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正切函数的图像和性质 课件_图文

1.4.3 正切函数的图像和性质

1.4.3 正切函数的图像和性质(二)
一.复习: 1.正切函数图像的画法:

y ? sin x (1).用”三点两线”法 (2).回忆:怎样类比正弦曲线的作法利用单位圆中的正切线作 出正切函数的图像的. 用几何画板演示 2.正切函数的周期:

? ?? ? 利用正切线画出函数 y ? tan x ,x ? ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 作法: (1) 等分: 把单位圆右半圆分成8等份。 ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线 ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

利用正切函数的周期性,把上述图象向x轴两边扩展 得到正切曲线:
y

3? ? 2

??

?

?
2

0

?
2

?

3? 2

x

练习:求下列函数的周期: k? () 1 y ? tan 2 x, x ? ? (k ? Z) 4 2 x (2)y ? 5 tan , x ? (2k ? 1)? (k ? Z) 2

?

二. 正切函数的性质:

结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、 正切函数的性质: 奇偶性和单调性. ⑤单调性 : R ?奇函数.正切曲线关于原点 ②值域: ? ? O 对称. ④奇偶性: x x ? ? k ? , k ? Z ⑥渐近线及对称性 : ①定义域: ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ? tan x ? ?? x? ? ?? ? ? k?, ? k ?k (k ?Z ) 内都是增 k?(x ? k? ? Z x 小于 ? ? ? ?? ? 正切函数在每个开区间 当 )且无限接近于 时, k ? ?? 渐近线方程是: , k Z 正切函数是周期函数,周期是 . 2? Z ),都有 2 2 tan ??( k ? ?? x ? ? ? tan x , ? ? ? k?, ? k? ∵任意 x ?2 2 2 ? 2: ? ? ? 对称中心 tan x ? ?? 当 x 大于 ? ? k?(k ? Z)且无限接近于? ? k? 时, 函数. 2 k? 2 ∴正切函数是奇函数. 对称中心: ( , 0), ( k ? Z )

2

正 切 函 数 图 像

⑶ 周期性: ?

? ⑴ 定义域: {x | x ? ? k?, k ? Z} 2 ⑵ 值域: R

⑷ 奇偶性: 奇函数,图象关于原点对称。

⑸ 单调性: 在每一个开区间 ? ? (? ? k? , ? k? ) ,k ? Z 内都是增函数。 2 2 k? ?
x ? k? ? (6)渐近线方程: 2

( , k ? Z 对称中心:

2

, 0), (k ? Z )

三.正切函数性质的应用
例1.不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:
? 13 ? ? 11 ? tan? ? ? ?与 tan? ? ? ? . tan 167 与 tan 173 ;(2) (1) ? 5 ? ? 4 ? 3? ?? ?? 11 ? ? ? ? 解:( 1 )∵ ??? tan? ? 90 ? 173 ? 180 ? ?? 167 ? (2)∵ tan ? 4 ? ? 4 ? ? 13 ?90 3 ? x? ? ?, ? 上是增函数 又 ∵ y ? tan ,在 270 tan? ? ? ? ? tan??? ?? ? 5 ? ? 5 ? ? ? tan 167 ? tan 173 3? 3? 3? ? ∴ 3? ? ? ? y ? tan x ?? ?? ? ? ,函数 ? ? 又∵? ,x ? ? ? , 2 4 5 2 2? ? 2
? ?

是增函数, ? 3? ? ? 3? ? ? 11? ? ? 13 ? ∴ tan? ? ? ? tan? ? ? 即 tan? ? ? ? tan? ? ? ? . ? 4 ? ? 5 ? ? 4 ? ? 5 ?

4.10 正切函数的图像和性质
?? ? 例2.求函数 y ? tan? x ? ? 的定义域. 4? ?
解: 令 z ? x ? ,那么函数 y ? tan z 的定义域是: 4 ? ? ? z z ? ? k ? , k ? Z ? ? 2 ? ? 由
x?

?

?

4

?z?

?

2

? k? ,可得 x ?

?

2

? k? ?

?

4

?

?

4

? k?

? ?? ? ? ? x x ? ? k ? , k ? Z y ? tan x ? 所以函数 ? ? 的定义域是 ? ? 4 4? ? ? ?

1.4.3 正切函数的图像和性质
小结: (1)y ? tan x 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 ? ? ?? ? ? , ? 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 ? 2 2? (2) y ? tan x 性质: 定义域 值 周 奇 单调增区间 域 期 偶 性 对 称 中心 渐近线 方程

? ? ? x x ? k ? ? , k ? Z ? ? 2 ? ?

R

?

作业:P46.A组.7,8

? ?? 奇 ? ? k ? ? , k ? ? ? ? ?k?, ? 0 x ? k ? ? 2 2? 函 ? 2 k ? Z 数 k?Z k?Z

谢谢大家指导!


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