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河北省衡水中学2012届高三第一次模拟考试(数学文)


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2011— 2011—2012 学年度下学期第一次模拟考试 高三数学(文科) 高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 共 120 分钟 选择题(每小题5 60分 下列每小题所给选项只有一项符合题意, 一、 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将 正确答案的序号填涂在答题卡上) 正确答案的序号填涂在答题卡上) 2 1、 设集合U = {1,2,3,4} , M = {x | x ? 5 x + p = 0} , CU M = {2,3} , 若 则实数 p 的值为 ( )
A. ? 6 B. ? 4 C. 4 D. 6 ) D.2

,则 a + b 的值为( 2、已知复数 a + bi = i (1 ? i ) (其中 a , b ∈ R , i 是虚数单位) A. ?2 B. ?1
*

C.0

3、已知数列 {an } ,若点 (n, an )( n ∈ N ) 在经过点(5,3)的定直线 l 上,则数列 {an } 的前 9 项和 S9 =( A.9 ) B.10 C.18 D.27

4、某地为了调查职业满意度,决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体 的相关人员中抽取若干人组成调查小组,相关数据见下表: 相关人员数 公务员 教师 自由职业者 则调查小组的总人数为( A.84 C.81 35 a 28 ) B.12 D.14 ) B.44 D.46 抽取人数 b 3 4

5、某程序框图如右图所示,则输出的结果是( A.43 C.45 6、若 x =

π
6

是函数 f ( x ) =

3 sin ω x + cos ω x 图象的一条对称轴,
) B. f ( x ) 在 ( ?
-1-

当 ω 取最小正数时( A. f ( x ) 在 (0,

π
6

) 单调递增

π

, ? ) 单调递减 3 6

π

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C. f ( x ) 在 ( ? 7、函数 y =

π

6 ln x

, 0) 单调递减
的图象大致是(

D. f ( x ) 在 (

π π

, ) 单调递增 6 3

)

x

8、已知函数 f ( x) = log 2 x 与函数 g ( x ) 的图像关于 y = x 对称且有 g ( a ) g (b) = 16 ,若

4 1 a > 0, b > 0 ,则 + 的最小值为( a b 9 A.9 B. 4
9、已知点 P 是双曲线



C.4

D.5

x2 y2 ? = 1, (a > 0, b > 0) 右支上一点, F1 , F2 分别是双曲线的左、右 a2 b2

焦点,I 为 ?PF1 F2 的内心,若 为( A.4 ) B.

S ?IPF1 = S ?IPF2 +

1 S ?IF1F2 成立,则双曲线的离心率 2
5 3

5 2

C.2

D.

10、一个球与正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为 棱柱的体积是( A. 96 3 ) B. 16 3 C. 24 3 D. 48 3

32 π ,那么该三 3

uuu uuu r r
11、如下图,给定两个平面向量 OA和OB ,它们的夹角为 120° ,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上,且 OC = xOA + yOB (其中 x, y ∈ R ) ,则满足 x + y ≥ A. 2 ? 1 B.

uuur

uuu r

uuu r

2 的概率为(



π
C. D.

π

3 4

3 ?log 1 ( x + 1), x ∈ [0,1) ? 2 12、 定义在 R 上的奇函数 f ( x ) , x ≥ 0 时, f ( x ) = ? 当 ? ?1? | x ? 3 |, x ∈ [1, +∞)
的函数 F ( x) = f ( x ) ? a (0 < a < 1) 的所有零点之和为( )

4

, 则关于 x

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A. 2 ? 1
a

B. 1 ? 2

a

C. 2

?a

?1

D.1 ? 2

?a

第Ⅱ卷 非选择题 (共 90 分) 个小题, 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 填空题(
1 1 1 + + ??? + a a2 an ( n ∈ N? ) , 13、已知正数数列 {an } ( n ∈ N ? )定义其“调和均数倒数” Vn = 1 n

那么当 Vn =

n +1 时, a 2012 =_______________. 2

?x ≥ 1 ? 14、若变量 x, y 满足约束条件 ? y ≥ x ,则 w = log 3 (2 x + y ) 的最大值是________ ? ?3 x + 2 y ≤ 15
15、一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧视图都是半径为 1的圆,且这个几 何体是球体的一部分,则这个几何体的表面积为 .

16、以下正确命题的序号为__________ ①命题“存在 x0 ∈ R , 2
1
x0 x “不存在 x0 ∈ R , 2 0 > 0 ” ; ≤ 0 ”的否定是:

②函数 f ( x ) = x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内;
x

1 4

1 1 4 3

③若函数 f ( x ) 满足 f (1) = 1 且 f ( x + 1) = 2 f ( x ) ,则 f (1) + f (2) + … + f (10) =1023; ④函数 f ( x ) = e ? x ? e x

切线斜率的最大值是 2.

三.解答题 17、 (满分 12 分)阅读下面材料: 根据两角和与差的正弦公式,有

sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ------① sin(α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ------②
由①+② 得 sin (α + β ) + sin (α ? β ) = 2sin α cos β ------③
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令 α + β = A, α ? β = B 有 α =

A+ B A? B ,β = 2 2 A+ B A? B cos . 代入③得 sin A + sin B = 2 sin 2 2 A+ B A? B sin ; 2 2

(Ⅰ) 类比上述推理方法,根据两角和与差的余弦公式,证明:

cos A ? cos B = ?2 sin

(Ⅱ)若 ?ABC 的三个内角 A, B, C 满足 cos 2 A ? cos 2 B = 1 ? cos 2C ,试判断 ?ABC 的 形状. (提示:如果需要,也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

P

18、 (满分 12 分)在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°, ∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中
E

点,PA=2AB=2. (Ⅰ)求四棱锥 P-ABCD 的体积 V;
A F D

(Ⅱ)若 F 为 PC 的中点,求证 PC⊥平面 AEF;
B C

19、 (满分 12 分)某大学为调查来自南方和北方的同龄大学生的身高差异,从 2011 级的年龄 在 18?19 岁之间的大学生中随机抽取了来自南方和北方的大学生各 10 名,测量他们的身高, 量出的身高如下: (单位:cm) 南方:158,170,166,169,180,175,171,176,162,163; 北方:183,173,169,163,179,171,157,175,178,166; (Ⅰ)根据抽测结果,画出茎叶图,并根据你画的茎叶图,对来自南方和北方的大学生的 身高作比较,写出两个统计结论; (Ⅱ)若将样本频率视为总体的概率,现从来自南方的身高不低于 170 的大学生中随机抽 取 3 名同学,求其中恰有两名同学的身高低于 175 的概率。

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20、 (满分 12 分)已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

3 1 x2 y 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 e = ,且过点 ( 3, ) . 2 a b 2 2

(Ⅱ)垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点,若以 AB 为直径的圆 D 经过坐标原 点.证明:圆 D 的半径为定值.

21、 (满分 12 分)已知函数 f(x)=ax+lnx,其中 a 为常数,设 e 为自然对数的底数. (Ⅰ) 当 a=-1 时,求 f(x)的最大值; (Ⅱ) 若 f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求 a 的值; (Ⅲ) 当 a=-1 时,试推断方程 f ( x) =

ln x 1 + 是否有实数解. x 2

选做题(本题满分 10 分,请考生在第 22、23、24 三题中任选择一题作答,如果多做,则按 所做的第一题记分) 22、选修 4-1:几何证明选讲 如图,

O1与

O2 相交于 A、B 两点,AB 是 O2 的直径,过 A 点作 O1 的切线交 O2 于点 O1 、 O2 交于 C,D 两点。

E,并与 BO1 的延长线交于点 P,PB 分别与 求证:(Ⅰ)PA·PD=PE·PC; (Ⅱ)AD=AE。

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23、选修 4—4:坐标系与参数方程 在极坐标系中,曲线 L : ρ sin θ = 2 cos θ ,过点 A(5,α) (α 为锐角且 tan α =
2

行于 θ =

π
4

3 )作平 4

( ρ ∈ R ) 的直线 l ,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点。

(Ⅰ)以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平面直角坐标系, 写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)求|BC|的长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 2 x + 1| ? | x ? 1|≤ log 2 a (其中 a > 0 ) 。 (Ⅰ)当 a=4 时,求不等式的解集; (Ⅱ)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

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第一次模拟考试文科数学答案: CDDAC 13、 CABCB BB 14、2 15. 4 π 16、②③

1 2012

17、 17、解法一:(Ⅰ)证明:因为 cos(α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ,------①

cos(α ? β ) = cos α cos β + sin α sin β ,------②……………………………1 分
①-② 得 cos(α + β ) ? cos(α ? β ) = ?2sin α sin β .------③………………………2 分

A+ B A? B ,β = , 2 2 A+ B A? B 代入③得 cos A ? cos B = ?2 sin sin .……………………………………… 2 2
令 α + β = A, α ? β = B 有 α = 5分 (Ⅱ)由二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B = 1 ? cos 2C 可化为

1 ? 2sin 2 A ? 1 + 2sin 2 B = 1 ? 1 + 2 sin 2 C ,…………………………………………8 分
所以 sin A + sin C = sin B .……………………………………………9 分
2 2 2

设 ?ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c , 由正弦定理可得 a + c = b .…………………………………………11 分
2 2 2

根据勾股定理的逆定理知 ?ABC 为直角三角形.……………………………………12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, cos 2 A ? cos 2 B = 1 ? cos 2C 可化为

?2sin ( A + B ) sin ( A ? B ) = 1 ? 1 + 2sin 2 C ,……………………………………………8 分
因为 A,B,C 为 ?ABC 的内角,所以 A + B + C = π , 所以 ? sin ( A + B ) sin ( A ? B ) = sin
2

( A + B) .

又因为 0 < A + B < π ,所以 sin ( A + B ) ≠ 0 , 所以 sin ( A + B ) + sin ( A ? B ) = 0 . 从而 2sin A cos B = 0 .……………………………………………9 分 又 sin A ≠ 0 ,所以 cos B = 0 ,故 ∠B =

π
2

.………………………………………11 分

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所以 ?ABC 为直角三角形. ……………………………………………12 分 18、 (Ⅰ)在 Rt△ABC 中,AB=1, ∠BAC=60°,∴BC= 3 ,AC=2. 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠CAD=60°, ∴CD=2 3 ,AD=4. 1 1 ∴SABCD= AB ? BC + AC ? CD 2 2 1 1 5 3 .……………… 3 分 = ×1× 3 + × 2 × 2 3 = 2 2 2 1 5 5 ……………… 5 分 则 V= × 3×2 = 3. 3 2 3 (Ⅱ)∵PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴AF⊥PC. ……………… 7 分 ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD,PA∩AC=A, ∴CD⊥平面 PAC.∴CD⊥PC. ∵E 为 PD 中点,F 为 PC 中点, ∴EF∥CD.则 EF⊥PC. ……… 11 分 ∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面 AEF.…… 12 分 19、解:(1)茎叶图如下: 南方 北方

P

E F A M B C D

3 0 18 1 3 5 8 9 6 5 1 0 17 3分 9 6 3 2 16 3 6 9 7 8 15 统计结论: (给出下列四个供参考,考生只要答对其中两个即给满分,给出其他合进的答 案也给分) 1 北方大学生的平均身高大于南方大学生的平均身高; 2南方大学生的身高比北方大学的身高更整齐; 3南方大学生的身高的中位数为 169.5cm,北方大学生的身高的中位数为 172cm; 4南方大 学生的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,北方大学生的高度分布较为分散. 6分 (2) 南方大学生身高不低于 170 的有 170, 180,175,171,176,从中抽取 3 个相当于从中抽 取 2 个,共有 10 种抽法,低于 175 的只有 2 个,所以共有 3 种,概率为

3 10
……………2 分

20、解:(Ⅰ)Q

c 3 3 1 = ,∴ c 2 = a 2 , 又 Q b 2 = a 2 ? c 2 ,∴ b 2 = a 2 a 2 4 4

x2 y2 1? ? + = 1, 代点? 3, ?得a 2 = 4 2 1 2 2? a ? a 4 x2 ∴ b 2 = 1, 所以椭圆的标准方程为 + y 2 = 1 4 ∴ 方程为
(Ⅱ)证明:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )

…………………………5 分

(1)当AB的斜率不存在时, 则由椭圆的对称性知x1 = x2 , y1 = ? y 2
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Q以AB为直径的圆经过原点, OA ? OB = 0, 即x1 x 2 + y1 y 2 = 0 ∴
∴ x12 ? y12 = 0代入椭圆标准方程中得 x1 = 2 5 5 2 5 , 5

此时 0 到 AB 的距离为

……………………………………9 分

(2)当AB的斜率为零时, 则由椭圆的对称性知x1 = ? x 2 , y1 = y 2
同理可求得 y1 =

2 5 5 2 5 5

综上所述,圆 D 的半径为定值

………………………………12 分

21、 【答案】解:(1) 当 a=-1 时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+

1 1? x = x x

当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数 f ( x) max =f(1)=-1………………………3 分 (2) ∵f′(x)=a+

1 1 ?1 ? ,x∈(0,e] , ∈ ? , +∞ ? x x ?e ? 1 ① 若 a≥ ? ,则 f′(x)≥0,从而 f(x)在(0,e]上增函数 e ∴ f ( x ) max =f(e)=ae+1≥0.不合题意…………………………………4 分 1 1 1 ② 若 a< ? ,则由 f′(x)>0 ? a + >0,即 0<x< ? e x a 1 1 由 f(x)<0 ? a + <0,即 ? <x≤e. x a 1? ? ? 1 ? 从而 f(x)在 ? 0, ? ? 上增函数,在 ? ? , e ? 为减函数 a? ? ? a ? ? 1? ? 1? ∴ f ( x ) max =f ? ? ? =-1+ln ? ? ? ………………………………………6 分 ? a? ? a? ? 1? ? 1? 令-1+ln ? ? ? =-3,则 ln ? ? ? =-2 ? a? ? a? 1 1 ∴ ? = e ?2 ,即 a= ?e ?2 . ∵ ?e ?2 < ? ,∴a= ? e 2 为所求……………7 分 a e (3) 由(Ⅰ)知当 a=-1 时 f ( x ) max =f(1)=-1,
∴|f(x)|≥1……………………………………………………………9 分 又令 g(x)=

ln x 1 1 ? ln x ,令 g′(x)=0,得 x=e, + ,g′(x)= x 2 x2

当 0<x<e 时,g′(x)>0,g(x) 在(0,e)单调递增; 当 x>e 时,g′(x)<0,g(x) 在(e,+∞)单调递减
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∴ g ( x) max =g(e)=

1 1 + <1, ∴g(x)<1 ……………………………10 分 e 2 ln x 1 ∴|f(x)|>g(x),即|f(x)|> + x 2 ln x 1 ∴方程|f(x)|= + 没有实数解.…………………………………12 分 x 2
① (2

22、 【答案】 (Ⅰ)Q PE、PB 分别是⊙ O2 的割线∴ PA ? PE = PD ? PB 分) 又Q PA、PB 分别是⊙ O1 的切线和割线∴ PA = PC ? PB
2



(4 分) (5 分)

由①,②得 PA ? PD = PE ? PC
E A O2

F
P C D O1 B

(Ⅱ)连结 AC 、 ED 设 DE 与 AB 相交于点 F ∵ BC 是⊙ O1 的直径 ∴ ∠CAB = 90° ∴ AC 是⊙ O2 的切线. (6 分) 由(Ⅰ)知

PA PC ,∴ AC ∥ ED ∴ AB ⊥ DE , ∠CAD = ∠ADE = PE PD

(8 分)

又∵ AC 是⊙ O2 的切线,∴ ∠CAD = ∠AED 又 ∠CAD = ∠ADE ,∴ ∠AED = ∠ADE ∴ AD = AE 23、 (Ⅰ)由题意得,点 A 的直角坐标为 (4,3) 曲线 L 的普通方程为: y 2 = 2 x 直线 l 的普通方程为: y = x ? 1 (Ⅱ)设 B( x1 , y1 )C( x 2 , y 2 )

(10 分)

(1 分)

(3 分)

(5 分)

? y 2 = 2x 2 联立得 x ? 4 x + 1 = 0 ? ?y = x ?1

- 10 -

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由韦达定理得 x1 + x 2 = 4 , x1 ? x 2 = 1 由弦长公式得 BC = 1 + k
2

(7 分)

x1 ? x 2 = 2 6

(10 分)

【解析】略 24、 (Ⅰ)当 a = 4 时, f ( x) ≤ 2 ,

1 1 x < ? 时, ? x ? 2 ≤ 2 ,得 ? 4 ≤ x < ? 2 2 1 1 2 ? ≤ x ≤ 1 时, 3 x ≤ 2 ,得 ? ≤ x ≤ 2 2 3 x > 1 时, x ≤ 0 ,此时 x 不存在
∴不等式的解集为 ? x ? 4 ≤ x ≤

(1 分)

(2 分) (3 分)

? ?

2? ? 3?
x<? ? 1 2

(5 分)

? ?? x ? 2, ? ? (Ⅱ)∵设 f (x) = 2 x + 1 ? x ? 1 = ?3 x, ? ? x + 2, ? ?
故 f (x ) ∈ ??

1 ≤ x ≤1 2 x >1

3 ? 3 ? ,+∞ ? ,即 f (x) 的最小值为 ? 2 ? 2 ?

- 11 -


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