又?? ? [0,

?
2

] , ∴ sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? (

10 2 6 ) ? 4 4

? 2 2 2 6 10 3 ? 5 sin(? ? ) ? sin ? ? cos ? ? ?( ? ) 4 2 2 2 4 4 4
16、解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x) 元,依题意有 x ? 10 , x ? N *

2160 ?10000 2000x 10800 ? 560 ? 48x ? x 10800 ≥ 560 ? 2 48x ? x ? 560 ? 1440 ? 2000 10800 等号成立,当且仅当 48x ? ,即 x ? 15 x
故 f ( x) ? ? 560 ? 48 x ? ? 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层.

17、解: (1)由对 ?x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,∴函数 f (x) 图像的对称轴为

x ? ?2 ,
b ∴b ? 4 , ? ?2 , 2 2 又方程 f ( x) ? 1 ? 0 有重根,即 x ? 4 x ? c ? 1 ? 0 有重根, ∴ ? ? 16 ? 4(c ? 1) ? 0 , ∴c ? 3
∴? 故 f ( x) ? x ? 4 x ? 3 (2)由
2

5

an ?

f ( n) ? 2 2 2 1 1 ? 1? 2 ? 1? ? 1? ? (n ? N *) f ( n) (n ? 1)( n ? 3) n ?1 n ? 3 n ? 4n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 3 1 1 1 1 ? n? ? ? ? 2 3 n?2 n?3 5 2n ? 5 ? n? ? 6 (n ? 2)( n ? 3)

18、解: (1)由 f ( x) ?

1 3 1 2 2 x ? mx ? nx ? 2 ,故 f ?( x ) ? x ? mx ? n , 3 2

函数 f (x) 有两个极值点-1 和 2, 故 f ?( x) ? x ? mx ? n ? ( x ? 1)( x ? 2) ? x ? x ? 2
2 2

n
A(2,1)

∴ m ? ?1 , n ? ?2 . 经检验, m ? ?1 , n ? ?2 满足题意. (2)由函数 f (x) 有两个极值点 x1 和 x 2 ,且 x1 ?[?1,1] , x2 ? [1,??) 故有 ?

o
B(0, ?1)

m

? f ?(?1) ? 1 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 1 ? 0 , 即? ? f ?(1) ? 1 ? m ? n ? 0 ?m ? n ? 1 ? 0 画出上述不等式组的可行域 ? 如右图: 2 2 又 (m ? 2) ? (n ? 1) 表示点 ( m, n) 到点 A(2, 1) 距离的平方. 而点 A(2, 1) 到可行域 ? 的点的最小距离是点 A 到点 B(0, ? 1) 的距离.
AB ? (2 ? 0) 2 ? (1 ? 1) 2 ? 2 2
2

2 2 所以, (m ? 2) ? (n ? 1) 的最小值是 AB ? (2 2) ? 8 ,此时, m ? 0 , n ? ?1 ;
2

经检验, m ? 0 , n ? ?1 满足题意. 19、解:(1)依题意得 g ( x) ? ln x ? ax ? bx ,则 g '( x) ?
2

1 ? 2ax ? b x 由函数 g ( x) 的图象在点 (1, g (1)) 处的切线平行于 x 轴得: g '(1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 ∴ b ? ?2a ? 1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? (2)由 a ? 1 , g ?( x) ? x x 1 令 g '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? , 2 故 g ?( x) 、 g ( x) 随 x 变化如下表: 1 1 1 (1, ??) (0, ) ( , 1) x 1 2 2 2

g ?( x)
g ( x)

?

0
极大值

?

0
极小 值

?

故函数 g ( x) 在 (0, 增.

1 1 ) 上单调递增,在 ( , 1) 单调递减,在 (1, ??) 上单调递 2 2
2

(3)证法一:由(2)知当 a ? 1 时,函数 g ( x) ? ln x ? x ? 3 x 在 (1, ??) 单调递增,
6

? ln x ? x 2 ? 3 x ? g (1) ? ?2 ,即 ln x ? ? x 2 ? 3x ? 2 ? ?( x ? 1)( x ? 2) , 1 1 1 1 令 x ? 1 ? , n ? N * ,则 ln(1 ? ) ? ? 2 , n n n n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ... ? (1 ? )] ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n n i ?1 即 ln ?1 ? n ? ? ? 2 i ?1 i 证法二:构造数列 {an } ,使其前 n 项和 Tn ? ln(1 ? n) , 1? n 1 则当 n ? 2 时, an ? Tn ? Tn ?1 ? ln( ) ? ln(1 ? ) , n n 显然 a1 ? ln 2 也满足该式, 1 n ?1 1 1 故只需证 ln(1 ? ) ? 2 ? ? 2 n n n n 1 2 2 令 x ? ,即证 ln(1 ? x) ? x ? x ? 0 ,记 h( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x , x ? 0 n 1 1 x(2 x ? 1) 则 h '( x) ? ?1 ? 2x ? ?1? 2x ? ? 0, 1? x 1? x 1? x h( x) 在 (0, ??) 上单调递增,故 h( x) ? h(0) ? 0 , 1 n ?1 1 1 ∴ ln(1 ? ) ? 2 ? ? 2 成立, n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ... ? ln(1 ? ) ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ... ? ? 2 1 2 3 n 1 1 2 2 3 3 n n
即 ln ?1 ? n ? ?

?
i ?1

n

i ?1 i2

证法三:令 ? (n) ? ln(1 ? n) ?

?
i ?1

n

i ?1 , i2

n 1 1 1 ? ln(n ? 1) ? ln(1 ? )? ? 2 (n ? 1) n ? 1 n ? 1 (n ? 1) 2 1 1 令 x ? 1? , 则 x ? (1, 2] , ? x ? 1, n ? N * , n ?1 n ?1 2 2 记 h( x) ? ln x ? ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 3 x ? 2 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ∵ h?( x) ? ? 2 x ? 3 ? ? 0 ∴函数 h( x) 在 (1, 2] 单调递增, x x 又 h(1) ? 0,?当x ? (1, 2]时, h( x) ? 0, 即 ? (n ? 1) ? ? (n) ? 0 , n i ?1 ∴数列 ? ( n) 单调递增,又 ? (1) ? ln 2 ? 0 ,∴ ln ?1 ? n ? ? ? 2 i ?1 i
则 ? (n ? 1) ? ? (n) ? ln( n ? 2) ?

7

20、解: (1)由 a ? ?1 , f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 令 f ?( x) ? 0 , 解得:x ? 1 分

1 2 x2 ? x ?1 ? ( x ? 0) x x

????1 分 ????2

故 f ?( x) 、 f ( x) 随 x 变化如下表:

x
f ?( x) f ( x)
2

(0, 1)
?

1
0
极小

(1, ??)

?

值 又 f (1) ? 1 ? 1 ? ln1 ? 0 ,故函数 y ? f ( x) 有极小值 0 ;


????6

1 ? x 2 ? (2 ? a) x ? a ? ? ln x f ( x) x 2 ? ax ? ln x x ? ( x ? 0) , F ?( x) ? (2)由 F ( x) ? x x g ( x) e e 1 1 1 2 令 h( x) ? ? x ? (2 ? a) x ? a ? ? ln x , 则 h?( x) ? ?2 x ? 2 ? ? 2 ? a , x x x 1 2 h??( x) ? ?2 ? 2 ? 3 ? 0 ,故 y ? h?( x) 在区间 (0, 1] 上是减函数, x x 从而对 x ? (0, 1] , h?( x) ≥ h?(1) ? 2 ? a . ① 当 2 ? a ≥ 0 ,即 a ≤ 2 时, h?( x) ≥ 0 ,∴ y ? h( x) 在区间 (0, 1] 上增函数. 故 h( x ) ≤ h(1) ? 0 ,即 F ?( x) ≤ 0 , 因此,故 y ? F ( x) 在区间 (0, 1] 上是减函数, a ≤ 2 满足题意. 1 2 2 1 ② 当 2 ? a < 0 ,即 a > 2 时,由 h?(1) ? 0 , h?( ) ? ? ? a ? 2 ? 0 , 0 ? ? 1 , a a a 且 y = h?( x) 在区间 (0, 1] 的图像是一条连续不断的曲线 故 y = h?( x) 在区间 (0, 1] 有唯一零点,设为 x0 , h?( x) , h( x) 在区间 (0, 1] 上随 x 变化如下表:

x
h?( x)

(0, x0 )

x0

( x0 , 1]
?

?

0
极大 值
?a ?2 a

h( x )

故有 h( x0 ) ? h(1) ? 0 ,而 h(e ) ? ?e

? (2 ? a)e? a ? a ? ea ? ln e? a ? 0 ,

且 y = h( x ) 在区间 (0, 1] 的图像是一条连续不断的曲线, h(1) ? 0 故 y = h( x ) 在区间 (0, 1) 有唯一零点,设为 x? , 即 y = F ?( x) 在区间 (0, 1) 有唯一零点 x? ,

F ?( x) , F ( x) 在区间 (0, 1] 上随 x 变化如下表:

x
F ?( x) F ( x)

(0, x?)
?

x?
0
极大 值
8

( x? 1)

?

即函数在区间 (0, x?) 递减,在区间 ( x?, 1) 递增,矛盾, a > 2 不符题意, 综上所述: a 的取值范围是 (??, 2] .

9


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