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三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 高考练习题


第四章 第一节

三角函数及三角恒等变换

三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 第一部分 六年高考荟萃

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 浙江理) (9)设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x ) 不存在零点的是 . (A) ? ?4, ?2? 答案 A (B) ? ?2,0? (C) ?0, 2? (D) ? 2, 4?

解析:将 f ?x ? 的零点转化为函数 g ?x ? ? 4 sin?2 x ? 1?与h?x ? ? x 的交点,数形结合可知答案选 A,本题主 要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思想和数形结合思想的考察,对 能力要求较高,属较难题 2.(2010 浙江理) (4)设 0<x< (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案 B 解析:因为 0<x<

?
2

1 1 ,则“ x sin x< ”是“ x sin x< ”的
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

2

π 2 2 ,所以 sinx<1,故 xsin x<xsinx,结合 xsin x 与 xsinx 的取值范围相同,可知答 2

案选 B,本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义,以及转化思想和处理不等关系的能力, 属中档题 3.(2010 全国卷 2 文) (3)已知 sin ? ? (A) ?

2 ,则 cos( x ? 2? ) ? 3

1 1 5 5 (B) ? (C) (D) 9 9 3 3

【解析】B:本题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,

cos(? ? 2? ) ? ? cos 2? ? ?(1 ? 2sin 2 ? ) ? ?

?

1 9
)

4.(2010 福建文)2.计算 1 ? 2sin 22.5 的结果等于(

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 3

D.

3 2

【答案】B 【解析】原式= cos 45 =
?

2 ,故选 B. 2

【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值 5.(2010 全国卷 1 文) (1) cos 300? ? (A) ?

3 2

(B)-

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

【答案】 C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】 cos 300? ? cos ? 360? ? 60? ? ? cos 60? ?

1 2

6.(2010 全国卷 1 理)(2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 k

C.

k 1? k2

D. -

k 1? k2

二、填空题 1.(2010 全国卷 2 理) (13)已知 a 是第二象限的角, tan(? ? 2a ) ? ? 【答案】 ?

4 ,则 tan a ? 3



1 2

【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程,考查考生的计算能力. 【 解 析 】 由 tan(? ? 2a ) ? ?

4 4 2 t ? n a 4 n ? ?, 解 得 得 tan 2a ? ? , 又 t a a ?2 2 3 3 1? t a n ? 3 1 1 tan ? ? ? 或 tan ? ? 2 ,又 a 是第二象限的角,所以 tan ? ? ? . 2 2

2.(2010 全国卷 2 文) (13)已知α 是第二象限的角,tanα =1/ 2,则 cosα =__________

2 5 5 【解析】 ?

:本题考查了同角三角函数的基础知识

tan ? ? ?


1 2 5 cos ? ? ? 2 ,∴ 5 3 ,则 tan 2? ? 5
.

3.(2010 全国卷 1 文)(14)已知 ? 为第二象限的角, sin a ? 答案 ?

24 7

【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基 本运算能力及等价变换的解题技能. 【解析】因为

? 为 第 二 象 限 的 角 , 又 sin ? ?

tan(2? ) ?

2 tan ? 24 ?? 2 1 ? tan ? 7

3 4 sin ? 3 ? ?? ,所 , 所 以 c o s ? ? , tan ? ? 5 5 cos ? 4

4.(2010 全国卷 1 理)(14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

.

三、解答题 1.(2010 上海文)19.(本题满分 12 分) 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

x ? lg(cos x ? tan x ? 1 ? 2sin 2 ) ? lg[ 2 cos( x ? )] ? lg(1 ? sin 2 x) . 2 2
解析:原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx) ?0.
2

2.(2010 全国卷 2 理) (17) (本小题满分 10 分)

?ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD . 13 5

【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用,考查考 生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】

由 cos∠ADC=

>0,知 B<

.

由已知得 cosB=

,sin∠ADC=

.

从而 sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB=

=

.

由正弦定理得

,所以

=

.

【点评】三角函数与解三角形的综合性问题,是近几年高考的热点,在高考试题中频繁出现.这类题型难 度比较低,一般出现在 17 或 18 题,属于送分题,估计以后这类题型仍会保留,不会有太大改变.解决此 类问题,要根据已知条件,灵活运用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化. 3.(2010 全国卷 2 文) (17) (本小题满分 10 分)

? ABC 中, D 为边 BC 上的一点, BD ? 33 , sin B ?

5 3 , cos ?ADC ? ,求 AD 。 13 5

【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由 ?ADC 与 ? B 的差求出 ? BAD ,根据同角关系及差角公式求出 ? BAD 的正弦,在三角形 ABD 中,由 正弦定理可求得 AD。 4.(2010 四川理) (19) (本小题满分 12 分) (Ⅰ)1 证明两角和的余弦公式 C? ?? : cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? ; ○ [来源:学+科+网 Z+X+X+K] 2 ○由 C? ? ? 推导两角和的正弦公式 S? ?? : sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos ? sin ? . (Ⅱ)已知△ABC 的面积 S ?

? 1 ??? ???? 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。 解:(1)①如图,在执教坐标系 xOy 内做单位圆 O,并作出角 α 、β 与-β ,使角 α 的始边为 Ox,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于 P2;角 β 的始边为 OP2,终边交⊙O 于 P3;角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于 P4. 则 P1(1,0),P2(cosα ,sinα )

P3(cos(α +β ),sin(α +β )),P4(cos(-β ),sin(-β ))
由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cosα ] +[sin(-β )-sinα ] 展开并整理得:2-2cos(α +β )=2-2(cosα cosβ -sinα sinβ ) ∴cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ .????????4 分 ②由①易得 cos(
2 2 2 2

? ? -α )=sinα ,sin( -α )=cosα 2 2

sin(α +β )=cos[

? ? -(α +β )]=cos[( -α )+(- β )] 2 2 ? ? =cos( -α )cos(-β )-sin( -α )sin(-β ) 2 2
=sinα cosβ +cosα sinβ ??????????????6 分

(2)由题意,设△ABC 的角 B、C 的对边分别为 b、c 则 S=

1 1 bcsinA= 2 2 ??? ???? ? AB ? AC =bccosA=3>0

∴A∈(0,

? ),cosA=3sinA 2
2

又 sin A+cos A=1,∴sinA=

2

10 3 10 ,cosA= 10 10

由题意,cosB=

3 4 ,得 sinB= 5 5

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=

10 10 10 ??????????12 分 10

故 cosC=cos[π -(A+B)]=-cos(A+B)=- 5.(2010 天津文) (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B ? 。 AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

1 ?? ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3 3? ?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦 等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. (Ⅰ)证明:在△ABC 中,由正弦定理及已知得 (B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C. (Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA=

sin B cosB = .于是 sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin sin C cosC

1 . 3

又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos2 2B =

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

7 4 2 2 2 ,cos4B= cos 2 B ? sin 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

6.(2010 山东理)

7.(2010 湖北理) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= cos(

?

? 1 1 ? x) cos( ? x), g ( x) ? sin 2 x ? 3 3 2 4

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。

2009 年高考题 一、选择题
1.(2009 海南宁夏理,5).有四个关于三角函数的命题:

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 A. p1 , p4 答案 A

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ? x、y ? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

B. p2 , p4

C. p1 , p3

D. p2 , p4

2..(2009 辽宁理,8)已知函数 f ( x ) =Acos( ? x ? ? )的图象如图所示, f ( ) ? ?

?

2

2 ,则 f (0) =( 3



A. ? 答案

2 3
C

B.

2 3

C.-

1 2

D.

1 2

2 2 3.(2009 辽宁文,8)已知 tan ? ? 2 ,则 sin ? ? sin ? cos ? ? 2cos ? ? (



A. ?

4 3

B.

5 4

C. ?

3 4

D.

4 5

答案

D

4.(2009 全国 I 文,1) sin 585 °的值为 A. ? 答案

2 2
A

B.

2 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5.(2009 全国 I 文,4)已知 tan a =4,cot ? = A.

1 ,则 tan(a+ ? )= 3
D. ?





7 11
B

B. ?

7 11

C.

7 13

7 13

答案

6.(2009 全国 II 文,4) 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 , 则 cos A ? 5
D. ?

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

12 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

cos A ? ?

1 1 ? tan 2 A

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

7.(2009 全国 II 文,9)若将函数 y ? tan( ?x ?

?
4

)(? ? 0) 的图像向右平移


? 个单位长度后,与函数 6

y ? tan( ?x ?
A.

?
6

) 的图像重合,则 ? 的最小值为(
B.

1 6
D

1 4

C.

1 3

D.

1 2

答案

8.(2009 北京文) ? ? “ A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 答案 A

?
6

”是“ cos 2? ?

1 ”的 2

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查.k 本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?
6

时, cos 2? ? cos

?
3

?

1 1 ? ? ,反之,当 cos 2? ? 时, 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 2 3 6

或 2? ? 2k? ?

?
3

? ? ? k? ?

?
6

? k ? Z ? ,故应选 A.
??
1 ” 的 2
( )

9. 2009 北京理) ? ? ( “ A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 答案 A

?
6

? 2k? (k ? Z ) ”“ o s 2 是 c

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析 本题主要考查三角函数的基本概念、 简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、 基本运算的考查. 当? ?

?

?? ? 1 ? ? 2k? (k ? Z ) 时, cos 2? ? cos ? 4k? ? ? ? cos ? 6 3? 3 2 ?
1 ? ? 时,有 2? ? 2k? ? ? ? ? k? ? ? k ? Z ? , 2 3 6 ? ? ? k? ?

反之,当 cos 2? ? 或 2? ? 2k? ?

?
3

?
6

? k ? Z ? ,故应选 A.
12 ,则 cos A ? 5
D. ?

10.(2009 全国卷Ⅱ文)已知△ABC 中, cot A ? ? A.

12 13

B.

5 13

C. ?

5 13

12 13

答案:D 解析:本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排除 A 和 B,再由 5

cot A ?

cos A 12 12 ? ? , 和 sin 2 A ? cos 2 A ? 1求得 cos A ? ? 选 D sin A 5 13

11.(2009 四川卷文)已知函数 f ( x) ? sin( x ? A. 函数 f (x) 的最小正周期为 2 ? B. 函数 f (x) 在区间[0,

?
2

)( x ? R) ,下面结论错误的是 ..

? ]上是增函数 2

C.函数 f (x) 的图象关于直线 x =0 对称 D. 函数 f (x) 是奇函数 答案 D 解析∵ f ( x) ? sin( x ?

?
2

) ? ? cos x ,∴A、B、C 均正确,故错误的是 D

【易错提醒】利用诱导公式时,出现符号错误。

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.

12 , 则 cos A ? ( 5 5 13

) D. ?

12 13

B.

5 13

C. ?

12 13

解析:已知 ?ABC 中, cot A ? ?

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2

cos A ? ?

1 1 ? tan A
2

??

1 5 1 ? (? ) 2 12

??

12 13

故选 D.

答案 D 13.(2009 湖北卷文) “sin ? = A.充分而不必要条件 C.充要条件 答案 A 解析 由 cos 2a ?
1 1 ”是“ cos 2? ? ” 的 ( 2 2



B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 1 1 1 2 2 可得 sin a ? ? ,故 sin a ? 是sin a ? 成立的充分不必要条件,故选 A. 2 2 2 4

0 0 0

14.(2009 重庆卷文)下列关系式中正确的是( A. sin11 ? cos10 ? sin168
0 0 0 0 0 0 0

B. sin168 ? sin11 ? cos10
0

C. sin11 ? sin168 ? cos10
0

D. sin168 ? cos10 ? sin11

答案 C 解析 因为 sin160 ? sin(180 ?12 ) ? sin12 ,cos10 ? cos(90 ? 80 ) ? sin80 ,由于正弦函数
? ? ? ? ? ? ? ?

y ? sin x 在区间 [0? ,90? ] 上为递增函数,因此 sin11? ? sin12? ? sin 80? ,即 sin11? ? sin160? ? cos10?
二、填空题 15.(2009 北京文)若 sin ? ? ? 答案

4 , tan ? ? 0 ,则 cos ? ? 5

.

?

3 5
属于基础知识、基本运算的考查.
2

解析 本题主要考查简单的三角函数的运算.

3 3 ? 4? 2 由已知, ? 在第三象限,∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ,∴应填 ? . 5 5 ? 5?
16.(2009 湖北卷理)已知函数 f ( x) ? f '( ) cos x ? sin x, 则 f ( ) 的值为

?

?

4

4

.

答案 1

解析 因为 f '( x) ? ? f '( ) ? sin x ? cos x 所以 f '( ) ? ? f '( ) ? sin

?

?

?

?
4

4

4

4

? cos

?
4

? f '( ) ? 2 ? 1 故 f ( ) ? f '( ) cos ? sin ? f ( ) ? 1 4 4 4 4 4 4
三、解答题 17.(2009 江苏,15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b . 分析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的 正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

?

18.(2009广 东 卷 理 ) (本小题满分12分) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2

2 2 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入 sin ? ? cos ? ? 1 得

sin ? ? ?
∴ sin ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5
2 5 5 , cos? ? . 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2

,则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? ) ?

2 . 2

19.(2009 安徽卷理)在 ? ABC 中, sin(C ? A) ? 1 , sinB= (I)求 sinA 的值; (II)设 AC= 6 ,求 ? ABC 的面积.

1 . 3

本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识,考查运算求解能力。 (Ⅰ)由 C ? A ?
2 ∴ sin A ?

? ? B ? B 2 B B ,且 C ? A ? ? ? B ,∴ A ? ? ,∴ sin A ? sin( ? ) ? (cos ? sin ) , 2 4 2 4 2 2 2 2
C

1 1 3 (1 ? sin B) ? ,又 sin A ? 0 ,∴ sin A ? 2 3 3

(Ⅱ)如图,由正弦定理得

AC BC ? sin B sin A

A

B

AC sin A ∴ BC ? ? sin B

6? 1 3

3 3 ? 3 2 ,又 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

3 2 2 6 1 6 ? ? ? ? 3 3 3 3 3 1 1 6 AC ? BC ? sin C ? ? 6 ? 3 2 ? ?3 2 2 2 3

∴ S?ABC ?

20.(2009 天津卷文)在 ?ABC 中, BC ? 5, AC ? 3, sin C ? 2 sin A (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
4

) 的值。 AB BC BC ? ? 2 BC ? 2 5 ,于是 AB ? sin C sin C sin A sin A

(1)解:在 ?ABC 中,根据正弦定理,

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 (2)解:在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A ? 2 AB ? AC
于是 sin A ? 1 ? cos2 A =

5 , 5
4 3 , cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 5 5

从而 sin 2 A ? 2 sin A cos A ?

? ? ? 2 sin(2 A ? ) ? sin 2 A cos ? cos 2 A sin ? 4 4 4 10
【考点定位】本题主要考查正弦定理,余弦定理同角的三角函数的关系式,二倍角的正弦和余弦,两角差 的正弦等基础知识,考查基本运算能力。

21.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且

sin A ?

5 10 ,sin B ? 5 10

(I)求 A ? B 的值; (II)若 a ? b ?

2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
5 10 ,sin B ? 5 10

解(I)∵ A、B 为锐角, sin A ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

2 5 3 10 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 5 10 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ?
∵ 0 ? A? B ?? ∴ A? B ?

?
4

????????????????6 分

(II)由(I)知 C ? 由

3? 2 ,∴ sin C ? 4 2

a b c ? ? 得 sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b
又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1

2b ? b ? 2 ?1



b ?1

a ? 2, c ? 5
? ?

????????????????12 分

22.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (Ⅰ)若 a / / b ,求 tan ? 的值; (Ⅱ)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ? , 求 ? 的值。 解: (Ⅰ) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? , 于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ? (Ⅱ)由 | a |?| b | 知, sin
2

?

?

?

?

?

?

1 . 4

?

?

2

? ? (cos? ? 2sin ? )2 ? 5,

所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5. 从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1,

于是 sin(2? ? 所以 2? ? 因此 ? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

?
4

?

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 3? . 4

?
2

,或 ? ?

23.(2009 天津卷理)在⊿ABC 中,BC= 5 ,AC=3,sinC=2sinA (I) 求 AB 的值: (II) 求 sin ? 2 A ?

? ?

??

? 的值 4?

本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等 基础知识,考查基本运算能力。满分 12 分。 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理, 于是 AB=
sinC BC ? 2BC ? 2 5 sin A AB BC ? sinC sin A

(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得 cosA= 于是 sinA= 1 ? cos2 A ? 从而 sin2A=2sinAcosA= 所以 sin(2A5 5

AB2 ? AC2 ? BD2 2 5 ? 2 AB ? AC 5

4 3 2 2 ,cos2A=cos A-sin A= 5 5

? ? ? 2 )=sin2Acos -cos2Asin = 4 4 4 10

2005—2008 年高考题 一、选择题 1.(2008 山东)已知 a,b,c 为 △ ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量

m ? ( 3,1),n ? (cos A, A) .若 m ? n ,且 a cos B ? b cos A ? c sin C ,则角 A,B 的大小分别为 ? sin
( )

A. , 答案 C

π π 6 3

B.

2π π , 3 6

C. ,

π π 3 6

D. ,

π π 3 3

解析 本小题主要考查解三角形问题.? 3 cos A ? sin A ? 0 ,

?A?

?
3

; ? sin A cos B ? sin B cos A ? sin 2 C,

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C ,
C?

? π . ? B ? .选 C. 本题在求角 B 时,也可用验证法. 2 6
3 ? sin 70? ?( 2 ? cos 2 10?
C. 2 D. )

2.(2008 海南、宁夏)

A.

1 2

B.

2 2

3 2

答案 C 解析

3 ? sin 70? 3 ? cos 20? 3 ? (2cos 2 20? ? 1) ? ? ? 2 ,选 C 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10? 2 ? cos 2 10?
) B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角

3.(2007 北京)已知 cos ? ? tan ? ? 0 ,那么角 ? 是( A.第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 答案 C 4.(2007 重庆)下列各式中,值为 A. 2sin15 cos15 C. 2sin 15 ? 1
2 ? ? ?

3 的是( 2
2 ? 2


? ?

B. cos 15 ? sin 15
2 ? 2

D. sin 15 ? cos 15

答案 B 5.(2007 江西)若 tan ? ? 3 , tan ? ? A. ?3 答案 D 6.(2007 全国 I) ? 是第四象限角, tan ? ? ? A. B. ?

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3
D.



1 3

C. 3

1 3

5 ,则 sin ? ? ( 12 5 13



1 5

B. ?

1 5

C.

5 13

D. ?

答案 D 7.(2006福建)已知 ? ? ( ? , ? ),sin ? ? 3 , 则 tan(? ? ? ) 等于 ( A. )

1 答案 7A

B. 7

2

C.

?

1 7

D. ?7

5

4

8.(2006年湖北)若△ ABC 的内角

A 满足 sin 2 A ? 2 ,则 sin A ? cos A =( )
3
C.

A. 答案 A

15 3

B. ?

15 3

5 3

D. ?

5 3

9.(2005 全国 III)已知 ? 为第三象限角,则 A.第一或第二象限 C.第一或第三象限 答案 D 10.(2005 全国 I)在 ?ABC 中,已知 tan ① tan A ? cot B ? 1 ③ sin 2 A ? cos2 B ? 1 其中正确的是( A.①③ 答案 B 二、填空题 ) B.②④

?
2

所在的象限是

B.第二或第三象限 D.第二或第四象限

A? B ? sin C ,给出以下四个论断: 2
② 0 ? sin A ? sin B ?

2

④ cos2 A ? cos2 B ? sin 2 C

C.①④

D.②③

11. (2008 山东) 已知 a, , 为△ABC 的三个内角 A, , 的对边, b c B C 向量 m= ( 3,?1 ) n= , (cosA,sinA) . 若 m⊥n,且 acosB +bcosA=csinC,则角 B= 答案

? 6

解析 本题考查解三角形

3 cos A ? sin A ? 0 , A ?

? , sin A cos B ? sin B cos A ? sin C sin C , 3 ? ? .∴ B ? 。 2 6
π , 3

sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ? sin 2 C , C ?

(2007 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 ,b= 7 ,c ? 3 ,C ? 则B ? 答案 .

5π 6
数学家赵爽的 一个大正方形

12.(2007 北京)2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代 弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的

(如图) .如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 ? ,那么 cos 2? 的 值等于 答案

7 25

13.(2006 年上海春卷)在△ ABC中,已知 BC ? 8,

AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos2C ?

答案

7 25

三、解答题

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 , 14.(2008 北京)已知函数 f ( x) ? cos x
(1)求 f ( x ) 的定义域; (2)设 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ?

?

4 ,求 f (? ) 的值. 3

解: (1)依题意,有 cosx?0,解得 x?k?+

? , 2

即 f ( x ) 的定义域为{x|x?R,且 x?k?+

? ,k?Z} 2

1 ? 2 sin(2 x ? ) 4 =-2sinx+2cosx? f (? ) =-2sin?+2cos? (2) f ( x) ? cos x
由 ? 是第四象限的角,且 tan ? ? ? ? f (? ) =-2sin?+2cos?=

?

4 4 3 可得 sin?=- ,cos?= 3 5 5

14 5

15.(2008 江苏)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,以 ox 轴为始边做两个锐角 ? , ? ,它们的终边分别与 单位圆相交于 A,B 两点,已知 A,B 的横坐标分别为 (1) 求 tan(? ? ? ) 的值; 解

2 2 5 , 10 5

(2) 求 ? ? 2 ? 的值。 式。

本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公

由条件得 cos ? ?

2 2 5 , ?? 为锐角, ,cos ? ? 10 5

故 sin ? ? 0且 sin ? ?

7 2 5 。同理可得 sin ? ? , 10 5

因此 tan ? ? 7, tan ? ?

1 。 2

1 7? tan ? ? tan ? 2 =-3 。 (1) tan(? ? ? ) ? ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? 7 ? 1 2
(2) tan(? ? 2? ) ? tan[(? ? ? ) ? ? ] ?

?3 ?

1 2

1 1 ? (?3) ? 2

=-1 ,

?0 ? ? ?

?
2

,0 ? ? ?

?
2

, ? 0 ? ? ? 2? ?

3? 3? ,从而 ? ? 2 ? ? 。 2 4

16.(2007 安徽)已知 0 ? ? ?

? ?? ? ? 1 ? ? ? ,? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ? ? 的最小正周期, a ? ? tan ? ? ? ? ?, 1?, ? ? ?? 4 ? ? ? ? ?

2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) · b ? (cos ?, ,且 a b ? m .求 2) 的值. cos ? ? sin ?
解:因为 ? 为 f ( x) ? cos ? 2 x ?

? ?

π? ? 的最小正周期,故 ? ? π . 8? ? ? 1 ? ? ??2. 4 ?

· 因 a b ? m ,又 a b ? cos ? tan ? ? ? · ·
故 cos ? tan ? ? ? · 由于 0 ? ? ?

? ?

1 ? ? ? ? m?2. 4 ?

π ,所以 4

2cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) 2cos 2 ? ? sin(2? ? 2π) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 2cos 2 ? ? sin 2? 2cos ? (cos ? ? sin ? ) ? ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ?

? 2cos ?

1 ? tan ? π? ? ? 2cos ? tan ? ? ? ? ? 2(2 ? m) · 1 ? tan ? 4? ?
三角形 ?ABC 三内角,向量, ?1, 3 , n ? cos A,sin A m? ? ?

17.(2006年四川卷)已知B, C A,

??

?? ? m? n ?1 且

?

?

?

(Ⅰ)求角 A ;

1 ? sin 2 B ? ?3 2 2 (Ⅱ)若 cos B ? sin B ,求 tan B

?? ? ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 m? n ?1 ∴ 解: (Ⅰ)∵ 即 3 sin A ? cos A ? 1
? 3 1? 2 ? sin A ? ? cos A ? ? ? 1 ? 2 2? ? ? ,

?

?

?? 1 ? sin ? A ? ? ? 6? 2 ?

0 ? A ? ?,?


?
6

? A?

?
6

?

5? 6

A?


?
6

?

?
6


A?

?
3

1 ? 2sin B cos B ? ?3 2 2 2 2 (Ⅱ)由题知 cos B ? sin B ,整理得 sin B ? sin B cos B ? 2cos B ? 0
∴ cos B ? 0 ∴ tan B ? tan B ? 2 ? 0
2

∴ tan B ? 2 或 tan B ? ?1 而 tan B ? ?1 使 cos B ? sin B ? 0 ,舍去
2 2

∴ tan B ? 2

tan A ? tan B ? ? 2 ? 3 8 ? 5 3 ?? ? tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? 1? 2 3 1 ? tan A tan B 11 ∴

第二部分

四年联考汇编

2010 年联考题
题组一(6 月份更新)
一、填空题 1.(2010 届昆明一中一次月考理)在 ?ABC 中, ? A 、 ? B 、 ?C 所对的边长分别是 a 、 b 、 c .满足

2a cos C ? c cos A ? b .则 sin A ? sin B 的最大值是
A、

2 2

B、 1

C 、 2

D、

1? 2 2

答案:C 2. (2010 届 肥城市第二次联考) (文)已知函数 y ? sin x ,则(
2

).

(A) 有最小正周期为 2? (C) 有最小正周期为 答案 B

(B) 有最小正周期为 ? (D) 无最小正周期

? 2

3.(2010 届昆明一中三次月考理)已知 tan ? ? 2 ,则 A.-3 B.3

cos ? ? sin ? ? cos ? ? sin ?
D.-2

C.2

答案:A 4. (2010 届安徽六校联考)函数 y ? tan?x (? ? 0) 与直线 y ? a 相交于 A 、 B 两点,且 | AB | 最小值为 ? ,则函 数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x 的单调增区间是( ) A. [2k? ? ,2k? ? ] (k ? Z )
6 6

?

?

B. [2k? ? ,2k? ?
3

?

2? ] (k ? Z ) 3 5? ] (k ? Z ) 6

C. [2k? ? 答案 B

2? ? ,2k? ? ] (k ? Z ) 3 3

D. [2k? ? ,2k? ?
6

?

5. ( 2010 届 岳 野 两 校 联 考 ) 若 a,

b,

c 是 三 角 形 ABC 的 角 A 、 B 、 C 所 对 的 三 边 , 向 量 )三角形。

m ? (a sin A ? b sin B, sin C) , n ? (?1, b ? c) ,若 m ? n ,则三角形 ABC 为(
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D.

不能确定

答案 C 6. (2010 届祥云一中三次月考理)Sin570°的值是 A.

1 2

B.

3 2

C.-

1 2

D. -

3 2

答案:C 二、填空题 1.(2010 届肥城市第二次联考)已知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 为偶函数, ( x1 ,2), ( x2 ,2) 为其图 象上两点,若 x1 ? x2 的最小值为 ? ,则 ? ? ,? ? 。

解析: 由题意分析知函数 y ? 2 sin(?x ? ? ) 的周期为 T ? ? ,? ? ?

2?

?

? 2, 又因为函数

y ? 2 sin(?x ? ? ) (0 ? ? ? ? ) 为偶函数,所以必须变换成余弦函数形式,综合分析知 ? ? 2, ? ?
2. (2010 届安庆市四校元旦联考)若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于 答案 sin ? 3.(2010 届祥云一中月考理) tan 答案:2 4.(2010 届祥云一中月考理) cot 答案:2 .

?
2



?
12

? 3?



?
12

? 3?



3 ? 1? ? arccos ? ? ? 2 ? 2? ? 5. (2010 届昆明一中四次月考理)求值 ? 1? arctan ? 3 ? arcsin? ? ? ? 2? arcsin

?

?

.

答案:

2 3

三、解答题 1. (2010 届岳野两校联考) (本小题满分 12 分)已知△ABC 的三个内角分别为 A、B、C,向量 m = (sinB,

1 1 – cosB)与向量 n = (2,0)夹角 ? 的余弦值为 2 .

(1)求角 B 的大小; (2)求 sinA + sinC 的取值范围.

解: (1)m =
cos ? ?

(2sin

B B B B B B cos ,2sin 2 ) ? 2sin (cos ,sin ) 2 2 2 2 2 2

m?n 2sin B B ? ? cos | m | ? | n | 2sin B ? 2 2 2

由题知,

cos? ?

1 B 1 cos ? 2 ,故 2 2

?????????????3 分 B ? 2 ? ? ∴ 2 3 ∴B = 3 ????6 分

?
(2)sinA + sinC = sinA + sin( 3 =

?A

)

sin A ? sin

?
3

cos A ? cos sin A 3
A ? (0, ) 3

?

1 3 ? sin A ? cos A ? sin( A ? ) 2 3 =2

?

??????????10 分

? ? 2? ( , ) ∵A + 3 ∈ 3 3

3 ? ( ,1] ∴sin(A + 3 )∈ 2

3 ,1] 2 ∴sinA + sinC 的取值范围是 . (

????????????????12 分

题组二(3 月份更新)
一、选择题 1.(2010 届玉溪一中期末)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是( )

A.第一象限角 答案 C

B. 第二象限角

C. 第三象限角

D. 第四象 限角

2.(2010 届滨州一模)(4)△ABC 中, AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30? ,则△ABC 的面积等于[来源:Zxxk.Com]

A. 答案 D

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4

3.(2010 届昆明市期末)已知 tanα =2,则 cos(2α +π )等于 A. 答案 A 4.(2010 届临沂一模)使奇函数 f(x)=sin(2x+θ )+ 3 cos(2x+θ )在[ ? A、 ? 答案 D 5.(2010 届泰安一模)若

( D. ?



3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

4 5

?
4

,0]上为减函数的θ 值为

?
3

B、 ?

?
6

C、
tan a ?

5? 6

D、

2? 3

1 10 ? ? ? ? , a ? ( , ), 则sin(2a+ )的值为 tan a 3 4 2 4

A.

?

2 10

B.

2 10

C

5 2 10

D.

7 2 10


6.(2010 届茂名一模)角 ? 终边过点 (?1, 2) ,则 cos ? =(

A、 答案 C

5 5

B、

2 5 5

C、 ?

5 5

D、 ?

2 5 5

7.(2010 届枣庄一模)已知 sin( K] A. ?

?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是( 6 3 3 1 3 7 9

)[来源:学。科。网 Z。X。X。

7 9

B. ?

1 3

C.

D.

8. (2010 届韶关一模) 电流强度 I(安) 随时间 t 秒) ( 变化的函数 I ? A sin(?t ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? 的图象如右图所示,则当 t ? A. ?5 安

?
2

)

1 秒时,电流强度是 100
B. 5 安

C. 5 3 安 答案 A

D. 10 安

9.(2010 届潍坊一模) sin 45 ? cos15 ? cos 225 ? sin15 的值为
0 0 0 0

(A) 答案 C

3 2

(B) -

1 1 (C) 2 2

3 (D) 2

10.(2010 届深圳一模)已知点 P (sin A. 答案 D 二、填空题 11.(2010 届聊城一模)

? 4

3 3 ? , cos ? ) 落在角 ? 的终边上,且 ? ?[0, 2? ) ,则 ? 的值为 4 4 3? 5? 7? B. C. D. 4 4 4

在 ?ABC 中, 角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, 若其面积 S ?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ), 4

则?A =
答案



? 4
?
4 ? x) ? 3 ,则 sin 2x 的值为 5


12.(2010 届青岛一模)已知 sin( 答案

7 25

13.(2009 泰安一模)在 △ ABC 中,AB=2,AC= 6 ,BC=1+ 3 ,AD 为边 BC 上的高,则 AD 的长 是 答案 。

3

三、解答题 14.(2010 届青岛一模)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 的对边长,已知 2 sin A ? 3 cos A . (Ⅰ)若 a ? c ? b ? mbc,求实数 m 的值;
2 2 2

(Ⅱ)若 a ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值.
2

解:(Ⅰ) 由 2 sin A ? 3 cos A 两边平方得: 2 sin A ? 3 cos A

即 (2 cos A ? 1)(cosA ? 2) ? 0 解得: cos A ?

1 ??????????3 分 2
2

而 a ? c ? b ? mbc可以变形为
2 2

b2 ? c2 ? a2 m ? 2bc 2

即 cos A ?

m 1 ? ,所以 m ? 1 ??????????6 分 2 2
1 3 ,则 sin A ? ??????????7 分 2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 cos A ?



b2 ? c2 ? a2 1 ? ??????????8 分 2bc 2
2 2 2 2 2

所以 bc ? b ? c ? a ? 2bc ? a 即 bc ? a ??????????10 分 故 S ?ABC ?

bc a2 3 3 3 ????????????12 分 sin A ? ? ? 2 2 2 4
4 . 5

15.(2010 届东莞一模)在 △ ABC 中,已知 AC ? 2 , BC ? 3 , cos A ? ? (1)求 sin B 的值; (2)求 sin ? 2 B ? 解: (1)由 cos A ? ?

? ?

?? ? 的值. 6?

4 3 可得 sin A ? 5 5

(----------2 分)

所以由正弦定理可得 sin B =

2 (---------5 分) 5

(2)由已知可知 A 为钝角,故得 cos B ?

21 (---------7 分) 5

从而 sin 2 B ? 2 sin B cos B ?

4 21 17 , cos2B ? 1 ? 2 sin 2 B ? , (---10 分) 25 25

所以 sin(2 B ?

?
6

)?

3 1 12 7 ? 17 sin B ? cos B ? (----------12 分) 2 2 50
x x x cos ? 3 cos 2 . 3 3 3

16.(2010 届上海奉贤区模拟考)已知函数 f ( x) ? sin

(1)将 f ( x ) 写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;

(2)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x ,试求角 x 的范围及此时函数 f ( x ) 的值 域.

2

x x x f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 3 3 3
=

-------(1 分)

1 2x 3 2x 3 sin ? cos ? 2 3 2 3 2 2x ? 3 ? )? 3 3 2

-------(1 分)

= sin(

-------(1 分)

若 x 为其图象对称中心的横坐标,即 sin(

2x ? ? ? k? , 3 3 3 ? 解得: x ? k? ? (k ? Z ) 2 2

2x ? ? ) =0, 3 3

-------(1 分)

-------(1 分) -------(1 分)

a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac ? ? (2) cos x ? , 2ac 2ac 2ac
即 cos x ?

-------(2 分)

1 ? ,而 x ? (0, ? ) ,所以 x ? (0, ] 。 2 3 2x ? ? 8? 2x ? 8? ? ? ( , ] , sin( ? ) ? [sin ,1] , 3 3 3 9 3 3 9

-------(2 分) -------(2 分)

所以 f ( x) ? [sin

8? 3 3 ? ,1 ? ] 9 2 2

------(2 分)

17.(2010 届冠龙高级中学 3 月月考)知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) (其中 ? ? 0, ? ?

?

2 ? ? 若函数 y ? f (x) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为 , 且直线 x ? 是函数 y ? f (x) 图像 2 6
的一条对称轴. (1)求 y ? f (x) 的表达式. (2)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. (1)由函数 y ? f ( x ) 的图像与 x 轴的任意两个相邻交点间的距离为
? 得函数周期为 ? , 2

), g ( x) ? 2 sin x .
2

?? ? 2
? ? 2k? ?

? 直线 x ?

? ? 是函数 y ? f ( x ) 图像的一条对称轴,? sin(2 ? ? ?) ? ?1 , 6 6 ? ? f (x) ? sin(2x ? ) . 6

? 7? ? ? 或 2k? ? , (k ? Z ) , ? ? ? , ? ? ? . 6 6 2 6

? ? (2) h(x) ? sin(2x ? ) ? cos 2x ? 1 ? sin(2x ? ) ? 1 6 6 ? 2k? ? ? ? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z) , 2 6 2 ? ? ? x ? k? ? (k ? Z) . 6 3

即函数 h( x) 的单调递增区间为 k? ?

18.(2010 届昆明市期末)如图△ABC,D 是∠BAC 的平分线 (Ⅰ)用正弦定理证明:

AB BD ? ; AC DC

(Ⅱ)若∠BAC=120°,AB=2,AC=1,求 AD 的长。 (Ⅰ)证明:设∠ADB=α ,∠BAD=β ,则∠ADC=180°-α ,∠CAD=β 由正弦定理得,在△ABD 中,

AB BD ? , sin ? sin ?



在△ACD 中,

AC DC ? , sin(180 ? ? ) sin ?
sin ? ? sin(180? ? ? ),



又 由①②③得:



AB BD ? ······················ 分 ······················4 AC DC

(Ⅱ)解:在△ABC 中,由余弦定理得

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos?BAC
=4+1-2×2×1×cos120°=7. 设 BD=x,DC=y,则 x+y= 7 由(Ⅰ)得 ④ 故 BC= 7 2 0 0 9 0 2 0 9

x ? 2, 即x ? 2 y. y
联立④⑤解得



x?

2 7 7 ,y ? . 3 3

故 cos B ?

AB2 ? BC 2 ? AC 2 5 ? 2 AB ? BC 2 7

在△ABD 中,由余弦定理得

AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos?ABD
=4?( 所以 AD ?

2 7 2 2 7 5 4 ) ? 2? 2? ? ? . 3 3 2 7 9

2 ···························· ····························10 分 3
2009 年联考题

一、选择题 1.(2009 年 4 月北京海淀区高三一模文)若 sin ? ? cos ? ? 0 ,且 cos ? ? 0 ,则角 ? 是 ( ) B. 第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角

A.第一象限角 答案 C

2. (北京市崇文区 2009 年 3 月高三统一考试理)已知 sin ? ? cos ? ? A. ? 答案 D

1 ,则 sin 2? 的值为 ( 3
D.

)

2 3

B.

2 3

C. ?

8 9

8 9

3.(北京市东城区 2009 年 3 月高中示范校高三质量检测文)已知 sin ? ? ( A. ? 答案 )

4 , sin ? ? cos ? ? 1 ,则 sin 2? = 5

24 25
A

B. ?

12 25

C. ?

4 5

D.

24 25

4.(2009 福州三中)已知 tan? ? ? A. ? 答案

3 ,且 tan(sin ? ) ? tan ? cos ? ? 则 sin?的值为 4
C. ?





3 5
B

B.

3 5

3 5

D. ?

4 5

二、填空题 5.(20009 青岛一模)已知 sin( 答案

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2x 的值为 5



7 25

6.(沈阳二中 2009 届高三期末数学试题)

在△ABC 中,若 tan A ? 答案: 10 . 三、解答题

1 , C ? 150?, BC ? 2 ,则 AB= 3

.

7.(2009 厦门集美中学)已知 tan (2)

?
2

=2,求 (1) tan(? ?

?
4

) 的值;

6 sin ? ? cos ? 的值. 3sin ? ? 2 cos ?

? 2 tan ? 2 ? 2? 2 ? ? 4 ; 解: (I)∵ tan =2, ∴ tan ? ? ? 1? 4 2 3 1 ? tan 2 2
4 ? ?1 tan ? ? 1 1 4 ? 所以 tan(? ? ) ? = 3 ?? ; 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? 4 7 4 3

?

tan ? ? tan

?

4 6(? ) ? 1 7 4 6 sin ? ? cos ? 6 tan ? ? 1 3 (II)由(I), tanα =- , 所以 = = ? . 4 3 3sin ? ? 2 cos ? 3 tan ? ? 2 3(? ) ? 2 6 3
8.(2009 年福建省普通高中毕业班质量检查)已知 sin ?? ? ? ? ? (1)求 sin 2? ? cos (2)求函数 f ? x ? ?
2

4 ? ?? , ? ? ? 0, ? 5 ? 2?

?
2

的值

5 1 cos ? sin 2 x ? cos 2 x 的单调递增区间。 6 2

4 4 ? sin ?? ? ? ? ? ,? sin ? ? 5 5 3 ? ?? 又 ?? ? ? 0, ? ,? cos ? ? 5 ? 2?
(I)

sin 2? ? cos 2

?
2

1 ? cos ? 2 3 1? 4 3 ? 2? ? ? 5 5 5 2 4 25 ? 2sin ? cos ? ?

(II)

5 3 1 f ? x? ? ? s i n x ? 2 c ox 2 s 6 5 2 2 ?? ? ? sin x? ? ? 2 2 4? ? 令 2 k? ?

?
2

2 3? 得k ? ? ? x ? k ? ? ,k ?Z 8 8

? 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?

?

? 3? ? ? ? 函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? k ? Z 8 8 ? ?
9.(2009 年龙岩市普通高中毕业班单科质量检查)已知 ? ? ( (Ⅰ)求 cos? 的值; (Ⅱ)若 sin(? ? ? ) ? ?

?
2

, ? ) ,且 sin

?
2

? cos

?
2

?

2 3 . 3

3 ? , ? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2

解: (Ⅰ)因为 sin 所以 1 ? 2sin 因为 ? ? (

?
2

? cos
?

?
2

?

2 3 , 3
??????????(2 分)

?
2

cos

?
2

4 1 , sin ? ? . 3 3

?
2

,? ) ,
2

所以 cos ? ? ? 1 ? sin (Ⅱ)因为 ? ? (

? ? ? 1?

1 2 2 . ????????(6 分) ?? 9 3

?

? ? 3? , ? ), ? ? (0, ) ,所以 ? ? ? ? ( , ) 2 2 2 2

又 sin(? ? ? ) ? ?

3 4 ,得 cos(? ? ? ) ? ? . ??????????(9 分) 5 5

sin ? ? sin ?(? ? ? ) ? ? ?
? sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos(? ? ? ) ? sin ?

3 3 2 4 1 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? 5 3 5 3 ? 6 2?4 . 15
??????????????????(12 分)
x 2 x x 1 ? cos2 ? . 2 2 2

10.(银川一中 2009 届高三年级第一次模拟考试)已知函数 f ( x ) ? sin cos (1)若 f (? ) ?

2 , ? ? ?0, ? ?, 求?的值; 4
? ? ? , ? ? 上最大值和最小值 ? 4 ?

(2)求函数 f ( x ) 在 ? ? 解: (1) f ( x) ?

1 1 ? cos x 1 1 2 ? sin x ? ? ? (sin x ? cos x) ? sin(x ? ) ?2 分 2 2 2 2 2 4

由题意知 f (? ) ?

? 1 2 ? 2 ,即 sin(? ? ) ? sin(? ? ) ? 4 2 2 4 4
? ? 5? ?( , ) 4 4 4
? ?
7? 12
?
4 ? 5? 4

????3 分

∵ ? ? (0, ? ) 即 ? ? ∴ ? ? ? ? 5? 4 6 (2)∵
?

?
?? ?? 即

????6 分 ????8 分 ????12 分

?
4

0?? ?

∴ f ( x) max ? f ( ? ) ? 2 , f ( x) min ? f (? ) ? ? 1 2 4 2 11.在 ?ABC 中, cos A ? ? (1)求 sin C 的值 (2)设 BC ? 5 ,求 ?ABC 的面积 解(I)由 cos A ? ? 由 cos B ?

5 3 , cos B ? , 13 5

5 12 ,sin A ? ,得 13 13

3 4 ,sin B ? ,得 5 5

又 A? B ?C ??

所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ?

16 65

4 5? BC ? sin B 5 ? 13 (II)由正弦定理得 AC ? ? 12 sin A 3 13
所以 ?ABC 的面积 S ?

1 1 13 16 8 ? BC ? AC ? sin C ? ? 5 ? ? ? 2 2 3 65 3
庄 市 2009 届 高 三 年 级 一 模 考 ) 已 知 函 数

12.



山 东

省 枣

f ( x) ? sin 2 ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
(1)求 f (x); (2)当 x ? [?

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为 ?

, ]时, 求函数 f ( x) 的值域。 12 2 1 ? cos 2?x ? 3 sin ?x cos ?x 2
2分

? ?

解: (1) f ( x) ?

?

3 1 1 ? 1 sin 2?x ? cos 2?x ? ? sin(2?x ? ) ? . 2 2 2 6 2
2? ? ? , 解得 ? ? 1. 2?

4分

?函数f ( x)的最小正周期为 , 且? ? 0, ?
?

? f ( x) ? sin( 2 x ?
(2)? x ? [?

?

1 )? . 6 2

6分

? ? 5? , ],? 2 x ? ? [? , ]. 12 2 6 3 6
?
3

? ?

根据正弦函数的图象可得: 当 2x ?

?
6

?

?
2

, 即x ?

时,

g ( x) ? sin( 2 x ?
当 2x ?

?
6

) 取最大值 1

8分

?
6

??

?
3

,即x ? ?

?
12



? 3 g ( x) ? sin(2 x ? )取最小值 ? . 6 2

10 分

1 3 ? 1 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 6 2 2
即 f ( x)的值域为 [

1? 3 3 , ]. 2 2

12 分

13.(2009 广东地区高三模拟)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a+b=5,c = 7 ,且

4 sin 2

A? B 7 ? cos 2C ? . 2 2

(1) 求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. (1) 解:∵A+B+C=180° 由 4 sin 2 ∴4?

A? B 7 C 7 ? cos 2C ? 得4 cos 2 ? cos 2C ? 2 2 2 2
??????3 分 ????4 分

????1 分

1 ? cos C 7 ? (2 cos 2 C ? 1) ? 2 2
2

整理,得 4 cos C ? 4 cosC ? 1 ? 0 解 得: cos C ?

1 2

??5 分 ∴C=60°
2 2

∵ 0? ? C ? 180 ?

??????6 分
2 2 2

(2)解:由余弦定理得:c =a +b -2abcosC,即 7=a +b -ab ????7 分 ∴ 7 ? (a ? b) 2 ? 3ab ??????8 分

由条件 a+b=5 得 7=25-3ab ?? 9 分

ab=6 ??10 分
∴ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 ab sin C ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

????12 分 2007—2008 年联考题

一、选择题 1、(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)已知 sin2?=-

24 π , ?∈(- ,0),则 sin?+cos?=( 4 25
D.



A.-

1 5

B.

1 5

C.-

7 5
?
2

7 5

答案:B 2.(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)若 cos 线( )上。 B. 7 x ? 24 y ? 0
? 3 ? 4 , sin ? ? ,则角 ? 的终边一定落在直 5 2 5

A. 7 x ? 24 y ? 0

C. 24 x ? 7 y ? 0 答案:D

D. 24 x ? 7 y ? 0

3.(2007 海南海口)若 A 是第二象限角,那么 A.第一象限角 C.第三象限角 答案 B 二、填空题

A ? 和 -A 都不是( 2 2



B.第二象限角 D.第四象限角

4.(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)设 ? 是第三象限角, tan ? ? 12 答案:- 13 5. ?为锐角,且sin? ? ?

? ,则 cos? = ??

? ?

??

1 ? ? , 则 cos? ? ________________ 6? 3

答案:

2 6 -1 6

6.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为 答案

1 2

三、解答题 7.(山东省济南市 2008 年 2 月高三统考)设向量 a ? (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) ,且 a ? b ? ( , ) (1)求 tan ? ;

?

?

?

4 3 5 5

2cos 2
(2)求

?
2

? 3sin ? ?1

2 sin(? ? ) 4 ? ? 解: (1) a ? b
4 3 ? (2 cos ? cos ? , 2sin ? sin ? ) ? ( , ) 5 5
∴ 2 cos ? cos ? ? ∴ tan ? ?

?



4 3 , 2sin ? sin ? ? 5 5

3 4

2cos 2
(2)

?
2

? 3sin ? ? 1

2 sin(? ? ) 4

?

?

cos ? ? 3sin ? 1 ? 3tan ? 5 ? ?? cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 7
3 sin(?x) ? 2 sin 2

8.(广东地区 2008 年 01 月份期末试题)已知:函数 f ( x) ? 且当 x ? [0, ? ] 时,函数 f (x) 的最小值为 0. (1)求函数 f (x) 的表达式;

?x
2

? m 的周期为 3? ,

(2)在△ABC 中,若 f (C) ? 1, 且2 sin 2 B ? cos B ? cos(A ? C),求sin A的值. 解: (1) f ( x) ?

3 sin(?x) ? cos( ?x) ? 1 ? m ? 2 sin(?x ?

?
6

) ?1? m

3分 4分 5分

依题意函数 f (x) 的周期为 3? , 即

2?

?

? 3? ,? ? ?

2 2x ? , f ( x) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? m 3 3 6 2 x ? 5? 1 2x ? ? ? ? ? sin( ? ) ? 1 3 6 6 2 3 6

? x ? [0, ? ],?

?
6

?

? f (x) 的最小值为 m,? m ? 0
即 f ( x ) ? 2 sin(

6分 7分

2x ? ? ) ?1 3 6 2C ? ? ) ?1 ? 1 3 6
∴∠C=

(2) f (C ) ? 2 sin( 而∠C∈(0,π ),

? sin(

2C ? ? ) ?1 3 6
9分

? 2
2 ,2 sin 2 B ? cos B ? cos( A ? C )

在 Rt△ABC 中,? A ? B ?

?

? 2 cos2 A ? sin A ? sin A ? 0解得sin A ? ? 0 ? sin A ? 1,? sin A ? 5 ?1 . 2

?1? 5 2

11 分

12 分

9.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知 f ( x) ? cos (Ⅰ)求函数 f (x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

?? ? , ? ,求函数 f (x) 的零点. ?2 ? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x = 2 cos( 2 x ?

?
4

) ????????.4 分

故 T ? ? ???????????????????5 分 (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 , 2 cos(

?

?? ? ? 2 x) =0,又? x ? ? , ? ? 4 ?2 ?

?? ????.7 分

?

5? ? 9? ? 3? ? ? 2x ? ? ? 2x ? ????????????????9 分 4 4 4 4 2 5? 8
函数 f (x) 的零点是 x ?

故x ?

5? 8
?

?????. 12 分

10.(广东 2008 年 01 月份期末试题)已知向量 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,函数

?

? ? f ( x) ? a ? b .
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及相应的 x 的值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

8 ?π ? ,求 cos 2 ? ? 2? ? 的值. 5 ?4 ?
?

解: (Ⅰ)因为 a ? (1 ? sin 2x , sin x ? cos x) , b ? (1, sin x ? cos x) ,所以

?

f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x
π? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 . 4? ?
因此,当 2 x ?

π π 3 ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? π ( k ? Z )时, f ( x) 取得最大值 2 ? 1 ; 4 2 8 8 3 得 sin 2? ? cos2? ? ,两边平方得 5 5

(Ⅱ)由 f (? ) ? 1 ? sin 2? ? cos 2? 及 f (? ) ?

1 ? sin 4? ?

9 16 ,即 sin 4? ? . 25 25

16 ?π ? ?π ? 因此, cos 2 ? ? 2? ? ? cos ? ? 4? ? ? sin 4? ? . 25 ?4 ? ?2 ?
11.(2008 年高三名校试题汇编)设 a ? (1 ? cos? , sin ? ), b ? (1 ? cos? , sin ? ), c ? (1, 0) ,其

? ? (0, ? ), ? ? (? , 2? ) ,a 与 c 的夹角为 ? 1 ,b 与 c 的夹角为 ?2 ,且 ?1 ? ? 2 ?


?
6

,求 sin

? ??
4

的值.

a=(2cos2
2

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2cos (cos ,sin ), 2 2 2 2 2 2

b=(2sin

? ? ? ? ? ? ,2sin cos )=2sin (sin ,cos ), 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ∈(0, ), ∈( ,π ) ,故|a|=2cos ,|b|=2sin , 2 2 2 2 2 2

∵α ∈(0,π ),β ∈(π ,2π ), ∴

cos ?1 ?

a?c 2 ? 2cos ? , ? | a || c | 2cos ? 2 2 b?c ? | b || c | 2 sin 2 2 ? sin ? ? cos( ? ? ? ) , 2 2 2 2 sin 2

2cos 2

?

?

cos? 2 ?

?

∵0<

?
2

?

? ?
2
<

2

,∴ ?2 =

?
2

?

?
2

,

又 ? 1 - ?2 = ∴

? , 6

? ? ? ? ? ?? ? - + = ,故 =- , 2 2 2 2 6 3

∴sin

? ??
4

=sin(-

? 1 )=- . 2 6

12.(2008 广东高三地区模拟)如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交 点,A 点的坐标为 ? ,

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5?

(Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB .

y
B O

A( , ) C

3 4 5 5

x

解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

4 ?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 sin ?COA ? 5 ---4 分 ?5 5?
0

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 600 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600
= ?

-------------------------10 分

3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? . 5 2 5 2 10

--------------------------------------12 分

理(Ⅱ)求 | BC |2 的值. 解:(Ⅱ)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60? , sin ?COA ?

4 , 5

cos ?COA ?

3 , 5

??5 分

所以 cos ?COB ? cos(?COB ? 60? ) ? cos ?COB cos60? ? sin ?COB sin 60?
? 3 1 4 3 3?4 3 ? ? ? ? 5 2 5 2 10

??8 分

所以 | BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC

?1?1? 2?

3? 4 3 7 ? 4 3 ? 10 5

??12 分

13.(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)已知函数 f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x . (Ⅰ)若 x ??0,? ? ,求 f ( x ) 的最大值和最小值;

(Ⅱ)若 f ( x) ? 0 ,求

2cos2

x ? sin x ? 1 2 的值. ?? ? 2 sin ? x ? ? 4? ?

解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 3sin x ? 2cos x

? 3 ? 1 ? 4? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 ? ?

?? ? ? 4sin ? x ? ? .??????????3 分 6? ?
又∵ x ??0,? ? ,∴-

π π 5π π ≤ x ? ≤ , ??2 ≤ 4sin ? x ? ? ≤4 , ? ? 6 6 6 6? ?

∴ f ( x)max ? 4,f ( x)min ? ?2 .??????????6 分
(II)由于 f ( x) ? 0 ,所以 2 3 sin x ? 2cos x 解得 tan x ?

1 ??????????8 分 3

2cos 2

x ? sin x ? 1 cos x ? sin x 2 ? ?? ? ? 2 2? 2 sin ? x ? ? 2 ? sin x · ? cos x · ? 4? ? 2 2 ? ?
1?

1 cos x ? sin x 1 ? tan x 3 ? 2? 3 ? ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 1 3

14.(广东省 2008 届六校第二次联考)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

解:(Ⅰ)? a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, ? ? sin ? ? . sin
? a ?b ?


2 5 , 5

?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 cos ?? ? ? ? ?

4 , 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? ,

3 4 ? cos ?? ? ? ? ? , ? sin ?? ? ? ? ? . 5 5 ? sin ? ? ? 5 12 , ? cos ? ? , 13 13

? sin ? ? sin ??? ? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? cos ? ? cos ?? ? ? ? sin ? ? ? ?

4 12 3 ? 5 ? 33 . ? ? ?? ? ? ? 5 13 5 ? 13 ? 65

15.(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知函数 f(x)=2sinxcosx+cos2x. (Ⅰ)求 f (

? )的值; 4
3 4

(Ⅱ)设 ? ∈(0,

? ? ),f ( )= 1 ,求 cos2 ? 的值.
2
5

解: (Ⅰ)∵f(x)=sin2x+cos2x,∴f(

? ? ? )=sin +cos =1???5 分 4 2 2

(Ⅱ)∵f(

? 1 1 24 )=sinα +cosα = ,∴1+sin2α = , sin2α = ? ,??7 分 25 5 25 2
3 3 7 ∵α ∈(0, π )∴2α ∈(π , π ) ∴cos2α <0. 4 2 25

∴cos2α = ? 故 cos2α = ?

7 ??10 分 25

8 π 16.(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知向量→=(cosx,sinx),→=( 2, 2),若→·→= ,且 < a b a b 5 4

sin 2 x(1 ? tan x) π x< , 求 的值. 2 1 ? tan x

解:? a ? b ? ∵

? ?

8 8 ? 4 ,? 2 cos x ? 2 sin x ? ,即 cos( x ? ) ? 5 5 4 5 ,? 0 ? x ?

????2 分

?
4

?x?

?
2

?
4

?

?

? 3 ? 3 , sin( x ? ) ? , tan( x ? ) ? ??4 分 4 4 5 4 4
4 3

tan( x ?

?
4

) ? ? cot( x ?

?
4

)??

sin 2 x ? cos( 2 x ?


?
2

) ? 2 cos 2 ( x ?

?
4

) ?1 ?

7 25

????6 分

sin 2 x(1 ? tan x) ? 7 4 28 ? sin 2 x ? tan( x ? ) ? ? (? ) ? ? . ????10 分 1 ? tan x 4 25 3 75

17.(河北省正定中学 2008 年高三第五次月考)已知 A、B、C 的坐标分别为 A(4,0) ,B(0,4) ,C ( 3 cos? ,3 sin ? ). (Ⅰ)若 ? ? (?? ,0) ,且 AC ? BC ,求角 ? 的大小; (Ⅱ)若 AC ? BC ,求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值。 1 ? tan?
9 cos 2 ? ? (3 sin ? ? 4) 2

2 2 解、 (Ⅰ)由已知得: (3 cos ? ? 4) ? 9 sin ? ?

则 sin ? ? cos ?

因为 ? ? (?? ,0)

?? ? ?

3? 4

?? ?5 分

(Ⅱ)由 (3 cos? ? 4) ? 3 cos? ? 3 sin ? ? (3 sin ? ? 4) ? 0 得 sin ? ? cos ? ?

3 4

平方得

sin 2? ? ?

7 16

???..8 分



2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? cos? ? 2 sin ? cos2 ? 7 ? ? 2 sin ? cos? ? sin 2? ? ? --10 分 1 ? tan? sin ? ? cos? 16

18.(江苏省常州市北郊中学 2008 届高三第一次模拟检测)已知向量 a= (3sinα , cosα )b=(2sinα , 5sin , α -4cosα ),α ∈( (1)求 tanα 的值; (2)求 cos(

3π , ) 2π ,且 a⊥b. 2

?
2

?

π )的值. 3

解: (1)∵a⊥b,∴a·b=0.而 a=(3sinα ,cosα ) b=(2sinα , 5sinα -4cosα ), , 故 a·b=6sin α +5sinα cosα -4cos α =0. 由于 cosα ≠0,∴6tan α +5tanα -4 =0.解之,得 tanα =- ∵α ∈(
2 2 2

4 1 ,或 tanα = . 3 2

1 4 3π .∴tanα =- . , ) 2π ,tanα <0,故 tanα = (舍去) 2 2 3

(2)∵α ∈( 由 tanα =- ∴ sin cos(

? 3π 3π . , ) 2π ,∴ ? ( ,π) 2 2 4

4 ? 1 ? ,求得 tan ? ? , tan =2(舍去) . 3 2 2 2

?
2

?

5 ? 2 5 , cos ? ? , 5 2 5

?
2

?

? π ? π π )= cos cos ? sin sin 2 3 2 3 3
2 5 1 5 3 2 5 ? 15 ? ? ? =? . 5 2 5 2 10

=?

19.(江苏省南通市 2008 届高三第二次调研考试)在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且

1?

tan A 2c ? . tan B b

(Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 m ? (0, ?1) ,n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解: (Ⅰ) 1 ? 即 ∴

?

?

tan A 2c sin A cos B 2sin C ,????????????3 分 ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B

sin B cos A ? sin A cos B 2sin C , ? sin B cos A sin B sin( A ? B) 2sin C , ? sin B cos A sin B

1 ∴ cos A ? . ??????????????????5 分 2
∵0 ? A? π , ∴A?

π .????????????????????????7 分 3 C ? 1) ? (cos B,cos C) , 2 2π 1 π ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 10 分 3 2 6

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2

? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 (
∵A?

π 2π 2π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) . 3 3 3

π π 7π 从而 ? ? 2B ? ? .????????????????12 分 6 6 6 π π 1 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 .????????13 分 6 3 2
所以|m ? n| min ?
2 .????????????????????????14 分 2


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