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2018版高中数学人教版A版必修五学案:§1.1.1 正弦定理(一) 完美版

1.1.1 正弦定理(一)
[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明 方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.

知识点一 正弦定理

1.正弦定理的表示

文字 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比都相等,该比值为三角形

语言 外接圆的直径

符号 语言

在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则sina A=sinb B=sinc C =2R

2.正弦定理的常见变形

(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,其中 R 为△ABC 外接圆的半径.

(2)sin A=2aR,sin B=2bR,sin C=2cR(R 为△ABC 外接圆的半径).

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比,即 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

(4)sin

a+b+c A+sin B+sin

C=sina

A=sinb

B=sinc

C.

(5)asin B=bsin A,asin C=csin A,bsin C=csin B.

3.正弦定理的证明

(1)在 Rt△ABC 中,设 C 为直角,如图,由三角函数的定义: sin A=ac,sin B=bc, ∴c=sina A=sinb B=sin 9c0°=sinc C, ∴sina A=sinb B=sinc C.

(2)在锐角三角形 ABC 中,设 AB 边上的高为 CD,如图, CD=asin__B=bsin__A, ∴sina A=sinb B, 同理,作 AC 边上的高 BE,可得sina A=sinc C, ∴sina A=sinb B=sinc C. (3)在钝角三角形 ABC 中,C 为钝角,如图, 过 B 作 BD⊥AC 于 D,则 BD=asin(π -C)=asin__C, BD=csin__A,故有 asin C=csin__A, ∴sina A=sinc C, 同理,sina A=sinb B,∴sina A=sinb B=sinc C. 思考 下列有关正弦定理的叙述:①正弦定理只适用于锐角三角形;②正弦定理不适用于直 角三角形;③在某一确定的三角形中,各边与它所对角的正弦的比是一定值;④在△ABC 中, sin A∶sin B∶sin C=BC∶AC∶AB.其中正确的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 正弦定理适用于任意三角形,故①②均不正确;由正弦定理可知,三角形一旦确定, 则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了,所以③正确;由正弦定理可知④正确.故选 B. 知识点二 解三角形 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考 正弦定理能解决哪些问题? 答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角.
题型一 对正弦定理的理解

例 1 在△ABC 中,若角 A,B,C 对应的三边分别是 a,b,c,则下列关于正弦定理的叙述

或变形中错误的是( )

A.a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C

B.a=b?sin 2A=sin 2B

a C.sin

A=sin

b+c B+sin

C

D.正弦值较大的角所对的边也较大

答案 B

解析 在△ABC 中,由正弦定理得sina A=sinb B=sinc C=k(k>0),则 a=ksin A,b=ksin B,c

=ksin C,故 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C,故 A 正确.

当 A=30°,B=60°时,sin 2A=sin 2B,此时 a ≠b,故 B 错误.

根据比例式的性质易得 C 正确.

大边对大角,故 D 正确.

反思与感悟 (1)定理的内容:sina A=sinb B=sinc C=2R,在运用正弦定理进行判断时,要灵活 使用定理的各种变形.

(2)如果ab=dc,那么 a+b b=c+d d(b,d≠0)(合比定理); a-b b=c-d d(b,d≠0)(分比定理); aa+ -bb=cc+-dd(a>b,c>d)(合分比定理); 可以推广为:如果ab11=ab22=…=abnn,那么ab11=ab22=…=abnn=ab11++ab22++……++abnn. 跟踪训练 1 在△ABC 中,下列关系一定成立的是( )

A.a>bsin A B.a=bsin A

C.a<bsin A D.a≥bsin A

答案 D

解析 在△ABC 中,B∈(0,π),∴sin B∈(0,1],

∴sin1 B ≥1, 由正弦定理sina A=sinb B得 a=bssiinnBA≥bsin A.

题型二 用正弦定理解三角形

例 2 (1)在△ABC 中,已知 c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.

(2)在△ABC 中,已知 c= 6,A=45°,a=2,解这个三角形.

解 (1)∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°,

由sina A=sinc C得 a=cssiinnCA=10s×insi3n0°45°=10 2.

∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°=

2+ 4

6,

∴b=cssiinnCB=csin(sinA+C C)=10s×insi3n0°75°=20×

2+ 4

6

=5 2+5 6.

∴B=105°,a=10 2,b=5 2+5 6.

(2)∵sina A=sinc C,

∴sin C=csian A=

6×sin 2

45°=

23,

∵C∈(0°,180°),∴C=60°或 C=120°.

当 C=60°时,B=75°,b=cssiinnCB= s6isnin607°5°= 3+1; 当 C=120°时,B=15°,b=cssiinnCB= s6insi1n2105°°= 3-1.

∴b= 3+1,B=75°,C=60°或 b= 3-1,B=15°,

C=120°.

反思与感悟 (1)已知两角与任意一边解三角形的方法.

首先由三角形内角和定理可以计算出三角形的另一角,再由正弦定理可计算出三角形的另两

边.

(2)已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法.

首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值,若这个角不是直角,当已知的角为大边所对

的角时,则能判断另一边所对的角为锐角,当已知的角为小边所对的角时,则不能判断,此

时就有两组解,再分别求解即可;然后由三角形内角和定理求出第三个角;最后根据正弦定

理求出第三条边.

跟踪训练 2 (1)在△ABC 中,已知 a=8,B=60°,C=75°,则 b 等于( )

A.4 2 B.4 3 C.4 6 D.4

(2)在△ABC 中,若 a= 2,b=2,A=30°,则 C=______.

答案 (1)C (2)105°或 15°

解析 (1)易知 A=45°,由sina A=sinb B得

b=assiinnAB=8·223=4 6. 2

(2)由正弦定理sina A=sinb B,



sin

B=bsian

A=2sin

30°= 2

2 2.

∵B∈(0°,180°),∴B=45°或 135°,

∴C=180°-45°-30°=105°或 C=180°-135°-30°=15°.

题型三 判断三角形的形状

例 3 在△ABC 中,已知 a2tan B=b2tan A,试判断三角形的形状.

解 由已知得ac2osisnBB=bc2osisnAA,

由正弦定理得sinc2oAssiBn

B=sinc2oBssiAn

A .

∵sin A、sin B≠0,∴sin Acos A=sin Bcos B.

即 sin 2A=sin 2B.

∴2A+2B=π或 2A=2B. π
∴A+B= 2 或 A=B. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.

反思与感悟 (1)判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行,既可以转化为边与边的

关系,也可以转化为角与角的关系.

(2)注意在边角互化过程中,正弦定理的变形使用,如ab=ssiinn BA等. 跟踪训练 3 在△ABC 中,bsin B=csin C 且 sin2A=sin2B+sin2C,试判断三角形的形状.

解 由 bsin B=csin C,得 b2=c2,

∴b=c,∴△ABC 为等腰三角形,

由 sin2A=sin2B+sin2C 得 a2=b2+c2,

∴△ABC 为直角三角形,

∴△ABC 为等腰直角三角形.

1.在△ABC 中,AB=c,AC=b,BC=a,下列等式中总能成立的是( )

A.asin A=bsin B B.bsin C=csin A

C.absin C=bcsin B D.asin C=csin A

答案 D

解析 由正弦定理sina A=sinb B=sinc C, 得 asin C=csin A.

2.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a= 2,b= 3,B=60°,

那么 A 等于( )

A.135° B.90° C.45° D.30°

答案 C

解析

由sina A=sinb B得 sin A=asibn B=

2× 3

3 2=

22,

∴A=45°或 135°.

又∵a<b,∴A<B,∴A=45°.

3.在锐角三角形 ABC 中,角 A,B 所对的边分别为 a,b,若 2asin B= 3b,则 A 等于( ) ππ
A.12 B. 6 ππ
C. 4 D. 3 答案 D

解析 在△ABC 中,利用正弦定理得

2sin Asin B= 3sin B,

又∵sin

B≠0,∴sin

A=

3 2.

π 又 A 为锐角,∴A= 3 .

4.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若sina A=cobs B=cocs C,则△ABC

是( )

A.等边三角形

B.直角三角形,且有一个角是 30°

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形,且有一个角是 30°

答案 C

解析 由题 acos B=bsin A,

又由正弦定理 asin B=bsin A,

∴sin B=cos B,

又∵B∈(0°,180°),∴B=45°.

同理 C=45°.故△ABC 为等腰直角三角形.

5.在△ABC 中,∠A=23π ,a= 3c,则bc=________. 答案 1

解析

由sina A=sinc C得

sin

C=csian

A=

1× 3

23=12,

π



π 0<C< 3 ,所以

C=π6 ,B=π-(A+C)=π6 .所以bc=ssiinn

CB=sinπ6 =1.

sin 6

6.在△ABC 中,若 b=5,B=π4 ,tan A=2,则 sin A=______,a=________.

答案

25 5

2 10

解析 由 tan A=2,得 sin A=2cos A,

由 sin2A+cos2A=1,得 sin A=2 5 5, ∵b=5,B=π4 ,由正弦定理sina A=sinb B,

得 a=bssiinnBA=2

5=2 2

10.

2

1.正弦定理的表示形式:sina A=sinb B=sinc C=2R,或 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C(k>0). 2.正弦定理的应用:①已知两角和任一边,求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对 角,求另一边和两角.

3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化:一方面可以化边为角,转化为三角 函数问题来解决;另一方面,也可以化角为边,转化为代数问题来解决.
风,没有衣裳;时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切。 运动太多和太少,同样的损 伤体力;饮食过多与过少,同样的损伤健康;唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康。 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路 岁月极美,在于它必然的流逝。 春花、秋月、夏日、冬雪。 你必汗流满面才得糊口,直到你归了土;因为你是从土而出的。你本是尘土,仍要归于尘土。 我始终相信,开始在内心生活得更严肃的人,也会在外表上开始生活 得更朴素。在一个奢华浪费的年代,我希望能向世界表明,人类真正需要的的东西是非常之微少的。世界上的事情,最忌讳的就是个十全十美,你看那天上的月亮,一旦圆满了,马上就要亏厌; 树上的果子,一旦熟透了,马上就要坠落。凡事总要稍留欠缺,才能持恒。 只有经历过地狱般的磨砺,才能练就创造天堂的力量;只有流过血的手指,才能弹出世间的绝响。时光只顾催人老, 不解多情,长恨离亭,滴泪春衫酒易醒。梧桐昨夜西风急,淡月朦胧,好梦频惊,何处高楼雁一声? 如果你长时间盯着深渊,深渊也会盯着你。 所有的结局都已写好 所有的泪水也都已启程 却 忽然忘了是怎么样的一个开始 在那个古老的不再回来的夏日 无论我如何地去追索 年轻的你只如云影掠过 而你微笑的面容极浅极淡 逐渐隐没在日落后的群岚 遂翻开那发黄的扉页 命运将它 装订得极为拙劣 含着泪 我一读再读 却不得不承认青春是一本太仓促的书 记忆是无花的蔷薇,永远不会败落。 我也要求你读书用功,不是因为我要你跟别人比成就,而是因为,我希望你将来 会拥有选择的权利,选择有意义,有时间的工作,而不是被迫谋生。 尽管心很累 很疲倦 我却没有理由后退 或滞留在过去与未来之间 三千年读史,不外功名利禄;九万里悟道,终归诗酒田园。 这是一个最好的时代,这是一个最坏的时代这是一个智慧的年代,这是一个愚蠢的年代;这是一个光明的季节,这是一个黑暗的季节; 这是希望之春,这是失望之冬;人们面前应有尽有,人们面前一无所有;人们正踏上天堂之路,人们正走向地狱之门。 我有所感事,结在深深肠。 你一定要“离开”才能开展你自己。所谓父 母,就是那不断对着背影既欣喜又悲伤,想追回拥抱又不敢声张的人。 心之所向 素履以往 生如逆旅 一个人的行走范围,就是他的世界。因为爱过,所以慈悲;因为懂得,所以宽容。 刻意去 找的东西,往往是找不到的。天下万物的来和去,都有他的时间。 与善人居,如入芝兰之室,久而自芳也;与恶人居,如入鲍鱼之肆,久而自臭也。 曾经沧海难为水,除却巫山不是云。 回首 向来萧瑟处,归去,也无风雨也无晴。 半生闯荡,带来家业丰厚,儿孙满堂,行走一生的脚步,起点,终点,归根到底,都是家所在的地方,这是中国人秉持千年的信仰,朴素,但有力量。风 吹不倒有根的树我能承受多少磨难,就可以问老天要多少人生。心,若没有栖息的地方,到哪里都是流浪...如果有来生,要做一只鸟,飞越永恒,没有迷途的苦恼。东方有火红的希望,南方有 温暖的巢床,向西逐退残阳,向北唤醒芬芳。如果有来生,希望每次相遇,都能化为永恒。不乱于心,不困于情。不畏将来,不念过往。如此,安好。 笑,全世界便与你同声笑,哭,你便独自 哭。 一辈子,不说后悔,不诉离伤。上帝作证,我是真的想忘记,但上帝也知道,我是真的忘不了 如果其中一半是百分百的话那就不是选择了而是正确答案了,一半一半,选哪一半都很困难, 所以这才是选择。跟着你,在哪里,做什么,都好。眠。我倾尽一生,囚你无期。择一人深爱,等一人终老。痴一人情深,留一世繁华。断一根琴弦,歌一曲离别。我背弃一切,共度朝夕。 人 总是在接近幸福时倍感幸福,在幸福进行时却患得患失。路过的已经路过,留下的且当珍惜 我相信,真正在乎我的人是不会被别人抢走的,无论是友情,还是爱情。我还是相信,星星会说话, 石头会开花,穿过夏天的木栅栏和冬天的风雪之后,你终会抵达! 每一个不曾起舞的日子,都是对生命的辜负。 每个清晨都像一记响亮的耳光,提醒我,若不学会遗忘,就背负绝望。 那一年 夏天的雨,像天上的星星一样多,给我美丽的晴空,我们都有小小的伤口,把年轻的爱缝缝又补补,我会一直站在你左右,陪你到最后的最后。 如果一开始就知道是这样的结局,我不知道自己是不是会 那样的奋不顾身。 黄昏是一天最美丽的时刻,愿每一颗流浪的心,在一盏灯光下,得到永远的归宿。 因为有了因为,所以有了所以。既然已成既然,何必再说何必。想念是人最无奈的时候唯 一能做的事情。你受的苦,会照亮你的路。 我希望有个如你一般的人。 如这山间清晨一般明亮清爽的人,如奔赴古城道路上阳光一般的人,温暖而不炙热,覆盖我所有肌肤。由起点到夜晚,由山野到书房,一切问题的答案都很简单。我希望有个如你一般的人,贯 彻未来,数遍生命的公路牌。 岁月极美,在于它必然的流逝。春花、秋月、夏日、冬雪说并用程这为再年余生,风雪是你,成多每内淡是你,清贫是你,荣华是你,心底温柔是你,并用光所内 为界,也是你。个人的遭遇,命运的多舛都使我被迫成熟,这一切的代价都当是日后活下去的力量。送你的白色沙漏,是一个关于成长的礼物,如果能给你爱和感动,我是多么的幸福,我有过很多的 朋友,没有谁像你一样的温柔,每当你牵起我的手,我就忘掉什么是忧愁。很多故事不就是因为没有结局才有了继续等下去的理由。 有些人,有些事,是不是你想忘记,就真的能忘记?也许有那么一个 时侯,你忽然会觉得很绝望,觉得全世界都背弃了你,活着就是承担屈辱和痛苦。这个时候你要对自己说,没关系,很多人都是这样长大的。风平浪静的人生是中年以后的追求。当你尚在年少, 你受的苦,吃的亏,担的责,扛的罪,忍的痛,到最后都会变成光,照亮你的路。 你要做一个不动声色的大人了。不准情绪化,不准偷偷想念,不准回头看。去过自己另外的生活。你要听话, 不是所有的鱼都会生活在同一片海里。有人说,鲁迅是杂文,胡适是评论;鲁迅是酒,胡适是水。酒让人看到真性情,也看到癫狂,唯有水,才是日常所需,是真生活。有时候会很自豪地觉得, 我唯一的优势就是,比你卑微。于是自由。再也读不到传世的檄文,只剩下廊柱上龙飞凤舞的楹联。再也找不见慷慨的遗恨,只剩下几座既可凭吊也可休息的亭台。再也不去期待历史的震颤, 只有凛然安坐着的万古湖山。 呼兰河这小城里边,以前住着我的祖父,现在埋着我的祖父。 诗意上来时,文字不要破坏它。 水,看似柔顺无骨,却能变得气势滚滚,波涌浪叠,无比强大;看 似无色无味,却能挥洒出茫茫绿野,累累硕果,万紫千红;看似自处低下,却能蒸腾九霄,为云为雨,为虹为霞…… 一切达观,都是对悲苦的省略 我们孩还发多夫道知道了,就得看不我们后 心回的”家“,不是起用看把一个有邮递区号、邮差找得到的家,后心天能们后心回的”家“,不是空于而,风每都到小是一段时光。 它们能够躲过所有凝视的目光,却躲不过那些出其不意投 来的目光。 中国人对待自然环境与外国人截然不同,外国人注意到的是人如何改变土地,而中国人关注的是土地怎样改变了人。、堂皇转眼凋零,喧腾是短命的别名。在流光溢彩的日子里,生命被铸上妖冶 的印记。托尔斯泰说:“忧来无方,窗外下雨,坐沙发,吃巧克力,读狄更斯,心情又会好起来,和世界妥协。” 成熟是一种明亮而不刺眼的光辉,一种圆润而不腻耳的声响,一种不再需要对别 人察言观色的从容,一种终于停止向周围申诉求告的大气,一种不理会喧闹的微笑,一种洗刷了偏激的淡漠,一种无需声张的厚实,一种能够看的很远却并不陡峭的高度。我不要天堂,我只要

底线。因为没有底线,就没有自由。 宠辱不惊,看庭前花开花落;去留无意,望天上云卷云舒。 如果你想知道周围有多么黑暗,你就得留意远处的微弱光线。如果我没有刀,我就不能保护你。如果我有刀,我就不能拥抱你。“今 天比昨天慈悲,今天比昨天智慧,今天比昨天快乐。这就是成功。” 没有悲剧就没有悲壮,没有悲壮就没有崇高 我们都在阴沟里,但仍有人仰望星空。 没有人性的觉醒,权力与财富只使人更 粗鄙堕落。 满地都是六便士,他却抬头看见了月亮。走出酒吧的那一刹,我被遽然刺来的阳光下了一跳。闭上眼,我想起了我的收音机。它已经很旧很老,退役多年了。


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