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高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)


高中数学讲义之解析几何

圆锥曲线第 1 讲
【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义: 平面内到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 2a (

椭圆

2a ? F1 F2

)的点的轨迹叫椭圆,这两

个定点叫做椭圆的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距。 注 1:在椭圆的定义中,必须强调:到两个定点的距离之和(记作 2a )大于这两个定点之 间的距离

F1 F2

(记作 2c ) ,否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下:

(ⅰ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是椭圆;
1F2 ; (ⅱ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹是线段 F

(ⅲ)当 2a ? 2c 时,点的轨迹不存在。 注 2 :若用 M 表示动点,则椭圆轨迹的几何描述法为

MF1 ? MF2 ? 2a

( 2a ? 2c ,

F1 F2 ? 2c

) ,即

MF1 ? MF2 ? F1 F2

.

注 3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题,通常可利用椭圆的第一定义求解,即隐含条 件:

MF1 ? MF2 ? 2a

千万不可忘记。

2. 椭圆的第二定义: 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹叫做 椭圆。

二、椭圆的标准方程

x2 y2 ? 2 ?1 2 b (1)焦点在 x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a (a ?b ?0) ; y2 x2 ? 2 ?1 2 b (2)焦点在 y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是 a ( a ? b ? 0 ).
1

高中数学讲义之解析几何

注 1:若题目已给出椭圆的标准方程,那其焦点究竟是在 x 轴还是在 y 轴,主要看长半轴跟 谁走。长半轴跟 x 走,椭圆的焦点在 x 轴;长半轴跟 y 走,椭圆的焦点在 y 轴。 (1)注 2:求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置,则可设

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? 2 ?1 2 2 b2 b 其方程为 a ( a ? b ? 0 )或 a (a ?b ?0 ) ;若题目未指明椭圆的焦
2 2 点究竟是在 x 轴上还是 y 轴上,则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mx ? ny ? 1

( m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n ).

三、椭圆的性质

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 以标准方程 a (a ?b ? 0) 为例, 其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
(1)范围: ? a ? x ? a , ?b ? y ? b ; (2)对称性:关于 x 轴、 y 轴轴对称,关于坐标原点中心对称;
1 (?a,0) , A2 (a,0) ;上下顶点分别为 B 1 (0, b) , B2 (0,?b) ; (3)顶点:左右顶点分别为 A

(4)长轴长为 2a ,短轴长为 2b ,焦距为 2c ; (5)长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 a ? b ? c ;
2 2 2

x??
(6)准线方程:

a2 c ;

b2 (7)焦准距: c ;

e?
(8)离心率:

c a 且 0 ? e ? 1 . e 越小,椭圆越圆; e 越大,椭圆越扁;

x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 为椭圆 a 2 b 2 (9)焦半径:若 在第一象限内一点,则由椭圆的第二定义,


PF1 ? a ? ex 0



PF2 ? a ? ex 0



2

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b2 (10)通径长: a . 2
注 1:椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦点 F2 (c,0) 和右

a2 a2 a2 ? c2 b2 x? ?c ? ? c 为例,可求得其焦准距为 c c c . 准线 l :
注 2:椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。 椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。 通径是椭圆的所有焦点弦中最

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 短的弦。设椭圆的方程为 a (a ?b ?0) ,过其焦点 F2 (c,0) 且垂直于 x 轴的直线 b2 b2 A( c , ) B ( c , ? ) a , a ,于是该 交该双曲线于 A 、 B 两点(不妨令点 A 在 x 轴的上方) ,则 AB ?
椭圆的通径长为

b2 b2 b2 ? (? ) ? 2 a a a .

四、关于椭圆的标准方程,需要注意的几个问题 (1)关于椭圆的标准方程,最基本的两个问题是:其一,当题目已指明曲线的位置特征, 并给出了“特征值” (指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系,由这个关系结合 c ? a ? b ,
2 2 2

我们可以确定出 a 、 b 、 c 的值)时,我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程;其二,当 题目已给出椭圆的标准方程时,我们便能准确地判断出曲线的位置特征,并能得到 a 、 b 、

c 的值。
(2)椭圆的标准方程中的参数 a 、 b 、 c 是椭圆所固有的,与坐标系的建立无关; a 、 b 、

c 三者之间的关系: c 2 ? a 2 ? b 2 必须牢固掌握。
(3)求椭圆的标准方程,实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数 a 、 b 。根据题目已知 条件,我们列出以 a 、 b 为未知参数的两个方程,联立后便可确定出 a 、 b 的值。特别需要 注意的是:若题目中已经指明椭圆的焦点在 x 轴或 y 轴上,则以 a 、 b 为未知参数的方程组 只有一个解,即 a 、 b 只有一个值;若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上,则以 a 、 b 为未

3

高中数学讲义之解析几何

知参数的方程组应有两个解,即 a 、 b 应有两个值。 (4)有时为方便解题,中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为 mx ? ny ? 1 ,但此时 m 、
2 2

n 必须满足条件: m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n .

五、点与椭圆的位置关系

x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 与椭圆 a 2 b 2 点 ( a ? b ? 0 )的位置关系有以下三种情形:

x0 y ? 02 ? 1 2 P( x0 , y0 ) 在椭圆上; b (ⅰ)若 a ,则点 x0 y ? 02 ? 1 2 P( x0 , y0 ) 在椭圆外; b (ⅱ)若 a ,则点 x0 y ? 02 ? 1 2 P( x0 , y0 ) 在椭圆内; b (ⅲ)若 a ,则点
2 2 2 2

2

2

【例题选讲】 题型 1:椭圆定义的应用 1. 平面内存在一动点 M 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和为常数 2a ( 的轨迹是() A. 圆 解:由题意知, (ⅰ)当 (ⅱ)当 B. 椭圆 C. 线段 D. 椭圆或线段

2a ? F1 F2

) ,则点 M

MF1 ? MF2 ? 2a ? F1 F2
时,点 M 的轨迹是椭圆;
1F2 . 时,点 M 的轨迹是线段 F

2a ? F1 F2 2a ? F1 F2

故点 M 的轨迹是椭圆或线段

2. 已知圆 C : ( x ?1) ? y ? 36 ,点 A(?1,0) , M 是圆 C 上任意一点,线段 AM 的中垂线
2 2

l 和直线 CM 相交于点 Q ,则点 Q 的轨迹方程为__________.

4

高中数学讲义之解析几何

解:圆 C : ( x ?1) ? y ? 36 的圆心坐标为 C(1,0) ,半径 r ? 6
2 2

连接 QA ,由 l 是直线 AM 的中垂线知,

QM ? QA

? QA ? QC ? QM ? QC ? CM ? r ? 6


AC ? 2

,?

QA ? QC ? AC

于是点 Q 的轨迹是以 A(?1,0) , C(1,0) 为左右焦点的椭圆,其中 2a ? 6 , 2c ? 2

? a ? 3 , c ? 1 , b2 ? a 2 ? c 2 ? 9 ?1 ? 8
又该椭圆的中心为坐标原点

x2 y2 ? ?1 8 故点 Q 的轨迹方程为 9

3. 已知点 A( 3,0) ,点 Q 是圆 x ? y ? 4 上的一个动点,线段 AQ 的垂直平分线交圆的半
2 2

径 OQ 于点 P ,当点 Q 在圆周上运动时,点 P 的轨迹方程为__________. 解:圆 O : x ? y ? 4 的圆心坐标为 O(0,0) ,半径 r ? 2
2 2

连接 PA ,由 l 是直线 AQ 的垂直平分线知,

PQ ? PA

? PO ? PA ? PO ? PQ ? OQ ? r ? 2


OA ? 3

,?

PO ? PA ? OA

于是点 P 的轨迹是以 O(0,0) , A( 3,0) 为左右焦点的椭圆,其中 2a ? 2 , 2c ? 3

? a ? 1,

c?

3 1 3 b2 ? a 2 ? c2 ? 1 ? ? 4 4 2 ,

又该椭圆的中心为 OA 的中点

(0,

3 ) 2 OA(0, 3 ) 2

3 2 y2 (x ? ) ? ?1 1 2 4 故点 P 的轨迹方程为

3 ,0) 注:本题点 P 的轨迹方程虽是椭圆,但该椭圆不关于坐标原点对称,而是关于点 2 对 (
5

高中数学讲义之解析几何

x2 ?
称,其方程可由把椭圆

y2 ?1 3 1 4 沿 x 轴向右平移了 2 个单位得到。

4. 方程

2 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? x ? y ? 2
B. 双曲线

表示的曲线是() C. 抛物线 D. 线段

A. 椭圆

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 2 ? ? ?0,1? x? y?2 2 2 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? x ? y ? 2 2 解:由 ,有

这表明,点 P( x, y) 到定点 F (1,1) 的距离与它到定直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离之比等于常

2 2 0? ?1 2 数 2 ( ) . 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 , 点 P( x, y) 的 轨 迹 是 椭 圆 , 即 方 程
2 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 2 ? x ? y ? 2
表示的曲线是椭圆。

x2 y2 ? ?1 y 3 1 的中点在 轴 5. 椭圆 12 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P 在椭圆上。若线段 PF
上,则 A. 7 倍

PF1



PF2

的() B. 5 倍 C. 4 倍 D. 3 倍

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 3 解:在椭圆 12 中, a ? 12, b ? 3, c ? a ? b ? 12 ? 3 ? 9

?a ? 2 3, b ? 3, c ? 3
1 (?3,0), F 2 (3,0) 于是 F

y 轴上,而 O 是线段 F1F2 的中点 1 的中点在 又?线段 PF

? PF2 y轴
于是 PF2 ? x轴

PF1 ? PF2 ? F1 F2 1 中, (法一)在 Rt?PF2 F
6

2

2

2

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? ( PF1 ? PF2 )( PF1 ? PF2 ) ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 ? 9 ? 36
又由椭圆的定义,有

2

PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 2 3 ? 4 3



? PF1 ? PF2 ?

36 ?3 3 4 3 ②

联立①、②得,

PF 1 ?

4 3 ?3 3 7 3 7 3 3 ? PF2 ? 4 3 ? ? 2 2 , 2 2

7 3 ? 2 ?7 PF2 3 PF1 PF2 2 故 ,即 是 的 7 倍。 PF1

b2 3 3 PF2 ? ? ? a 2 3 2 ,而 PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 2 3 ? 4 3 (法二)
? PF 1 ?4 3? 3 7 3 ? 2 2

7 3 ? 2 ?7 PF2 3 PF1 PF2 2 故 ,即 是 的 7 倍。 PF1

x2 y2 ? ?1 4 6. 设 F1 、 F2 为椭圆 9 的两个焦点, P 为椭圆上的一点。已知 P , F1 , F2 是一个

PF1
直角三角形的三个顶点,且

PF1 ? PF2

,则

PF2

=__________.

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 4 解:在椭圆 9 中, a ? 9, b ? 4, c ? a ? b ? 9 ? 4 ? 5

?a ? 3, b ? 2, c ? 5
1 (? 5,0) , F2 ( 5,0) 于是 F
? PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 ? 5 ? 20 (ⅰ)当 ?F1PF2 ? 90 时,
2 2 2

又?

PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 3 ? 6


7

高中数学讲义之解析几何

? PF 1 ? PF 2 ?
于是 又

2 ( PF 1 ? PF 2 ) ? ( PF 1 ? PF 2 )

2

2

2

?

36 ? 20 ?8 2

( PF1 ? PF2 ) 2 ? ( PF1 ? PF2 ) 2 ? 4 PF1 ? PF2 ? 36 ? 4 ? 8 ? 4

PF1 ? PF2


? PF1 ? PF2 ? 2

联立①、②得,

PF1 ?
4 ?2 2

6?2 ? 4 PF ? 6 ? 4 ? 2 2 2 ,

PF1
于是此时

PF2

?

? PF1 ? PF2 ? F1 F2 (ⅱ)当 ?PF2 F1 ? 90 时,
2

2

2

2

? ( PF1 ? PF2 )( PF1 ? PF2 ) ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 ? 5 ? 20


PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 3 ? 6



? PF1 ? PF2 ?

20 10 ? 6 3 ④
6? 10 3 ? 28 ? 14 PF ? 6 ? 14 ? 4 2 3 3 2 6 3 ,

联立③、④得,

PF1 ?

14 7 ? 3 ? 4 2 PF2 3 于是此时 PF1
PF1


PF2

7 的值为 2 或 2

题型 2:求椭圆的方程

x2 y2 ? ?1 7. (1)若方程 5 ? k k ? 3 表示椭圆,则 k 的取值范围是__________; x2 y2 ? ?1 (2)若方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是__________;

8

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x2 y2 ? ?1 (3)若方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 k 的取值范围是__________. x2 y2 ? ?1 解: (1)?方程 5 ? k k ? 3 表示椭圆

? 5?k ? 0 ? ? ? k ? 3 ? 0 ? 3 ? k ? 4或4 ? k ? 5 ?5 ? k ? k ? 3 ?
x2 y2 ? ?1 故当 k ? (3,4) ? (4,5) 时,方程 5 ? k k ? 3 表示椭圆。 x2 y2 ? ?1 (2)?方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 x 轴上的椭圆

? 5?k ? 0 ? ?? k ? 3 ? 0 ? 3 ? k ? 4 ?5 ? k ? k ? 3 ?
x2 y2 ? ?1 故当 k ? (3,4) 时,方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 x 轴上的椭圆。 x2 y2 ? ?1 (3)?方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 y 轴上的椭圆

? 5?k ? 0 ? ?? k ? 3 ? 0 ? 4 ? k ? 5 ?k ? 3 ? 5 ? k ?
x2 y2 ? ?1 故当 k ? (4,5) 时,方程 5 ? k k ? 3 表示焦点在 y 轴上的椭圆。

x2 y2 ? ?1 m 8. 已知椭圆 4 的焦距为 2,则 m =__________.
解:由题意知, 2c ? 2

? c ? 1 于是 a 2 ? b2 ? c 2 ? 1 ( ? )

x2 y2 ? ?1 2 2 m (ⅰ)当椭圆 4 的焦点在 x 轴上时, a ? 4 , b ? m
于是由( ? )式,有 4 ? m ? 1 ? m ? 3
9

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x2 y2 ? ?1 2 2 m (ⅱ)当椭圆 4 的焦点在 y 轴上时, a ? m , b ? 4
于是由( ? )式,有 m ? 4 ? 1 ? m ? 5 故 m 的值为 3 或 5

9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的 3 倍,并且经过点 P(3,0) ,则该椭圆的方 程为__________. 解:由题设条件知, 2a ? 3 ? 2b ? a ? 3b ①

x2 y2 ? 2 ?1 2 b (ⅰ)当椭圆的焦点在 x 轴上时,设其方程为 a (a ?b ?0)

9 0 ? 2 ?1 2 b 则由该椭圆过点 P(3,0) ,有 a ②
联立①、②得, a ? 9 , b ? 1
2 2

x2 ? y2 ? 1 9 于是此时该椭圆的方程为 y2 x2 ? 2 ?1 2 b (ⅱ)当该椭圆的焦点在 y 轴上时,设其方程为 a (a ?b ? 0 )

0 9 ? 2 ?1 2 b 则由该椭圆过点 P(3,0) ,有 a ③
联立①、③得, b ? 9 , a ? 81
2 2

y2 x2 ? ?1 于是此时该椭圆的方程为 81 9 x2 y2 x2 ? y2 ? 1 ? ?1 故所求椭圆的方程为 9 或 81 9

P 1 ( 6 ,1) , 2 (? 3,? 2 ) , 10. 已知椭圆的中心在坐标原点、 以坐标轴为对称轴, 且经过两点 P
则椭圆的方程为__________.

10

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解:设所求椭圆的方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ,且 m ? n )
2 2

1 ? ?m ? 9 ? ? 6m ? n ? 1 1 ?n ? ? 3m ? 2n ? 1 ,解得: ? 3 1 ( 6 ,1) , P 2 (? 3,? 2 ) 两点,有 ? 则由该椭圆过 P
1 2 1 2 x2 y2 ? ?1 x ? y ?1 3 3 故所求椭圆的方程为 9 ,即 9 .

11. 在平面直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的中心为坐标原点,焦点 F1 、 F2 在 x 轴上,离心率为

2 2 . 若过 F1 的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点,且 ?ABF2 的周长为 16 ,那么 C 的方程为
__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:由椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,可设其方程为 a (a ?b ?0)

?C?ABF2 ? 16
? AB ? BF2 ? AF2 ? 16


AB ? BF1 ? AF1
, 即 4a ? 16

? BF1 ? AF1 ? BF2 ? AF2 ? ( BF1 ? BF2 ) ? ( AF1 ? AF2 ) ? 16 ? 2a ? 2a ? 16
于是 a ? 4

?e ?


c 2 ? a 2

?c ?
2

2 2 a? ?4 ? 2 2 2 2
2 2

于是 b ? a ? c ? 16 ? 8 ? 8

x2 y2 ? ?1 8 故椭圆 C 的方程为 16

题型 3:椭圆的性质
11

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12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为 5, 最大值为 15, 则椭圆的方程为_________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:不妨设所求椭圆的方程为 a (a ?b ?0)
设 P( x, y) 是该椭圆上任意一点, F (c,0) 是其一个焦点

?x ? a cos? ? y ? b sin ? , 0 ? ? ? 2? 令?


PF ? (a cos ? ? c) 2 ? (b sin ? ? 0) 2 ? a 2 cos 2 ? ? 2ac cos ? ? c 2 ? b 2 sin 2 ?

? a 2 cos 2 ? ? 2ac cos ? ? c 2 ? (a 2 ? c 2 ) sin 2 ? ? a 2 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) ? 2ac cos ? ? c 2 (1 ? sin 2 ? )

? a 2 ? 2ac cos ? ? c 2 cos 2 ? ? (a ? c cos ? ) 2 ? a ? c cos ?
又? a ? c ? 0 , cos? ?[?1,1]

? PF ? a ? c cos ? ? a ? c cos ?
x2 y2 ? 2 ?1 2 PF b 于 是 当 ? ? 0 , 即 点 P( x, y) 为 椭 圆 a 的右顶点时, 取得最小值,且

[ PF ]min ? a ? c



x2 y2 ? 2 ?1 2 PF [ PF ]max ? a ? c b 当? ? ? , 即点 P( x, y) 为椭圆 a 的左顶点时, 取得最大值, 且 .

? a ? c ? 5 ?a ? 10 ?? ? a ? c ? 15 ? ?c?5 因而由题意,有
x2 y2 ? ?1 故所求椭圆的方程为 100 75

?b2 ? a 2 ? c 2 ? 100? 25 ? 75

注:由本题可见,椭圆的右(左)顶点到右(左)焦点的距离最小,到左(右)焦点的距离 最大。以后在遇到相关问题时,这个结论可以直接用。

13. 已知椭圆的中心在坐标原点,在 x 轴上的一个焦点 F 与短轴的两个端点 B1 、 B2 的连线 互相垂直,且这个焦点与较近的长轴的端点 A 的距离为 10 ? 5 ,则这个椭圆的方程为 __________.
12

高中数学讲义之解析几何

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:由该椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,可设其方程为 a (a ?b ? 0 )
设 F (c,0) 是该椭圆的右焦点,则与其较近的长轴的端点为 A(a,0) 于是有 a ? c ? 10 ? 5 ( ? ) 又? B1 (0, b) , B2 (0,?b) 是该椭圆上的对称点, F (c,0) 是该椭圆的右焦点

? B1 F ? B2 F
又? B1F ? B2 F

??B1FB2 为等腰直角三角形,其中 ?B1FB2 ? 90?
于是有
2

OB2 ? OF
2 2

,即 b ? c

又a ?b ?c

?a 2 ? 2c 2 ,即 a ? 2c ,代入( ? ) ,得 c ? 5
于是 a ? 10 , b ? 5

x2 y2 ? ?1 5 故所求椭圆的方程为 10

题型 4:与椭圆的焦点有关的三角形问题

y2 x2 ? ?1 ? 4 14. 设 P 是椭圆 5 上的一点, F1 、 F2 是该椭圆的两个焦点,且 ?F1PF2 ? 30 ,


S?F1PF2

=__________.

y2 x2 ? ?1 2 2 2 2 2 4 解:在椭圆 5 中, a ? 5, b ? 4, c ? a ? b ? 5 ? 4 ? 1

?a ? 5, b ? 2, c ? 1
1) , F2 (0,?1) 1 (0, 于是 F
cos?F1 PF2 ? PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2
2 2 2

1PF 2 中,由余弦定理,有 在 ?F

13

高中数学讲义之解析几何

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2
2b 2 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2
PF1 ? PF2 ?

2

?
3 2

4a 2 ? 4c 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

4b 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

?

8 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2

?

于是

16 16(2 ? 3 ) ? ? 16(2 ? 3 ) 2 ? 3 (2 ? 3 )( 2 ? 3 )



S ?F1PF2 ?

1 1 1 PF1 ? PF2 ? sin ?F1 PF2 ? ?16(2 ? 3 ) ? ? 4(2 ? 3 ) ? 8 ? 4 3 2 2 2

x2 y2 ? ?1 9 15. 已知 F1 、 F2 分别为椭圆 16 的左、右焦点,点 P 在该椭圆上. 若点 P 、 F1 、 F2
1F2 的面积为____________. 是一个直角三角形的三个顶点,则 ?PF

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 9 解:在椭圆 16 中, a ? 16, b ? 9, c ? a ? b ? 16 ? 9 ? 7

?a ? 4, b ? 3, c ? 7
于是 F1 (? 7 ,0) , F2 ( 7 ,0)
1F2 以点 F 1 或 F2 为直角顶点时, (ⅰ)当 Rt?PF

PF1 ?

b2 9 b2 9 ? PF2 ? ? a 4或 a 4 ,而 F1F2 ? 2c ? 2 7

? S ?PF1F2 ?

1 1 9 9 1 1 9 9 PF1 ? F1 F2 ? ? ? 2 7 ? 7 S ?PF1F2 ? PF2 ? F1 F2 ? ? ? 2 7 ? 7 2 2 4 4 2 2 4 4 或 S ?PF1F2 ? 9 7 4
2

于是此时总有

x 7 9 9 xP ? ? 7 , y P ? ? 9(1 ? P ) ? ? 9(1 ? ) ? ? 9 ? ?? ?3?b 16 16 16 4 并且此种情形下,

9 x2 y2 ? ?1 P ( ? 7 ,? ) 4 在椭圆 16 9 即点 上,满足题意。

14

高中数学讲义之解析几何

1F2 以点 P 为直角顶点时, (ⅱ)当 Rt?PF



P( x0 , y0 )
S ?PF1F2 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2 PF1 ? PF2 1 1 PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? y0 ? y0 ? ? ? 2 2 F1 F2 2c 2 7


则 又?

PF1 ? PF2 ? 2a ? 2 ? 4 ? 8

PF1 ? PF2 ? F1 F2 ? 4c 2 ? 4 ? 7 ? 28
2 2

2

2

2

? PF 1 ? PF 2 ?
y0 ?
于是此时

2 ( PF 1 ? PF 2 ) ? ( PF 1 ? PF 2 )

2
PF1 ? PF2 2 7 ? 18 9 ? ?3?b 2 7 7

?

64 ? 28 36 ? ? 18 2 2

x2 y2 ? ?1 P( x0 , y0 ) 在椭圆 16 9 这表明,此种情形下,点 外,不满足题意。

9 7 1F2 的面积为 4 故 ?PF

16. 已知 F1 、 F2 是椭圆在 x 轴上的两个焦点, P 为椭圆上一点, ?F1PF2 ? 60 .
?

(1)求该椭圆离心率的取值范围;
1PF 2 的面积只与该椭圆的短轴长有关. (2)求证: ?F

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解(1) :由该椭圆的焦点在 x 轴上,可设其方程为 a (a ?b ?0)

1PF 2 中,由余弦定理,有 在 ?F

cos?F1 PF2 ?
2

PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2

2

2

2

?

( PF1 ? PF2 ) 2 ? 2 PF1 ? PF2 ? F1 F2 2 PF1 ? PF2
2b 2 ? PF1 ? PF2 PF1 ? PF2 ? 1 2

?

4a 2 ? 4c 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

4b 2 ? 2 PF1 ? PF2 2 PF1 ? PF2

?

? PF1 ? PF2 ?

4 2 b 3
PF1 ? PF2 2 )2 ? a 2
15



? PF1 ? PF2 ? (

高中数学讲义之解析几何

4 ? b2 ? a 2 3
而b ? a ?c
2 2 2

4 1 4 1 ? (a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? a 2 ? c 2 c2 ? a2 3 3 3 ,即 4
1 2 a c2 4 1 e ? 2 ? 2 ? a a 4 于是
2

又 0 ? e ?1

1 ? ? e ?1 2 1 [ ,1) 故该椭圆离心率的取值范围是 2 PF1 ? PF2 ? 4 2 b 3

证(2) :由(1)知,

? S?F1PF2 ?

1 1 4 2 3 3 2 PF ? b ? ? b 1 ? PF 2 ? sin ?F 1 PF 2 ? 2 2 3 2 3

1PF 2 的面积只与该椭圆的短轴长有关 故 ?F

题型 5:椭圆中的最值问题

x2 y2 ? ?1 5 17. 设 F1 是椭圆 9 的左焦点,点 P 是椭圆上的一个动点, A(1,1) 为定点,则

PA ? PF1

的最小值为__________.

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 5 解:在椭圆 9 中, a ? 9 , b ? 5 , c ? a ? b ? 9 ? 5 ? 4

?a ? 3, b ? 5, c ? 2
1 (?2,0) , F2 (2,0) 于是该椭圆的左右焦点分别为 F

? PF1 ? PA ? AF2 ? PF1 ? PF2 ? 2a ? 6
? PA ? PF1 ? 6 ? AF2 ? 6 ? (2 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? 6 ? 2
16

高中数学讲义之解析几何



? PA ? PF ?

1 min

? 6? 2

y ?3 x2 ? y2 ? 1 B ( x , y ) y ? 0 18. 若 满足 4 ( ) ,则 x ? 4 的最大值、最小值分别为__________.
x2 ? y2 ? 1 2 2 2 2 2 解:在椭圆 4 ( y ? 0 )中, a ? 4 , b ? 1 , c ? a ? b ? 4 ? 1 ? 3

?a ? 2, b ? 1, c ? 3
1 (? 3,0) , F2 ( 3,0) 于是该椭圆的左右焦点分别为 F

y ?3 x2 ? y2 ? 1 P (4,3) 之间的连线的斜率 x ? 4 表示椭圆 4 ( y ? 0 )上的点 P( x, y) 与定点 0
y ?3 ?k PP 令 x?4 ,则直线 0 的方程为 y ? 3 ? k ( x ? 4) ,即 y ? kx ? 3 ? 4k

? x2 ? ? y2 ? 1 ? 4 2 2 2 ? y ? kx ? 3 ? 4k 联立 ? ,得 (1 ? 4k ) x ? 8k (3 ? 4k ) x ? 4(3 ? 4k ) ? 4 ? 0

?

?

令 ? ? ?8k (3 ? 4k )? ? 4(1? 4k ) 4(3 ? 4k ) ? 4 ? 3k ? 6k ? 2 ? 0
2 2 2 2

?

?

k ? 1?


3 3 k ? 1? 3 , 3 (舍去)
3?0 3 x2 ? y2 ? 1 ? A ( 2 , 0 ) 4 4 ? 2 2 ,这里 为椭圆 ( y ? 0 )的右顶点
3 y ?3 3 3 3 kmin ? 1 ? 1? 2, 3 ,即 x ? 4 的最大值为 2 ,最小值为 3 .



k P0 A ?



k max ?

x2 y2 ? ?1 19. 在直线 l : x ? y ? 4 ? 0 上任取一点 M ,过点 M 且以椭圆 16 12 的焦点为焦点作
椭圆,则点 M 的坐标为 __________ 时,所作的椭圆的长轴最短,此时该椭圆的方程为 __________.

17

高中数学讲义之解析几何

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 解:在椭圆 16 12 中, a ? 16 , b ? 12 , c ? a ? b ? 16 ?12 ? 4

?a ? 4, b ? 2 3, c ? 2
1 (?2,0) , F2 (2,0) 于是该椭圆的左右焦点分别为 F

x2 y2 ? ?1 要使过点 M 且以椭圆 16 12 的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短
必须使

MF1 ? MF2

最小

设 F2 (2,0) 关于直线 l : x ? y ? 4 ? 0 的对称点为

? F2 ( x0 , y0 )

? y0 ? 0 ? x ? 2 ? (?1) ? ?1 ? 0 ? ? x0 ? y0 ? 2 ? 0 ? x0 ? 4 x ? 2 y0 ? 0 0 ? ? ? ? ? 4 ? 0 ? x ? y0 ? 6 ? 0 y ?2 2 则由 ? 2 ,即 ? 0 ,得 ? 0
?
y?2?

? ? F2 (4,2)

于是直线 F1 F2 的方程为 显然,使

2?0 1 ( x ? 4) ? ( x ? 4) 4 ? ( ?2) 3 ,即 x ? 3 y ? 2 ? 0

MF1 ? MF2

取得最小值的点 M 即为直线 F1 F2 与直线 l 的交点

?

5 ? ?x ? 2 ? ?x ? 3 y ? 2 ? 0 3 ?y ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,得 ? 2 联立 ?

5 3 ?M ( , ) 2 2

此时

? MF

1

? ? ? MF2 ?min ? MF1 ? MF2 ? F1F2 ? [4 ? (?2)] 2 ? (2 ? 0) 2 ? 40 ? 2 10

?2a? ? 2 10 ? a? ? 10 , b?2 ? a?2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6
x2 y2 ? ?1 6 故所求椭圆的方程为 10

x2 y2 ? ?1 3 20. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上任意一点,则

OP ? FP 的最大值为__________,此时点 P 的坐标为__________.

18

高中数学讲义之解析几何

x2 y2 ? ?1 2 2 2 2 2 3 解:在椭圆 4 中, a ? 4, b ? 3, c ? a ? b ? 4 ? 3 ? 1

?a ? 2, b ? 3, c ? 1
于是 F (?1,0) 设 P( x, y) 则 OP ? ( x, y ) , FP ? ( x ? 1, y ) ,并且 ? 2 ? x ? 2

OP ? FP ? x ( x ? 1) ? y 2 ? x 2 ? x ? y 2 ? x 2 ? x ? 3(1 ?
于是

x2 1 ) ? x2 ? x ? 3 4 4 , x ?[?2,2]

g ( x) ?


1 2 x ? x?3 4 , x ?[?2,2]
x?? 1 1 2? 4 ? ?2

其对称轴为

?函数 g( x) 在 [?2,2] 上单调递增
1 [ g ( x)] max ? g (2) ? ? 22 ? 2 ? 3 ? 6 4 于是
x2 y2 ? ?1 3 将 x ? 2 代入方程 4 中,得 y ? 0

? P(2,0)

故 OP ? FP 的最大值为 6,此时点 P 的坐标为 (2,0) .

21. 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率

e?

3 3 P(0, ) 2 到这个椭圆 2 . 已知点

上一点的最远距离为 7 ,则该椭圆的方程为__________,该椭圆上到点 P 的距离为 7 的 点的坐标是__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:由该椭圆的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,可设其方程为 a (a ?b ? 0 )

?e ?

c 3 ? a 2
19

高中数学讲义之解析几何

?c ?

3 3 a ? c2 ? a2 2 4 , 而 c 2 ? a 2 ? b2
3 2 1 a ? b2 ? a 2 4 4 ,即 a 2 ? 4b2

? a 2 ? b2 ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 2 b2 b2 于是椭圆 a 的方程可化为 4b
设 M ( x, y) 是该椭圆上任意一点

3 9 y2 9 PM ? ( x ? 0) 2 ? ( y ? ) 2 ? x 2 ? y 2 ? 3 y ? ? 4b 2 (1 ? 2 ) ? y 2 ? 3 y ? 2 4 b 4 则
? ? 3 y 2 ? 3 y ? 4b 2 ? 9 4 , ?b ? y ? b

g ( y ) ? ?3 y 2 ? 3 y ? 4b 2 ?


9 4 , y ?[?b, b]

y??
其对称轴为

?3 1 ?? 2 ? ( ?3) 2

1 1 ? ?b b? 2 时,函数 g ( y) 在 [?b, b] 上单调递减 (ⅰ)当 2 ,即 ? [ g ( y )] max ? g (?b) ? ?3b 2 ? 3b ? 4b 2 ? 9 9 3 ? b 2 ? 3b ? ? (b ? ) 2 4 4 2

此时,

3 3 3 [ PM ]max ? (b ? ) 2 ? b ? ? b ? ? 7 2 2 2 于是
b?
这显然与

b? 7?
解得:

3 1 ? 2 2

1 2 矛盾,因此此种情况不存在。

1 ?b (ⅱ)当 2 时,这显然与 b ? 0 矛盾,因此此种情况不存在。 ? 1 1 1 1 ?b ? ? ? b b? [ ?b, ? ] [ ? , b] 2 ,即 2 时,函数 g ( y) 在 2 上单调递增,在 2 上单调递减 (ⅲ)当 1 3 3 9 [ g ( y )] max ? g (? ) ? ? ? ? 4b 2 ? ? 4b 2 ? 3 2 4 2 4 此时,

20

高中数学讲义之解析几何

于是

[ PM ]max ? 4b 2 ? 3 ? 7

解得: b ? 1 ,满足题意。

x2 ? y2 ? 1 4 b ? 1 由 可知,所求椭圆的方程为

y??


1 1 1 x2 x ? ? 4[1 ? ( ? ) 2 ] ? ? 4(1 ? ) ? ? 3 ? y2 ? 1 2 4 2 代入方程 4 中,得:

1 1 ( 3 ,? ) ( ? 3 ,? ) 2 , 2 于是椭圆上到点 P 的距离等于 7 的点有两个,分别是

1 x2 ? y2 ? 1 ( 3 ,? ) 2 故该椭圆的方程为 4 ,并且该椭圆上到点 P 的距离为 7 的点的坐标是
1 ( ? 3 ,? ) 2 . 或

题型 6:椭圆的离心率计算问题 22. 若 一 个 椭 圆 长 轴 的 长 度 、 短 轴 的 长 度 和 焦 距 成 等 差 数 列 , 则 该 椭 圆 的 离 心 率 为 __________.

解:由 2a , 2b , 2c 成等差数列,有

2 ? 2b ? 2a ? 2c ? b ?

a?c 2

又?

?(

a?c 2 ) ? a 2 ? c 2 ? 5c 2 ? 2ac ? 3a 2 ? 0 b 2 ? a 2 ? c 2 2 2 5c ? 2ac ? 3a 2 ? 0

?(

a?c 2 ) ? a 2 ? c 2 ? 5c 2 ? 2ac ? 3a 2 ? 0 2 ( ?) e?
解得:

( ? )式两边同时除以 a ,得 5e ? 2e ? 3 ? 0
2 2

3 5 或 e ? ?1 (舍去)

e?
故该椭圆的离心率

3 5

23. 已知 F1 、F2 是椭圆在 x 轴上的两个焦点, 过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、B
2 是正三角形,则这个椭圆的离心率是__________. 两点,若 ?ABF

21

高中数学讲义之解析几何

2 的边长为 t 解: (法一)设正三角形 ?ABF

1 3 AF1 ? t F1F2 ? t AF ? t 2 2 , 2 则 , 1 3 3 2a ? AF1 ? AF2 ? t ? t ? t 2c ? F1F2 ? t 2 2 , 2 于是 ?a? 3 3 t c? t 4 , 4

3 t c 3 ?e ? ? 4 ? 3 a 3 t 4

e?
故该椭圆的离心率

3 3

e?
(法二)

F1 F2 c 2c 2 R sin ?F1 AF2 sin ?F1 AF2 ? ? ? ? a 2a AF1 ? AF2 2 R sin ?AF2 F1 ? 2 R sin ?AF1 F2 sin ?AF2 F1 ? sin ?AF1 F2

3 sin 60 ? 3 2 3 ? ? 2 ? ? ? ? ? 1 sin 30 ? sin 90 3 ?1 2 3 2 1F2 的外接圆的直径. ,等式中的 2 R 表示 ?AF

e?
故该椭圆的离心率

3 3

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 24. 过椭圆 a ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为椭圆
右焦点。若 ?F1PF2 ? 60 ,则该椭圆的离心率为__________.
?

1F2 中, 解: (法一)在 Rt?PF

tan ?F1 PF2 ?

F1 F2 PF1

? PF1 ?

F1 F2 tan ?F1 PF2 F1 F2 PF2

?

2c 2 3 ? c 3 3

sin ?F1 PF2 ?

22

高中数学讲义之解析几何

? PF2 ?

F1 F2 sin ?F1 PF2

?

2c 4 4 3 ? c? c 3 3 3 2



? PF1 ? PF2 ? 2a

?

2 3 4 3 c? c ? 2a ? 2 3c ? 2a 3 3

e?
于是

c 2 3 ? ? a 2 3 3

3 故该椭圆的离心率为 3
tan?F1 PF2 ?
1F2 中, (法二)在 Rt?PF

F1F2 PF1

?

2c ? 3 ? 2ac ? 3b 2 2 b a

而b ? a ?c
2 2

2

? 3(a2 ? c2 ) ? 2ac ? 3a2 ? 2ac ? 3c2 ? 0 ? 3 ? 2e ? 3e2 ? 0 ,即 3e2 ? 2e ? 3 ? 0
e?
解得:

3 3 或 e ? ? 3 (舍去)

3 故该椭圆的离心率为 3

25. 已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延长线交 C 于点 D , 且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解: (法一)不妨设椭圆 C 的焦点在 x 轴上,则其方程可设为 a (a ?b ?0)
设 B(0, b) , F (c,0) ,

D( x0 , y0 )

FD ? ( x0 ? c, y0 ) 则 BF ? (c,?b) ,

23

高中数学讲义之解析几何

3 ? x ? c 0 c ? 2 ( x ? c ) ? ? 0 2 ?? ? 1 ? ? b ? 2 y0 ? y0 ? ? b 2 ? 于是由 BF ? 2FD ,有
3 1 x2 y2 ? ?1 D ( c, ? b ) 2 2 在椭圆 a 2 b 2 又?点 上
9 2 1 2 c b 9 1 3 ? 4 2 ? 4 2 ? 1 ? e2 ? 1 ? ? a b 4 4 4

3 1 ? D ( c, ? b ) 2 2

e2 ?
于是

1 3

又 0 ? e ?1

?e ?

3 3

3 故椭圆 C 的离心率为 3
(法二)不妨设椭圆 C 的焦点在 x 轴上 设 B(0, b) , F (c,0) , 则

D( x0 , y0 )
2

BF ?

OB ? OF

2

? b2 ? c2 ? a2 ? a ? a

1 ? y轴 于点 D1 作 DD

OF
则由 BF ? 2FD ,有

DD1

?

BF BD

?

2 3 3 ? DD1 ? OF ? c 3 2 2

,即

x0 ?

3 c 2

DF a ? x0 又由椭圆的第二定义,有 c
? DF ? e(
2

?e

a2 c a2 3 3c 2 2a 2 ? 3c 2 ? x0 ) ? ( ? c ) ? a ? ? c a c 2 2a 2a



? BF ? 2 FD
2a 2 ? 3c 2 ? a 2 ? 3c 2 2a
24

?a ? 2?

高中数学讲义之解析几何

e2 ?
于是

c2 c2 1 ? ? 2 2 a 3c 3

又 0 ? e ?1

?e ?

3 3

3 故椭圆 C 的离心率为 3

b x2 y2 ? 2 ?1 y? 2 b 2 26. 在平面直角坐标系 xoy 中, F 是椭圆 a ( a ? b ? 0 )的右焦点,直线
与椭圆交于 B 、 C 两点,且 ?BFC ? 90 ,则该椭圆的离心率是__________.
?

b x2 y2 3 ? 2 ?1 y? x?? a 2 b 2 ,则 2 解:在 a 中,令

B( ?
于是

3 b 3 b a, ) C ( a, ) 2 2 , 2 2

而 F (c,0)

? FB ? (?

3 b 3 b a ? c, ) FC ? ( a ? c, ) 2 2 , 2 2
?

又? ?BFC ? 90

? FB ? FC
FB ? FC ? 0 ? (?
2 2 2

于是

3 3 b 3 1 a ? c)( a ? c) ? ( ) 2 ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 0 ? 3a 2 ? b 2 ? 4c 2 ? 0 2 2 2 4 4

又? b ? a ? c

2 2 2 2 2 2 ? 3a ? (a ? c ) ? 4c ? 0 ? 2a ? 3c

e2 ?
于是

c2 2 ? a2 3

又 0 ? e ?1

e?
故该椭圆的离心率

2 6 ? 3 3
25

高中数学讲义之解析几何

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 27. 已知 O 为坐标原点, F 是椭圆 C : a ( a ? b ? 0 )的左焦点, A 、 B 分别
为 C 的左、右顶点, P 为 C 上一点,且 PF ? x 轴,过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M , 与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点 G ,则 C 的离心率为__________.

GO
解:由

GO MF

,有

MF

?

BO BF

?

GO MF

?

a a?c

? MF ?

a?c GO a
MF EO ? AF AO ? MF EO ? a?c a



MF EO

,有

? MF ?

a?c a?c a?c EO ? ? 2 GO ? 2 GO a a a

a?c a?c GO ? 2 GO ? 2a ? 2c ? a ? c ? a ? 3c a 于是有 a e? c c 1 ? ? a 3c 3

故 C 的离心率

(法二)直线 l : y ? 0 ? k[ x ? (?a)] ,即 y ? k ( x ? a)

MF ? k (a ? c) 由 xM ? ?c ,得 yM ? k (?c ? a) ? k (a ? c) ,所以 EO ? ka 由 xE ? 0 ,得 yE ? k (0 ? a) ? ka ,所以



GO MF

,有

1 1 EO BO ka a 1 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? MF BF MF BF k (a ? c) a ? c a?c a?c GO BO

? 2a ? 2c ? a ? c ? a ? 3c

故 C 的离心率

e?

c c 1 ? ? a 3c 3

题型 7:与椭圆有关的综合问题

x2 y2 ? ?1 2 1、 P 2 两点,弦 P 1P 2被 28. 椭圆 3 内有一点 P(1,1) ,一直线经过点 P 与椭圆交于 P
26

高中数学讲义之解析几何

1P 2 的方程为__________. 点 P 平分,则直线 P 1 ( x1 , y1 ) , P 2 ( x2 , y2 ) 解:设 P

x1 y ? 1 ?1 2 则 3 ①,

2

2

x2 y ? 2 ?1 3 2 ②

2

2

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 3 2 ①-②得, ③

,1) 1P 2 的中点坐标为 P(1 又? P

? x1 ? x2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2
2 2 2 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? ?( y1 ? y2 ) 2 3 代入③得, 3 ④
显然 x1 ? x2

2 y1 ? y2 2 2 ? 3 ?? k P1P2 ? ? 3 ,即 3 于是由④有, x1 ? x2 ? 1
,1) 1P 2 过其中点 P(1 又直线 P
2 2 5 y ? 1 ? ? ( x ? 1) y ?? x? 3 3 3 1P 2 的方程为 故直线 P ,即

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 29. 已知椭圆 E : a ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F (3,0) ,过点 F 的直线 l 交椭圆 E
于 A 、 B 两点,若 AB 的中点坐标为 C (1,?1) ,则 E 的方程为__________.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 解:?椭圆 E : a ( a ? b ? 0 )的右焦点为 F (3,0)
2 2 2 ?c ? 3 ? a ? b ? c ? 9 ①

设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

x1 y ? 12 ? 1 2 b 则a ② ,

2

2

x2 y ? 22 ? 1 2 a b ③
27

2

2

高中数学讲义之解析几何

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0 a2 b2 ②-③得, ④
又? AB 的中点坐标为 C (1,?1)

? x1 ? x2 ? 1, y1 ? y2 ? ?2
2 ?2 2 2 ( x1 ? x2 ) ? 2 ( y1 ? y2 ) ? 0 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 2 ( y1 ? y2 ) 2 b a b 代入④得, a ⑤
显然 x1 ? x2

2 y1 ? y2 a 2 b 2 ? ? 2 b2 2 x1 ? x2 a k ? AB a2 b2 于是由④有, ,即
又?

k AB ? kCF ?

0? (? 1) 1 ? 3 ?1 2

b2 1 ? ? a 2 ? 2b 2 2 a 2 ? ⑥
由①、⑥得, a ? 18 , b ? 9
2 2

x2 y2 ? ?1 9 故椭圆 E 的方程为 18

30. 如图, 设 P 是圆 x ? y ? 25 上的一个动点, 点 D 是点 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上
2 2

MD ?
一点,且

4 PD 5 .

y

(1)当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;

P M O D x

4 (2)求过点 (3,0) 且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的长度.
解: (1)设 M ( x, y) , P( xP , yP )

28

高中数学讲义之解析几何

? x ? xP ? xP ? x ? ? ?y ? 4 y ? ?y ? 5 y P P ? ? 5 4 ? 则由题设条件知, ?
而点 P 在圆 x ? y ? 25 上
2 2

5 25 2 x2 y2 ? x 2 ? ( y ) 2 ? 25 ? x 2 ? y ? 25 ? ? ?1 4 16 25 16 x2 y2 ? ?1 故点 M 的轨迹 C 的方程为 25 16

4 4 4 12 4 12 y ? 0 ? ( x ? 3) ? x ? y ? x? ( 3 , 0 ) 5 5 5 ,即 5 5 (2)过点 且斜率为 5 的直线的方程为
x2 y2 ? ?1 2 2 点 M 的轨迹 C 的方程 25 16 可化为 16x ? 25y ? 400 ? 0
设直线与 C 的交点为 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) 则直线被 C 所截线段的长度为

AB

?16x 2 ? 25y 2 ? 400 ? 0 ? 4 12 ? y ? x? 2 ? 5 5 联立 ? ,得 x ? 3x ? 8 ? 0
?3 ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 3 ? ?8 ? x1 x2 ? ? ?8 1 由韦达定理,有 ?
4 2 2 AB ? 1 ? k AB x1 ? x2 ? 1 ? k AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? ( ) 2 ? 32 ? 4( ?8) 5 于是

? 1?

16 ? 41 ? 25

41 41 ? 41 ? 25 5

4 41 故过点 (3,0) 且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的长度为 5

31. 已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别与该椭圆交于点 A 、 B 和 C 、
2 2

29

高中数学讲义之解析几何

D .记得到的平行四边形 ACBD 的面积为 S .
( 1 ) 设 A( x1, y1 ) , C( x2 , y2 ) . 用 A 、 C 的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l1 的 距 离 , 并 证 明

S ? 2 x1 y2 ? x2 y1



1 (2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 2 ,求面积 S 的值. ?

x2 ?
解: (1)在椭圆 x ? 2 y ? 1 ,即
2 2

y2 ?1 1 1 1 1 a 2 ? 1, b 2 ? , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 1 ? ? 2 2 2 2 中,

(ⅰ)当直线 l1 和 l2 的斜率均存在时,

直线 l1 的方程为

y ? y1 ?

y1 ( x ? x1 ) x1 ,即 y1x ? x1 y ? 0
d? y1 x2 ? x1 y2 y12 ? x12 ? x1 y2 ? x2 y1 x12 ? y12

于是点 C( x2 , y2 ) 到直线 l1 : y1x ? x1 y ? 0 的距离 又四边形 ACBD 为平行四边形

S ? 2S ?ABC ? 2 ?


x y ?x y 1 AB ? d ? AB ? d ? 2 OA ? d ? 2 x12 ? y12 ? 1 2 2 1 ? 2 x1 y2 ? x2 y1 2 x12 ? y12

(ⅱ)当直线 l1 的斜率不存在(此时 l1 即为 y 轴) ,直线 l2 的斜率存在时, 此时点 A( x1, y1 ) 中, x1 ? 0 点 C( x2 , y2 ) 到直线 l1 的距离

d ? x2

S ? 2S ?ABC ? 2 ?

1 AB ? d ? AB ? d ? 2 y1 ? x2 ? 2 x2 y1 ? 2 0 ? y2 ? x2 y1 2

(ⅲ)当直线 l2 的斜率不存在(此时 l2 即为 y 轴) ,直线 l1 的斜率存在时, 此时点 C( x2 , y2 ) 中, x2 ? 0

d?
点 C( x2 , y2 ) 到直线 l1 的距离

y1 ? 0 ? x1 y2 y12 ? x12

?

x1 y2 x12 ? y12

S ? 2S ?ABC ? 2 ?

x1 y2 1 AB ? d ? AB ? d ? 2 OA ? d ? 2 x12 ? y12 ? ? 2 x1 y2 ? 2 x1 y2 ? 0 ? y1 2 x12 ? y12

30

高中数学讲义之解析几何

d?
故点 C 到直线 l1 的距离

x1 y2 ? x2 y1 x12 ? y12 ,平行四边形 ACBD 的面积 S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 .

1 ? l l (2)由直线 1 与 2 的斜率之积为 2 可知,直线 l1 、 l2 的斜率均存在,且均不为零
不妨设直线 l1 的斜率为 k

1 则直线 l1 的方程为 y ? kx ,并且直线 l2 的斜率为 2k ? y?? 1 x 2k x12 ? 1 2k 2 ? 1
2k 2 2k 2 ? 1

于是直线 l2 的方程为

?x2 ? 2 y 2 ? 1 ? 2 2 y ? kx 联立 ? 得 (2k ? 1) x ? 1

解得:

?x2 ? 2 y 2 ? 1 ? 1 ? y?? x 2 2 2 ? 2k 得 (2k ? 1) x ? 2k 联立 ?
又由(1)知

解得:

2 x2 ?

S ? 2 x1 y2 ? x2 y1

S ? 2 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 x1 (?


1 xx 2k 2 ? 1 x2 ) ? x2 (kx1 ) ? 2 1 2 ? kx1 x2 ? 2 x1 x2 2k 2k 2k

2k 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 1 2k 2 2k 2 ? 1 2 2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 k k k 2k ? 1 2 k ? 1 k 2k ? 1

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 32. 已知椭圆 E : a (a ?b ?0) 的半焦距为 c , 原点 O 到经过两点 (c,0) ,(0, b)

1 c 的直线的距离为 2 .
(1)求椭圆 E 的离心率;

(2)如图, AB 是圆 M : 求椭圆 E 的方程.

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

5 2 的一条直径,若椭圆 E 经过 A 、 B 两点,

31

高中数学讲义之解析几何

y B A x

解: (1)设 E(0, b), F (c,0) 则

OE ? b, OF ? c ? EF ?

OE ? OF

2

2

? b2 ? c2 ? a

1 OH ? c 2 设 OH ? EF ,则 ? S ?OEF ? 1 1 OE ? OF ? EF ? OH 2 2 1 ? bc ? a ? c ? a ? 2b ? a 2 ? 4b 2 , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 4b 2 ? b 2 ? 3b 2 2
故椭圆 E 的离心率

e?

c 3b 3 ? ? a 2b 2
5 r? 2 的圆心为 M (?2,1) ,半径
5 10 ? 2 2

(2)圆 M :

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ?
2 2

由(1)知, a ? 4b

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 2 2 2 2 b2 b2 于是椭圆 E : a 的方程可化为 4b ,即 x ? 4 y ? 4b ? 0
设直线 AB 的斜率为 k 则直线 AB 的方程为 y ?1 ? k[ x ? (?2)] ? kx ? 2k ,即 y ? kx ? 2k ? 1 设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

? x 2 ? 4 y 2 ? 4b 2 ? 0 ? 2 2 2 2 2 y ? kx ? 2k ? 1 联立 ? 得 (4k ? 1) x ? (16k ? 8k ) x ? 16k ? 16k ? 4 ? 4b ? 0

? 16k 2 ? 8k x ? x ? ? 1 2 ? ? 4k 2 ? 1 ? 2 2 ? x1 x2 ? 16k ? 16k ? 4 ? 4b ? 4k 2 ? 1 由韦达定理有 ?

32

高中数学讲义之解析几何

又? M (?2,1) 为 AB 的中点

x1 ? x2 8k 2 ? 4 k 1 ? ?2 ? ? ? ?2 ? k ? 2 4k ? 1 2 ? 2

1 1 16 ? ? 16 ? ? 4 ? 4b 2 16 ? 4b 2 4 2 ? x1 x2 ? ? ? 8 ? 2b 2 1 2 4 ? ?1 4
1 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? ( ) 2 ( ?4) 2 ? 4(8 ? 2b 2 ) 2 又

? 1?

1 16 ? 32 ? 8b 2 ? 4

5 8b 2 ? 16 4

AB ? 2r ? 2 ?

10 ? 10 2

?

5 5 8b 2 ? 16 ? 10 ? (8b 2 ? 16 ) ? 10 ? b 2 ? 3, a 2 ? 4b 2 ? 12 4 4

x2 y2 ? ?1 3 故椭圆 E 的方程为 12

33. 已知点 P 是椭圆 C 上任意一点,点 P 到直线 l1 : x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1,0) 的

距离为 d 2 ,且

d2 2 ? d1 2

. 直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ( A 、 B 都在 x 轴上方) ,
?

且 ?OFA? ?OFB ? 180 . (1)求椭圆 C 的方程; (2)当点 A 为椭圆 C 与 y 轴正半轴的交点时,求直线 l 的方程; (3)对于动直线 l ,是否存在一个定点,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点?若 存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1) 设 P( x, y) , 则

d1 ? x ? (?2) ? x ? 2



d 2 ? [ x ? (?1)] 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2

33

高中数学讲义之解析几何

于是由

d2 2 ? d1 2

,有

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? 2x ?1? y 2 1 ? ? ? x?2 2 x2 ? 4x ? 4 2

x2 ? y2 ? 1 化简整理,得: 2 x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的方程为 2 x2 ? y2 ? 1 2 2 2 C (2)椭圆 的方程 可化为 x ? 2 y ? 2 ? 0

?x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? x?0 联立 ? ,得 y ? ?1

? A(0,1)

而 F (?1,0)

? k AF ?

0 ?1 ? 1 ? ?OFA ? 45? ?1 ? 0
?

又??OFA? ?OFB ? 180

??OFB ? 135?

而 A 、 B 都在 x 轴上方

? kBF ? ?1

于是直线 BF 的方程为 y ? 0 ? ?1? [ x ? (?1)] ? ?( x ? 1) ? ? x ?1 ,即 y ? ? x ? 1

?x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? 2 y ? ?x ?1 联立 ? ,得 3x ? 4 x ? 0
1 2 ?1 ? 4 1 1 ? B (? , ) ? k AB ? 3 ? 3? 4 4 2 3 3 ? ?0 ? 3 3
故直线 l 的方程为

4 ? ?x ? ? 3 ? ? x?0 1 ? y? ? 3 或 ? y ? ?1 (舍去) 解得: ?

y ?1 ?

1 1 1 ( x ? 0) ? x y ? x ?1 2 2 ,即 2
?

(3)??OFA? ?OFB ? 180 ,且 A 、 B 都在 x 轴上方

?k AF ? kBF ? 0 ,并且直线 l 的斜率存在
设 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 )

则由 F (?1,0) ,有

k AF ? k BF ?

0 ? y1 0 ? y2 y y ? ? 1 ? 2 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( ? )

34

高中数学讲义之解析几何

设直线 l 的方程为 y ? kx ? b

?x2 ? 2 y 2 ? 2 ? 0 ? 2 2 2 y ? kx ? b 联立 ? ,得 (2k ? 1) x ? 4kbx ? 2b ? 2 ? 0

4kb ? ? x1 ? x2 ? ? 2k 2 ? 1 ? ? 2 ? x1 x2 ? 2b 2 ? 2 ? 2k ? 1 由韦达定理,有 ?

于是由( ? )式,有

k AF ? k BF ?

y1 y y ( x ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ? 2 ? 1 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

?

(kx1 ? b)(x2 ? 1) ? (kx2 ? b)(x1 ? 1) 2kx1 x2 ? (k ? b)(x1 ? x2 ) ? 2b ? ?0 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
2kx1 x2 ? ( k ? b)( x1 ? x2 ) ? 2b ? 2k ? 2b 2 ? 2 4kb ? ( k ? b)( ? 2 ) ? 2b 2 2k ? 1 2k ? 1



?

4kb 2 ? 4k ? 4k 2b ? 4kb 2 ? 4k 2b ? 2b ? 4k ? 2b ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

? ?4k ? 2b ? 0 ? b ? 2k
于是直线 l 的方程 y ? kx ? b 可化为 y ? kx ? b ? kx ? 2k ? k ( x ? 2) 这表明,直线 l 总经过定点 (?2,0) 故对于动直线 l ,总存在一个定点 (?2,0) ,无论 ?OFA 如何变化,直线 l 总经过此定点.

34. 在平面直角坐标系 xoy 中,点 P(a, b) ( a ? b ? 0 )为动点, F1 、 F2 分别为椭圆

x2 y2 ? ?1 a2 b2 1PF 2 为等腰三角形. 的左、右焦点.已知 ?F
(1)求该椭圆的离心率 e ; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A 、 B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ? BM ? ?2 , 求点 M 的轨迹方程.

x2 y2 ? 2 ?1 2 b 1 (?c,0), F2 (c,0) 解: (1)在椭圆 a 中, F
35

高中数学讲义之解析几何

? ?F1PF2 为等腰三角形
? PF2 ? F1F2 ? (a ? c) 2 ? (b ? 0) 2 ? 2c ? a 2 ? 2ac ? b 2 ? 3c 2 ? 0
又? b ? a ? c
2 2 2

?a 2 ? 2ac ? (a 2 ? c 2 ) ? 3c2 ? 0 ? a 2 ? ac ? 2c2 ? 0 ? 1 ? e ? 2e2 ? 0 ,即 2e2 ? e ? 1 ? 0
e?
解得

1 2 或 e ? ?1 (舍去) e? 1 2 1 c 1 ? ? ? a ? 2c ? a 2 ? 4c 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3c 2 2, a 2

故该椭圆的离心率

e?
(2)由(1)知,

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ? ?1 2 2 2 2 2 b2 3c 2 于是椭圆 a 可化为 4c ,即 3x ? 4 y ?12c ? 0
又? P(a, b), F2 (c,0)

?

k PF2 ?

0 ? b 0 ? 3c ? ? 3 c ? a c ? 2c

于是直线 PF2 的方程为 y ? 0 ? 3( x ? c) ,即 y ? 3x ? 3c 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12c 2 ? 0 ? 2 y ? 3 x ? 3c 联立 ? 得 5x ? 8cx ? 0

8 3 x1 ? c y1 ? 3c x ? 0 5 , 2 5 ? 解得: , y2 ? ? 3c 8 3 A( c, 3c), B(0,? 3c) 于是 5 5
设点 M 的坐标为 ( x, y)

8 3 AM ? ( x ? c, y ? 3c), BM ? ( x, y ? 3c) 5 5 则
又? M ( x, y) 在直线 PF2 : y ? 3x ? 3c 上
36

高中数学讲义之解析几何

?c ?

3x ? y 3 ? x? y 3 3

8 3 3 3 3 8 3 8 AM ? ( x ? ( x ? y), y ? 3( x ? y)) ? (? x ? 3 y,? 3x ? y ) 5 3 5 3 5 15 5 5 于是 BM ? ( x, y ? 3( x ?
又 AM ? BM ? ?2

3 y)) ? ( x, 3x) 3

3 8 3 8 ? (? x ? 3 y ) x ? (? 3x ? y ) 3x ? ?2 5 15 5 5 3 8 9 8 ? ? x2 ? 3 xy ? x 2 ? 3xy ? ?2 ? 18 x 2 ? 16 3xy ? 15 ? 0 5 15 5 5
y?
于是有

18 x 2 ? 15 16 3 x ( ? )

3 3 18x 2 ? 15 6 x 2 ? 5 10x 2 ? 5 3 c ? x ? y ? x ? ? ? x ? ? c ? x? y 3 3 16 x 16x 16 3 x 3 将 ( ?) 式代入 中, 得
而c ? 0

?x ? 0
故点 M 的轨迹方程为 18x ?16 3xy ?15 ? 0 ( x ? 0 )
2

35. 设圆 x ? y ? 2 x ?15 ? 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合, l 交圆 A 于
2 2

C 、 D 两点.过点 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .
(1)证明

EA ? EB

为定值,并写出点 E 的轨迹方程;

(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交曲线 C1 于 M 、 N 两点,过点 B 且与 l 垂直的直线 与圆 A 交于 P 、 Q 两点.求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

)? y ? 16 的圆心为 A(?1,0) ,半径 r ? 4 解: (1)圆 x ? y ? 2 x ?15 ? 0 ,即圆 ( x ? 1
2 2 2 2

? AD ? AC

? ?ADC ? ?ACD

37

高中数学讲义之解析几何



? EB AC

??ACD ? ?EBD
于是有

?ADC ? ?EBD ? ED ? EB

? EA ? EB ? EA ? ED ? AD ? 4 ? 定值


AB ? 2

? EA ? EB ? AB

于是点 E 的轨迹是以 A(?1,0) 、 B(1,0) 为左右焦点的椭圆,其中 2a ? 4,2c ? 2

?a ? 2, c ? 1, b2 ? a 2 ? c2 ? 4 ?1 ? 3
x2 y2 ? ?1 3 故点 E 的轨迹方程为 4 ( y ?0)
(2)(ⅰ)当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其斜率为 k ,显然 k ? 0 则直线 l 的方程为 y ? 0 ? k ( x ? 1) ,即 y ? k ( x ? 1)

1 1 y ? 0 ? ? ( x ? 1) y ? ? ( x ? 1) k k 直线 PQ 的方程为 ,即
x2 y2 ? ?1 2 2 3 椭圆 4 的方程可化为 3x ? 4 y ?12 ? 0

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 ? 2 2 2 2 y ? k ( x ? 1) 联立 ? 得 (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ?12 ? 0

? ? 8k 2 8k 2 x ? x ? ? ? ? ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? 4k 2 ? 12 ? x1 x2 ? ? 4k 2 ? 3 由韦达定理,有 ?

于是

MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 (

8k 2 2 4k 2 ? 12 ) ? 4 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? 1? k

2

2 64 k 4 ? (64 k 4 ? 144 k 2 ? 144 ) 12(k 2 ? 1) 2 144 ( k ? 1) ? 1? k ? (4k 2 ? 3) 2 (4k 2 ? 3) 2 4k 2 ? 3

1 y ? ? ( x ? 1) k 又?点 A(?1,0) 到直线 PQ : ,即 x ? ky ?1 ? 0 的距离

38

高中数学讲义之解析几何

d?

?1 ? k ? 0 ?1 12 ? k 2

?

2 k 2 ?1 4 16k 2 ? 12 4k 2 ? 3 ? 2 ? 4 k 2 ?1 k 2 ?1 k 2 ?1

? PQ ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 16 ?

于是

S四边形MPNQ

1 1 12(k 2 ? 1) 4k 2 ? 3 k 2 ?1 ? MN ? PQ ? ? ?4 ? 24 2 2 4k 2 ? 3 k 2 ?1 4k 2 ? 3

? 12

4k 2 ? 4 (4k 2 ? 3) ?1 1 ? 12 ? 12 1 ? 2 ? 12,8 3 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
MN ? 2

?

?

(ⅱ)当直线 l 垂直于 x 轴时,

b2 3 ? 2 ? ? 3, PQ ? 2r ? 2 ? 4 ? 8 a 2

于是此时

S四边形MPNQ ?

1 1 MN ? PQ ? ? 3 ? 8 ? 12 2 2

故四边形 MPNQ 面积的取值范围为 12,8 3

?

?

x2 y2 ? ?1 3 36. 已知椭圆 E : t 的焦点在 x 轴上, A 是 E 的左顶点,斜率为 k ( k ? 0 )的直
线交 E 于 A 、 M 两点,点 N 在 E 上, MA ? NA .

AM ? AN (1)当 t ? 4 , 时,求 ?AMN 的面积;
(2)当

2 AM ? AN

时,求 k 的取值范围.

x2 y2 ? ?1 3 解: (1)当 t ? 4 时,椭圆 E 的方程为 4

?a2 ? 4, b2 ? 3, c2 ? a2 ? b2 ? 4 ? 3 ? 1

? A(?2,0)

? AM ? AN , AM ? AN ,且 M 、 N 均在椭圆上
? ?AMN 为等腰直角三角形,其中 ?MAN ? 90? ,并且直线 AM 的倾斜角为 45?
于是 k AM ? 1,直线 AM 的方程为 y ? 0 ? 1? ?x ? (?2)? ? x ? 2 ,即 y ? x ? 2

x2 y2 ? ?1 2 2 3 椭圆 E 的方程 4 可化为 3x ? 4 y ?12 ? 0
39

高中数学讲义之解析几何

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 ? 0 2 ? x?? 2 y ? x ? 2 7 或 x ? ?2 (舍去) 联立 ? 得 7 x ? 16x ? 4 ? 0 ,解得

2 2 12 2 12 ? xM ? ? , y M ? ? ? 2 ? M (? , ) 7 7 7 ,即 7 7
AM ? [ ?
于是

2 12 144 144 12 2 ? ( ?2)] 2 ? ( ? 0) 2 ? ? ? 7 7 49 49 7
2



S ?AMN ?

1 AM 2

1 288 144 ? ? ? 2 49 49

x2 y2 ? ?1 2 2 3 (2)在椭圆 t 中, a ? t , b ? 3 ? A(? t ,0) 并且 t ? 3
于是直线 AM 的方程为 y ? 0 ? k x ? (? t ) ? k ( x ? t ) ,即 y ? k ( x ? t )

?

?

直线 AN 的方程为

y ?0 ? ?

1 1 1 x ? (? t ) ? ? ( x ? t ) y ? ? (x ? t ) k k k ,即

?

?

x2 y2 ? ?1 2 2 3 椭圆 E 的方程 t 可化为 3x ? ty ? 3t ? 0
令 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 )

联立

?3x 2 ? ty 2 ? 3t ? 0 ? ? y ? k(x ? t )

得 (k t ? 3) x ? 2k t t x ? k t ? 3t ? 0
2 2 2 2 2

由韦达定理,有

? t x1 ?

k 2t 2 ? 3t k 2t ? 3

k 2t t ? 3 t t (3 ? k 2t ) ? x1 ? ? ? k 2t ? 3 3 ? k 2t
AM ? 1 ? k 2 x1 ? (? t ) ? 1 ? k 2 x1 ? t ? 1 ? k 2
于是
2

t (3 ? k 2t ) ? t 3 ? k 2t

6 t (1 ? k 2 ) 3 t ? k 2t t ? 3 t ? k 2t t 6 t 2 2 6 t ? 1? k ? 1? k ? 1? k ? 3 ? k 2t 3 ? k 2t 3 ? k 2t 3 ? k 2t

?3x 2 ? ty 2 ? 3t ? 0 ? 1 1 1 1 ? y ? ? ( x ? t ) ( 2 t ? 3) x 2 ? 2 2t t x ? 2 t 2 ? 3t ? 0 ? k k k 联立 ? 得 k

40

高中数学讲义之解析几何

1 2 t ? 3t 2 t 2 ? 3k 2t k ? t x2 ? ? 1 t ? 3k 2 t ? 3 2 k 则由韦达定理有

? x2 ? ?

t t ? 3k 2 t t (3k 2 ? t ) ? t ? 3k 2 3k 2 ? t
1 1 1 x ? ( ? t ) ? 1 ? 2 x2 ? t ? 1 ? 2 2 1 k k k t (3k 2 ? t ) ? t 3k 2 ? t

AN ? 1 ?
于是

? 1?

1 3k 2 t ? t t ? 3k 2 t ? t t 1 ? k 2 6k 2 t 1 ? k 2 6k 2 t 6k t (1 ? k 2 ) ? ? ? k2 3k 2 ? t k 3k 2 ? t k 3k 2 ? t 3k 2 ? t

又?

2 AM ? AN

?

12 t (1 ? k 2 ) 6k t (1 ? k 2 ) ? ? 3k ? k 3t ? 6k 2 ? 2t ? (k 3 ? 2)t ? 3k (2k ? 1) 3 ? k 2t 3k 2 ? t ( ?)

3 3 若 k ? 2 ,则( ? )式不成立,因此 k ? 2

于是由 (?) 式有, 又t ? 3

t?

3k (2k ? 1) k3 ? 2

?

3k ( 2k ? 1) 2k 2 ? k ? k 3 ? 2 ( k 2 ? 1)( 2 ? k ) ? 3 ? ? ?0 k3 ? 2 k3 ? 2 k3 ? 2

?

2?k ? 0 ? (k 3 ? 2)( k ? 2) ? 0 ? 3 2 ? k ? 2 3 k ?2

3 故 k 的取值范围是 ( 2 ,2)

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