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福建省厦门六中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试卷

福建省厦门六中 2014-2015 学年高二上学期 期中考试数学(理)试卷
满分 150 分 考试时间 120 分钟 注意事项: 1. 本试题共分三大题,全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2.第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题卡相应题目的答案标号,修改时,要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置, 在草稿纸和本卷 上答题无效。作图时,可用 2B 铅笔,要求字体工整、笔迹清晰。

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若命题“ p ? q ”为真, “ ?p ”为真,则 ( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 2.已知 a, b, c ? R ,那么下列命题中一定正确的是( ) D.p 假 q 真

a b ? ,则 a ? b c c C.若 a ? ?b, 则c ? a ? c ? b
A.若

B.若 a ? b, c ? d, 则a-c ? b-d
2 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

3.已知△ABC 中, a ? 2 3, b ? 2 2, A ? 600 ,则 B=( ) A、450 B、1350 C、450 或 1350

D、300 或 1500

4.某种细胞每隔 30 分钟分裂 1 次,1 个分裂成 2 个,则 1 个这样的细胞经过 4 小时 30 分钟后, 可得到的细胞个数为 ( ) A、512 B、511 C、1024 D、1023 5.命题“ ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是 ( )
3 2

A. ? x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
3 2

B. ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

C. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

D. ?x0 ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

6.下列函数中,最小值为 4 的是( ) 4 A. y ? x ? ( x ? 3) x C. y ? e ? 4e
x ?x

B. y ? sin x ? D.

4 (0 ? x ? ? ) sin x

7.在等比数列 ?an ? 中,若 S4 ? 1, S8 ? 3 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( ) A 5 B 9 C

y ? log3 x ? 4log x 3

16

D 81

?x ? 0 ?y ? 0 ? 8.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则 s 的取值范围是 ( ) ? y ? 2x ? 4 ? ?y ? x ? s A.0< s ≤2 或 s ≥4 B.0< s ≤2 C.2≤ s ≤4 D. s ≥4 9. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , 若 a , b, c 成等比数列, 且 c ? 2a , 则 cos B 等
于( ) A.

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

2 3

2 * 10.在数列{an}中,若 a2 n-an+1=p(n≥1,n∈N ,p 为常数),则称{an}为“等方差数列”, 下列是对“等方差数列”的判断: 2 ①若{an}是等方差数列,则{an }是等差数列; ②{(-1)n}是等方差数列; ③若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k 为常数)也是等方差数列. 其中真命题的序号是( ) A. ② B. ①② C. ②③ D. ①②③

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 1 , an?2 ? an?1 ? an ,则 a6 ? .

,则 12.已知?ABC外接圆半径为1

3a ? 2b ? c = 3sin A ? 2sin B ? sin C

.

13.函数 y ? a1? x ( a ? 0,a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ?1 ? 0( mn ? 0) 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n



14.若不等式 (a ? 2) x2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是 15.二次函数 y ? ax ? bx ? c( x ? R) 的部分对应值如下表: x 0 1 2 ?3 ?2 ?1 y 6 0 ? 6 ? 6 ?4 ?4
2



3 0

4 6

则不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是
2

。 1 2 4 7 8 5 9 3 6 10

16.把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数 表(每行比上一行多一个数) :设 ai , j (i、j∈N*)是位于 这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数, 如 a4,2 =8.若 ai , j =210,则 i、j 的值分别为____ ,_____。

??????????

三.解答题(本大题有 6 小题,共 76 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 17. (本大题 12 分)已知 p:-2≤x≤10,q:x2-2x+1-a2≤0(a>0),若 q 是 p 的必要不 充分条件,求实数 a 的取值范围. ?????????

18. (本大题 12 分) 已知△ABC 的内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a=2, cosB= (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ABC=4,求 b,c 的值.

3 . 5

19.(本大题 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 15, a4 ? a6 ? 22 ,Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (1)求通项公式 an 及Sn 和 Tn . (2)设 ?bn ? an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项 ;

20. (本大题 13 分)某家公司每月生产两种布料 A 和 B,所有原料是两种不同颜色的羊毛, 下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量,以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量。 羊毛颜色 红 绿 每匹需要 ( kg) 布料 A 4 6 布料 B 4 3 供应量(kg) 1400 1800

已知生产每匹布料 A、B 的利润分别为 120 元、80 元。那么如何安排生产才能够产生最大 的利润?最大的利润是多少? 21.(本大题 13 分) 某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,铺设一个对角线在 L 上的 四边形电气线路,如图所示.为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成, 边 BA,AD 用一根 9 米长的材料弯折而成,使 A+C= 180 0 ,且 AB=BC.设 AB=x 米,cos A=f(x). (1)求 f(x)的解析式,并指出 x 的取值范围; (2)求 y ?
sin A 的最大值,并指出相应的 x 值。 AB

22. (本大题 14 分)已知 f ( x) ? logm x (m 为常数,m>0 且 m ? 1 ), 设 f (a1 ), f (a2 ),?, f (an )(n ? N ? ) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=an· f (an ) ,且数列{bn}的前 n 项和 Sn,当 m ? m 的范围;若不存在,说明理由.

2 时,求 Sn ;

(3)若 cn= an lg an ,问是否存在 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出

厦门六中 2014—2015 学年高二上学期期中考 满分 150 分 数 学 (理科) 答题卷 考试时间 120 分钟 考试日期 2014.11.11

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四 个选项中,只有一个是正确的,把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上 . 二、填空题(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11._________ 14.14.__________ 12. __________ 15.___________ 13. __________ 16. __________

三、解答题(本题共 6 小题,共 76 分;解答应写出文字说明与演算步骤) 17. (本小题满分 12 分)解:

18. (本小题满分 12 分)解:

19.

19(本小题满分 12 分)解:

20(本小题满分 13 分)解:

21.(本小题满分 13 分)解:

22.(本小题满分 14 分)解:

二、填空题:(本题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. 8 12. 2 13. 4 14.

? ?2, 2?

15.

?x x ? ?2或x ? 3?

16. 20, 20

三.解答题(本大题有 6 小题,共 76 分;解答应写出文字说明与演算步骤)
17.解:p:记 A= ?x ?2 ? x ? 10? ;q: ? ? x ? ?1 ? a ?? ?? ? x ? ?1 ? a ?? ? ? 0 , a ? 0,?1 ? a ? x ? 1 ? a 记 B= ?x 1 ? a ? x ? 1 ? a? ,??4 分 q 是 p 必要不充分条件,? A ? B ??8 分
? ?1 ? a ? ?2 ? a ? 3 ?? ?? ? a ? 9 ??11 分 ? ?a ? 9 ?1 ? a ? 10 故实数 a 的取值范围为: ?9, ?? ? ??12 分

4 3 2 >0,且 0<B<π ,∴sinB= 1 ? cos B ? . ??2 分 5 5 4 2? a b asinB 5 2 ? 由正弦定理得 , sinA ? ? ? . ??6 分 sinA sinB b 4 5 1 1 4 (2) ∵S△ABC= acsinB=4, ∴ ? 2 ? c ? ? 4 , ∴c=5. ??9 分 2 2 5
18. 解.(1) ∵cosB= 由余弦定理得 b2=a2+c -2accosB,
2

3 ? 17 .??12 分 5 19. 解:(1) a3 ? a1 ? 2d ? 15, a4 ? a6 ? 2a5 ? 22, a5 ? a1 ? 4d ? 11 ,
∴ b ? a + c ? 2accosB ?
2 2

22 + 52 ? 2 ? 2 ? 5 ?

?d ? ?2, a1 ? 19 ,??2 分? an ? ?2n ? 21 ; Sn ? ?n2 ? 20n ??6 分
(2) bn ? an ? 3n?1 ,?bn ? 3n?1 ? 2n ? 21??9 分

Tn ? Sn ? (1 ? 3 ? ... ? 3n?1 ) ? ?n 2 ? 20n ?

3n ? 1 ??12 分 2

20. 解.设每月生产布料 A 为 x 匹、生产布料 B 为 y 匹,利润为 Z 元,??1 分

?4 x ? 4 y ? 1400 ?6 x ? 3 y ? 1800 ? 那么 ? x?0 ? ? y?0 ?

①;目标函数为 z ? 120 x ? 80 y = 40(3 x + 2 y )?4 分

作出二元一次不等式 ① 所表示的平面区域(阴影部分)即可行域。

6 x ? 3 y ? 1800

M

4 x ? 4 y ? 1400 120 x ? 80 y ? 0
??8 分 解方程组 ?

zmax

?4 x ? 4 y ? 1400 得 M 点的坐标为 (250, 100) 所以当 x = 250 , y =100 时 6 x ? 3 y ? 1800 ? ? 120 x ? 80 y ? 38000. ??11 分 答:该公司每月生产布料 A、B 分别为 250 、100
2 2 2

匹时,能够产生最大的利润,最大的利润是 38000 元。??13 分 21. 解:(1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD =AB +AD -2AB·AD·cos A. 同理,在△CBD 中,BD =CB +CD -2CB·CD·cos C. 因为∠A 和∠C 互补, 所 以
2 2 2 2

AB +AD -2AB · AD · cos
2

2

2

A=CB +CD -2CB · CD · cos

2

2

C=CB +CD +2CB·CD·cos A.??4 分 即 x +(9-x) -2x(9-x)cos A=x +(5-x) +2x(5-x)cos A.解得 cos A ?
2 2 2 2

2 , x

即 f(x) ?

2 ,其中 x∈(2,5)??7 分 x

4 1 4 ,? y ? 1? 2 x ? ? 2,5? ??9 分 2 x x x 4 4 ? (1 ? 2 ) 1 2 4 1 x2 x ? 1 ,??11 分 ?y ? ? 1? 2 ? ? 2 x 2 2 4 x 1 4 4 当 2 ? 1 ? 2 ? x2 ? 8 ? x ? 2 2 时, ymax ? ??13 分 4 x x (2)由(1)知,sinA= 1-

另:也可用二次函数求解。 22. 解: (Ⅰ)由题意 f (an ) ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2, ∴ an ? m ∴
2n? 2

即 logm an ? 2n ? 2,

??1 分
2 ∵m>0 且 m ? 1 ,∴m 为非零常数, 2

a n?1 m ? ? m2 2n? 2 an m
4

2 ( n ?1) ? 2

∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列??4 分 (Ⅱ)由题意 bn ? an f (an ) ? m2n?2 logm m2n?2 ? (2n ? 2) ? m2n?2 , 当m?

2时,bn ? (2n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?2

∴ S n ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? 4 ? 25 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?2 ①式两端同乘以 2,得

① ② ??6 分

2S n ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? 4 ? 26 ? ? ? n ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3
②-①并整理,得

S n ? ?2 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? ? ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3
? ?23 ? [23 ? 2 4 ? 25 ? ? ? 2 n?2 ] ? (n ? 1) ? 2 n?3
=? 2 ?
3

2 3 [1 ? 2 n ] ? (n ? 1) ? 2 n?3 1? 2 3 3 ? ?2 ? 2 (1 ? 2 n ) ? (n ? 1) ? 2 n?3 ? 2 n ?3 ? n
2 n?2

??8 分

(Ⅲ)由题意 cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? m 要使 cn?1 ? cn 对一切 n ? 2 成立,即 A.当 m>1 时,

lg m ??9 分

n lg m ? (n ? 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ? 2 成立,

n ? (n ? 1)m 2 对n ? 2 成立;??11 分 ②当 0<m<1 时, n ? (n ? 1)m 2

m2 m2 ? 2, ∴n ? 对一切 n ? 2 成立,只需 1? m2 1? m2 6 6 6 . ??13 分 解得 ? , 考虑到 0<m<1, ∴0<m< ?m? 3 3 3 6 综上,当 0<m< 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项.??14 分 3


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