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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数单元质检 文 北师大版


单元质检十二

推理与证明、算法初步与复数
单元质检卷第 24 页

(时间:45 分钟 满分:100 分) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分) 1.(2015 辽宁鞍山一模)复数的虚部是( ) A.i B. C.-i D.答案:B 解析:∵=-i, ∴虚部为. 2.(2015 辽宁大连双基)执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是 4,则常数 a 的 值为( )

A.4 B.2 C. D.-1?导学号 32470654? 答案:D 解析:S 和 n 依次循环的结果如下:,2;1-,4. 所以 1-=2,a=-1,故选 D. 3.(2015 华师附中模拟)用反证法证明命题:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”时,应假设 ( ) A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角至多有一个大于 60° D.三个内角至多有两个大于 60° 答案:B 解析:“三角形三个内角至少有一个不大于 60°”的反面是“三个内角都大于 60°”. 4.(2015 湖北黄冈一模)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成 立,则( ) A.-1<a<1 B.0<a<2 C.-<a< D.-<a<?导学号 32470655? 答案:C 解析:(x-a)?(x+a)<1?(x-a)(1-x-a)<1, 2 2 2 即 x -x-a +a+1>0.不等式恒成立的充要条件是 Δ =1-4(-a +a+1)<0, 2 即 4a -4a-3<0,解得-<a<.故选 C. 5.(2015 北京,文 5)执行如图所示的程序框图,输出的 k 值为( )

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A.3 B.4 C.5 D.6 答案:B 解析:初值为 a=3,k=0,q=. 进入循环体后,a=,k=1;a=,k=2;a=,k=3;a=,k=4,此时 a<,退出循环,故 k=4. 6.复数 z=(i 是虚数单位)在复平面内的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案:C 2 014 2 1 007 1 007 解析:∵i =(i ) =(-1) =-1,

∴z===-=-, ∴z 在复平面内的坐标为,故选 C.
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 7 分,共 28 分) 7.在平面内,若两个正三角形的边长的比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在空间中,若两 个正四面体的棱长的比为 1∶2,则它们的体积比为 . 答案:1∶8 解析:由平面图形的面积类比立体图形的体积得出:在空间中,若两个正四面体的棱长的比为 1∶2, 则它们的底面积之比为 1∶4,对应高之比为 1∶2,所以体积比为 1∶8. 8.执行如图的程序框图,则输出 S 的值为 .

答案:2 解析:第一次循环,得 S==-1,k=1; 第二次循环,得 S=,k=2; 第三次循环,得 S==2,k=3; 由此可知 S 的值以 3 为周期,又 2 016=672×3,所以输出 S 的值为 2. 9.若 z=sin θ -i 是纯虚数,则 tan= .?导学号 32470656? 答案:-7 解析:依题意 ∴sin θ =,cos θ =-. ∴tan θ ==-. ∴tan=-7. 2

10.(2015 广州模拟)将正偶数 2,4,6,8,?,按表的方式进行排列,记 aij 表示第 i 行第 j 列的数,若 aij=2 014,则 i+j 的值为 . 第1 第2第3第4第5 列 列 列 列 列 第1 行 第2 16 行 第3 行 第4 32 行 第5 行 ? ? 2 14 18 30 34 ? 4 12 20 28 36 ? 6 10 22 26 38 ? 40 ? ?导学号 32470657? 答案:254 解析:正偶数组成等差数列,通项为 an=2n,所以 2 014 为该数列的 1 007 项,因每行为 4 个数, 又 1 007=4×251+3,故 2 014 是第 252 行中从右到左的第三个数, 偶数行中从右到左的第三个数在第 2 列, 所以 i+j=252+2=254. 三、解答题(本大题共 2 小题,共 30 分) 11.(15 分)(2015 河北唐山一模)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且 q(q-1)≠0. (1)求{an}的通项公式; (2)若 S3,S9,S6 成等差数列,求证:a2,a8,a5 成等差数列. (1)解:当 n=1 时,由(1-q)S1+qa1=1 得 a1=1. 当 n≥2 时,由(1-q)Sn+qan=1 得(1-q)·Sn-1+qan-1=1, 两式相减得 an=qan-1(n≥2), n-1 又 q(q-1)≠0,所以{an}是以 1 为首项,q 为公比的等比数列,故 an=q . (2)证明:由(1)可知 Sn=, 由 S3+S6=2S9 得, 化简得 a3+a6=2a9,两边同除以 q 得 a2+a5=2a8, 故 a2,a8,a5 成等差数列. 12.(15 分)用分析法证明:若 a>0,则≥a+-2. 2 证明:∵a>0,由基本不等式知 a+≥2,a +≥2, ∴≥0,a+-2≥0. 下面用分析法证明≥a+-2. 要证明≥a+-2 成立, 只需证明成立, 即 2-2≥, 即 4≥2, 即-4+4≥0, 即证明≥0, 显然≥0 成立, ∴若 a>0,则≥a+-2.?导学号 32470658? 24 8

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