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高中数学必修2知识点总结第四章-圆与方程名师优质资料

第四章 圆与方程 知识点与习题 1. 圆的半径。 ★1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点为圆心,定长为 设 M(x,y)为⊙A 上任意一点,则圆的集合可以写作:P = {M | |MA| = r } ★2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆心 2 2 ?a, b ? ,半径为 r ; 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外; 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内; (2)一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 2 2 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 (x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 ( D ? E ? 4F ? 0 ) 2 2 1 2 2 D E? 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? ? ,? ? ,半径为 r ? ? 2 2? 2 D 2 ? E 2 ? 4F 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,表示一个点; 2 2 2 2 当 D ? E ? 4 F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆的方程的方法: 待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 直接法:直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过圆心,以此来确定圆心的位置。 ★3、直线与圆的位置关系: (1 ) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 , 圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 , 圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? Aa ? Bb ? C , A2 ? B 2 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: 则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 (2)过圆外一点的切线:设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解 k, ①若求得两个不同的解,带入所设切线的方程即可; ②若求得两个相同的解,带入切线方程,得到一条切线;接下来验证过该点的斜率不存在的直线(此 时,该直线一定为另一条切线) (3) 过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 : 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 上 一 点 为 (x0 , y0) , 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为 2 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 两圆的位置关系 外离 外切 相交 判断条件 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 公切线 条数 4条 3条 2条 内切 内含 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 1条 0条 ★4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆 C1 : x ? a1 ? y ? b1 ? r , C2 : ?x ? a2 ? ? ? y ? b2 ? ? R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差的绝对值) ,与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 (即几何法) 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 ★5、.圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆 C1 的方程与圆 C2 的方程得到一个二元一次方程 ① 若两圆相交,则该二元一次方程表示:圆 C1 与圆 C2 公共弦所在的直线方程; ② 若两圆相切,则该二元一次方程表示:圆 C1 与圆 C2 的公切线的方程; ③ 若两圆外离,则该二元一次方程表示的直线具有一个性质:从直线上任意一点向两个圆引切线, 得到的切线长相等(反之,亦成立) 2 2 2 2 ? ?2 ? ?2 ★6、已知一直线与圆相交,求弦的长度 ①代数法:联立圆与直线的方程求出交点坐标,利用两点间的距离公式求弦长 ②几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理) ★7、已知两圆相交,求公共弦的长度 ①代数法:联立两圆的方程求出交点坐标;利用两点间的距离公式求弦长 ③几何法:半弦长、弦心距、半径构成直角三角形(勾股定理) ★8、圆系与圆系方程 (1) 圆系:具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系。 (2) 圆系方程: 圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (Ⅰ) ①若圆 C1 与圆 C2 交于 P1、P2 点,那么,方程(Ⅰ)代表过 P1、P2 两点的圆的方程。 ②若圆 C1 与圆 C2 交于 P 点(一个点) ,则方程(Ⅰ)代表过 P 点的圆的方程。 ★9、直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的“三部曲” : 第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论 ★10、空间直角坐标系 1、点 M 对应着唯一确定的有序实数组 ( x, y, z ) , x 、 y 、 z 分别是 P、Q、R 在 x 、 y 、 z 轴上的坐标 2、有序实数组 ( x, y, z ) ,对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点 M 的坐标都可以用有序实数组 ( x, y, z ) 来表示,该数组叫做点 M 在此空间直角坐标系中的坐标,记 M ( x, y, z ) , x 叫做点 M 的横坐标,

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