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高中数学计数原理试题

十二、《计数原理》变式题(命题人:广州市第三中学 刘窗洲)

审校人 张志红

1.(人教 A 版选修 2-3 第 22 页例 4)

用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

变式 1: 由 1,4,5,x 可组成没有重复数字的四位数,若所有这些四位数的各位数字之和

为 288,则 x=



【解析】:(1+4+5+x) A44 =288,解得 10+x=12.

【答案】:x=2.

变式 2:在由数字 1,2,3,4,5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于

43521 的数共有 ( )

(A)56 个

(B)57 个

(C)58 个

(D)60 个

【解答】解法一:(直接法)

当首位排 2,次位排 3 时,有 A 3 -1 种;次位排 4、5 时有 2 A 3 种,共计 17 种;

3

3

当首位排 3,A 4 种,共计 24 种; 4

当首位排 4,次位排 3 时,有 A 3 -1 种;次位排 1、2 时有 2 A 3 种,共计 17 种;

3

3

以上总计 17+24+17=58 种。

解法二:(间接法)

不作限定时有 A55 =120 种;
当首位排 1 或 5 时,各有 A 4 种,共计 48 种不满足要求; 4
当首位排 2,次位排 1 时,有 A 3 种;而次位排 3 时有 1 种,共计 7 种不满足要求; 3
当首位排 4,次位排 5 时,有 A 3 种;而次位排 3 时有 1 种,共计 7 种不满足要求; 3
因此共有 120-48-7-7=58 种排法,即 58 个数. 变式 3:给定数字 0、1、2、3、5、9 每个数字最多用一次
(1)可能组成多少个四位数? (2)可能组成多少个四位奇数? (3)可能组成多少个四位偶数? (4)可能组成多少个自然数? 【分析】:注意 0 不能放在首位,还要注意个位数字,方法多种多样,利用特殊优先法,即 特殊的元素,特殊的位置优先考虑.

【解答】(1)解法一:从“位置”考虑,由于 0 不能放在首位,因此首位数字只能有 A51 种
取法,其余 3 个数位可以从余下的 5 个数字(包括 0)中任取 3 个排列,所以可以组成
A51 A53 ? 300 个四位数; 解法二:从“元素”考虑,组成的四位数可以按有无数字 0 分成两类,有数字 0 的有 A31 A53 个,无数字 0 的有 A54 个,所以共组成 A31 A53 + A54 =300 个四位数;
解法三:“排除法”从 6 个元素中取 4 个元素的所有排列中,减去 0 在首位上的排列数即为
所求,所以共有 A64 ? A11 A53 ? 300 个四位数; (2)从“位置”考虑,个位数字必须是奇数有 A41 种排法,由于 0 不能放在首位,因此首位 数字只能有 A41 种取法,其余两个数位的排法有 A42 ,所以共有 A41 A41 A42 ? 192 个四位奇数;
(3)解法一:由(1)(2)知共有 300-192=108 个四位偶数;
解法二:从“位置”考虑,按个位数字是否为 0 分成两种情况,0 在个位时,有 A11 A53 个四 位偶数;2 在个位时,有 A11 A41 A42 个四位偶数,所以共有 A11 A53 + A11 A41 A42 =108 个四位偶数; (4)一位数:有 A61 =6 个; 两位数:有 A51 A51 =25 个; 三位数:有 A51 A52 =100 个; 四位数:有 A51 A53 =300 个; 五位数:有 A51 A54 =600 个; 六位数:有 A51 A55 =600 个;
所以共有 6+25+100+300+600+600=1631 个自然数. 【点评】解有条件限制的排列问题思路:①正确选择原理;②处理好特殊元素和特殊位置, 先让特殊元素占位,或特殊位置选元素;③再考虑其余元素或其余位置;④数字的排列问题, 0 不能排在首位. 2.(人教 A 版选修 2-3 第 29 页例 4) 在 100 件产品中,有 98 件合格品,2 件次品,从这 100 件产品中任意抽出 3 件。 (1)有多少种不同的抽法 ?

(2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种 ? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种 ? 变式 1:某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次
出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法? 【分析】:分类讨论,由于情况太多,要做到不重不漏. 【解答】出牌的方法可分为以下几类:

(1)5 张牌全部分开出,有 A55 种方法;

(2)2 张 2 一起出,3 张 A 一起出,有 A52 种方法;

(3)2 张 2 一起出,3 张 A 分开出,有 A54 种方法;

(4)2



2

一起出,3



A

分两次出,有

C

2 3

A53

种方法;

(5)2 张 2 分开出,3 张 A 一起出,有 A53 种方法;

(6)2 张 2 分开出,3 张 A 分两次出,有 C32 A54 种方法;

因此,共有不同的出牌方法 A55 ? A52 ? A54 ? C32 A53 ? A53 ? C32 A54 ? 860 种.

【点评】分类讨论一直是高中的难点,但更是高考的热点内容之一,所以同学们不能回避,

应加强训练.

变式 2:将 7 个小球任意放入四个不同的盒子中,每个盒子都不空,

(1)若 7 个小球相同,共有多少种不同的放法?

(2)若 7 个小球互不相同,共有多少种不同的放法?

【解析】:(1)解法 1:∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2,

∴分三类,共有分法

C

1 4

?

A42

?

C

1 4

?

20(种).

解法 2(隔板法):将 7 个小球排成一排,插入 3 块隔板,

故共有分法

C

3 6

?

20(种).

(2)∵7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2,

∴共有分法 C74 A44 ? C72C53 A42C21C11 ? C72C52C32C11 ? 6510 .

变式 3:一个口袋内有 4 个不同的红球,6 个不同的白球, (1)从中任取 4 个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种? (2)若取一个红球记 2 分,取一个白球记 1 分,从中任取 5 个球,使总分不少于 7 分的

取法有多少种?

【解析】:(1)将取出

4

个球分成三类情况

1)取

4

个红球,没有白球,有

C

4 4



2)取 3

个红球

1

个白球,有

C

3 4

C

1 6

种;3)取

2

个红球

2

个白球,有

C

2 4

C62

,

3.(人教 A 版选修 2-3 第 36 页例 2)

(1)求 (1? 2x)7 的展开式的第 4 项的系数 ;

(2)求 (x ? 1 )9 的展开式中 x3 的系数 ? x

变式 1:在二项式 ??? 3 ?

x

?

1 23 x

???n 的展开式中,前三项系数的绝对值成等差数列. ?

(1)求展开式的第四项;

(2)求展开式的常数项;

(3)求展开式的各项系数的和.

【分析】:本题旨在训练二项式定理通项公式的运用.

【解答】第一项系数的绝对值为

C

0 n

,第二项系数的绝对值为 Cn1 2

,第三项系数的绝对值为

C

2 n



4

依题意有

C

0 n

+

C

2 n

4

=

Cn1 2

? 2 ,解得

n=8,

? ? (1)第四项T4

? C83 ???? ?

5
1? 23 x ???

3

x

3

?

?

7

?2
x3

4



? ? ? ? (2)通项公式为Tr?1

?

C8r

????

?

1 23

x

?8?r ?? ?

3

x

r

?

C8r

?? ? ?

1 2

?8?r ? ?

3

x

2r?8 ,展开式的常数项有

2r-8=0,即 r=4,

常数项为 T5

?

C84

?? ?

?

1 ?4 ?
2?

?

35 ; 8

(3)令 x=1,得展开式的各项系数的和 ??1 ? 1 ??8 ? 2?

?

1 28

?

1. 256

【点评】本题旨在训练二项式定理通项公式的运用,但要注意通项为 Tr?1 而不是 Tr ,这是

同学们最容易出错的地方.

变式 2:设 ?3x ?1?4 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3x3 ? a4 x4 .

(1)求 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ;

(2)求 a0 ? a2 ? a4 ;

(3)求 a1 ? a3 ;

(4)求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ;
(5)求各项二项式系数的和. 【分析】:本题旨在训练二项展开式各项的系数与二项式系数.

【解答】(1)令 x=1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?3 ?1?4 ? 16 ; (2)令 x=-1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? 3 ?1?4 ? 256, 而由(1)知: a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?3 ?1?4 ? 16 ,

两式相加得 a0 ? a2 ? a4 ? 136 ;

(3)将(2)中的两式相减得 a1 ? a3 ? ?120 ;









x=0



a0 ? ?0 ?1?4 ? 1





a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 - a0 =16-1=15;

(5)各项二项式系数的和为 C40

? C41

?

C

2 4

? C43

? C44

?

24

? 16 .

【点评】①要注意二项展开式各项的系数与二项式系数是不同的两个概念;②系数和与二项

式系数和不一定相同,本题的(1)与(5)结果相同纯属巧合;③注意求系数和上述是最一

般的方法,一定要理解.

15

变式 3:二项展开式 ????

x

?

1 3x

????

中,有理项的项数是(



(A) 3

(B) 4

(C) 5

(D) 6

? ? 【解析】:Tr?1 ? C1r5

x

15?r

?

????

3

1 x

????

r

45?5r
? C1r5 ? x 6 (r = 0,1,2,…,14

),

当 r = 3,9,15 时,为有理项.

【答案】:A

? ? 变式 4: 若 2 ? 3x 100 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? ? ? a100 x100 ,

求 ?a0 ? a2 ? a4 ??? a100 ?2 ? ?a1 ? a3 ? a5 ??? a99 ?2 的值.

? ? ? ? 【解析】:令 x=1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? a100 ? 2 ? 3 100 ,

? ? ? ? 令 x=-1 得 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?? a99 ? a100 ? 2 ?

100
3

? ?? ? = a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a100 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a99 ? a100

? ? ? ? 100

100

= 2? 3 2? 3

=1 【答案】:1


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