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2017-2018学年人教A版选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例 课件(40张)


阶 段 一

阶 段 三

1.4
阶 段 二

生活中的优化问题举例
学 业 分 层 测 评

1.体会导数在解决实际问题中的作用. 2.能利用导数解决简单的实际问题.(重点、难点)

[基础· 初探]

教材整理

导数在实际生活中的应用

阅读教材 P34~P36“思考”以上部分,完成下列问题. 1.优化问题 生活中经常遇到求__________、__________、________等问题,这些问题 通常称为优化问题.

2.用导数解决优化问题的基本思路

【答案】 1.利润最大 用料最省 效率最高 2.函数 导数

1. 做一个容积为 256m3 的方底无盖水箱, 所用材料最省时, 它的高为( A.6 m C.4 m B.8 m D.2 m

)

256 【解析】 设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x h=256,所以 h= x2 .所
2

256 2 256×4 2 用材料的面积设为 S m ,则有 S=4x· h+x =4x·x2 +x = x +x .S′=2x-
2 2

256×4 x2 ,令 S′=0,得 x=8, 256 因此 h= 64 =4(m).
【答案】 C

2.某一件商品的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出 (200-x)件,当每件商品的定价为______元时,利润最大.
【解析】 利润为 S(x)=(x-30)(200-x) =-x2+230x-6 000,S′(x)=-2x+230, 由 S′(x)=0,得 x=115,这时利润达到最大.
【答案】 115

[小组合作型]
面积、体积的最值问题

请你设计一个包装盒,如图 141,ABCD 是边长为 60 cm 的正方 形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起, 使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装 盒,E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE= FB=x(cm).

图 141 (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包 装盒的高与底面边长的比值.

【精彩点拨】 弄清题意,根据“侧面积=4×底面边长×高”和“体积= 底面边长的平方×高”这两个等量关系,用 x 将等量关系中的相关量表示出来, 建立函数关系式,然后求最值.

【自主解答】

设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm.

60-2x 由已知得 a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2 (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, 所以当 x=15 时,S 取得最大值.

(2)V=a2h=2 2(-x3+30x2),V′=6 2x(20-x). 由 V′=0,得 x=0(舍去)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′>0;当 x∈(20,30)时,V′<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. 1 h 1 此时a=2,即包装盒的高与底面边长的比值为2.

1.解决面积、体积最值问题的思路 要正确引入变量,将面积或体积表示为变量的函数,结合实际问题的定义 域,利用导数求解函数的最值. 2.解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域; (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数 f(x)在给定区间内 只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x)=0,则只要根据实际 意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较.

[再练一题] 1. 将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图 142 所示划线, 要求①至⑦全为矩形, 且左右对称、上下对称,沿线裁去阴影部分,把剩余部分焊接成一个以⑦为底, ⑤⑥为盖的水箱,设水箱的高为 x m,容积为 y m3.

(1)写出 y 关于 x 的函数关系式; 图 142 (2)x 取何值时,水箱的容积最大.

【解】

(1)由水箱的高为 x m,

6-2x 得水箱底面的宽为(2-2x) m,长为 2 =(3-x) m. 故水箱的容积为 y=2x3-8x2+6x(0<x<1).

(2)由 y′=6x2-16x+6=0, 4+ 7 4- 7 解得 x= 3 (舍去)或 x= 3 . 因为 y=2x -8x 递减, 4- 7 所以当 x 的值为 3 时,水箱的容积最大.
3 2

? 4- ? +6x(0<x<1)在?0, 3 ?

7? ?

?4- ? 内单调递增, 在 ? ? 3 ? ?

? 7 ? ,1?内单调 ?

用料最省、成本 (费用)最低问题 XXX
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需 要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建 造成本为 6 万元. 该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元)与隔热层厚度 x(单 k 位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用 3x+5 为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小?并求最小值.

【精彩点拨】 (1)由 C(0)=8 可求 k 的值从而求出 f(x)的表达式. (2)求导数式 f(x)的最小值.

【自主解答】

k (1)由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= (0≤x≤10), 3x+5

40 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= . 3x+5 而建造费用为 C1(x)=6x. 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x) 40 800 =20× +6x= +6x(0≤x≤10). 3x + 5 3x+5

2 400 (2)f′(x)=6- 2, ?3x+5? 2 400 令 f′(x)=0,即 =6, ?3x+5?2 25 解得 x=5 或 x=- 3 (舍去). 当 0<x<5 时,f′(x)<0, 当 5<x<10 时, f′(x)>0, 故 x=5 是 f(x)的最小值点, 对应的最小值为 f(5)=6×5 800 + =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.

1.用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一,解决这 类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式, 准确求导,结合实际作答. 2.利用导数的方法解决实际问题,当在定义区间内只有一个点使 f′(x)=0 时,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道在这个点 取得最大(小)值.

[再练一题] 2.甲、乙两地相距 400 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 100 千米/时,已知该汽车每小时的运输成本 P(元)关于速度 v(千米/时)的函数关 1 1 3 4 系是 P=19 200v -160v +15v, (1)求全程运输成本 Q(元)关于速度 v 的函数关系式; (2)为使全程运输成本最少,汽车应以多大速度行驶?并求此时运输成本的 最小值. 【导学号:62952036】

【解】

400 (1)Q=P· v

? 1 ? 400 1 3 4 =?19 200v -160v +15v?· v ? ? ? 1 ? 1 2 3 =?19 200v -160v +15?· 400 ? ?

v3 5 2 =48-2v +6 000(0<v≤100).

v2 (2)Q′=16-5v, 令 Q′=0,则 v=0(舍去)或 v=80, 当 0<v<80 时,Q′<0; 当 80<v≤100 时,Q′>0, ∴v=80 千米/时时,全程运输成本取得极小值,即最小值,且 Qmin=Q(80) 2 000 = 3 ( 元) .

[探究共研型]
利润最大、效率最高问题

探究 在实际问题中,如果在定义域内函数只有一个极值点,则函数在该
点处取最值吗?

【提示】

根据函数的极值与单调性的关系可以判断,函数在该点处取最

值,并且极小值点对应最小值,极大值点对应最大值.

某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千 a 克)与销售价格 x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6, x-3 a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售 该商品所获得的利润最大.

【精彩点拨】 (1)根据 x=5 时,y=11 求 a 的值. (2)把每日的利润表示为销售价格 x 的函数,用导数求最大值.

【自主解答】

a (1)因为 x=5 时,y=11,所以2+10=11,a=2.

(2)由(1)知,该商品每日的销售量 2 y= +10(x-6)2, x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润
? 2 ? 2? ? f(x)=(x-3)?x-3+10?x-6? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6, ? ?

从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)· (x-6),

于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (3,4) + 4 0 (4,6) -

f(x) 单调递增↗ 极大值 42 单调递减↘ 由上表可得,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 故当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.

1.经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为 自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动. 2.关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润=收入-成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数.

[再练一题] 3.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格 1 2 p(元/吨)之间的关系式为:p=24 200-5x ,且生产 x 吨的成本为 R=50 000+ 200x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少? 【导学号:62952037】

【解】
? f(x)=?24 ?

每月生产 x 吨时的利润为 1 2? 200-5x ?x-(50 000+200x) ?

1 3 =-5x +24 000x-50 000(x≥0), 3 2 由 f′(x)=-5x +24 000=0,解得 x=200 或 x=-200(舍去). 因为 f(x)在[0,+∞)内只有一个点 x=200 使 f′(x)=0,故它就是最大值点, 1 且最大值为 f(200)=-5×2003+24 000×200-50 000=3 150 000(元),故每月生 产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

1. 某箱子的体积与底面边长 x 的关系为 V(x)=x 的体积最大时,箱子底面边长为( A.30 C.50 ) B.40 D.60

2?60-x?

? ? ?

?

2

则当箱子 ?(0<x<60), ?

【解析】

3 2 3 V′(x)=-2x +60x=-2x(x-40),

因为 0<x<60,所以当 0<x<40 时,V′(x)>0, 此时 V(x)单调递增; 当 40<x<60 时,V′(x)<0,此时 V(x)单调递减,所以 x=40 是 V(x)的极大值, 即当箱子的体积最大时,箱子底面边长为 40.

【答案】 B

2.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数 1 3 关系式为 y=-3x +81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A.13 万件 B.11 万件

C.9 万件 D.7 万件 【解析】 因为 y′=-x2+81,所以当 x>9 时,y′<0;当 0<x<9 时,y′

1 3 >0, 所以函数 y=-3x +81x-234 在(9, +∞)上单调递减, 在(0,9)上单调递增, 所以 x=9 时函数取最大值. 【答案】 C

3.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是 27π,且用料最省,则 水桶的底面半径为________.
【解析】 设圆柱形水桶的表面积为 S,底面半径为 r(r>0),则水桶的高为 27 27 54π 54π 2 2 所以 S=πr +2πr× r2 =πr + r (r>0), 求导数, 得 S′=2πr- r2 , 令 S′=0, r2 , 解得 r=3. 当 0<r<3 时,S′<0;当 r>3 时,S′>0,所以当 r=3 时,圆柱形水桶的 表面积最小,即用料最省.

【答案】 3

4.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数:y1=17x2(x>0),生产 成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数:y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产 ________千台.

【解析】 设利润为 y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0), ∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6). 令 y′=0,解得 x=0 或 x=6,经检验知 x=6 既是函数的极大值点又是函数 的最大值点.
【答案】 6

5.某商品每件成本 9 元,售价 30 元,每星期卖出 432 件,如果降低价格, 销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元, 0≤x≤30)的平方成正比,已知商品单价降低 2 元时,一星期多卖出 24 件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?

【解】

(1)若商品降价 x 元,则多卖的商品数为 kx2 件,

由题意知 24=k· 22,得 k=6. 若记商品在一个星期的获利为 f(x),则依题意有 f(x)=(30-x-9)· (432+6x2)=(21-x)(432+6x2), 所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].

(2)根据(1)有 f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) (0,2) - 2 0 (2,12) + 12 0 (12,30) -

f(x) 单调递减↘ 极小值 单调递增↗ 极大值 单调递减↘ 故 x=12 时,f(x)取得极大值,因为 f(0)=9 072,f(12)=11 664,f(0)<f(12), 所以定价为 30-12=18(元)能使一个星期的商品销售利润最大.

学业分层测评(八)
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