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2017-2018学年高中数学人教B版选修2-3教学案:3.1 独立性检验 Word版含解析

_3.1 独立性检验 [对应学生用书P43] 1.2×2 列联表 B A A 合计 n11 n21 n+1 B n12 n22 n+ 2 合计 n1+ n2+ n 其中:n+1=n11+n21,n+2=n12+n22,n1+=n11+n12,n2+=n21+n22,n=n11+n21+n12+ n22. 2.独立性检验 n?n11n22-n12n21?2 (1)χ2= . n1+n2+n+1n+2 (2)经过对 χ2 统计量分布的研究,已经得到了两个临界值:3.841 与 6.635. ①当 χ2>3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关; ②当 χ2>6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关; ③当 χ2≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是无关的. 1.χ2 计算公式中的 n11n22 与 n12n21 分别为表中主对角线(左上→右下)上的两数据之积和 副对角线(左下→右上)上的两数据之积.其中 n 为样本容量. 2.χ2 的构造思路:当统计假设 H0:P(AB)=P(A)P(B)成立时,P( A B)=P( A )P(B),P(A B )=P(A)P( B ),P( A B )=P( A )P( B )都成立,实际计算中是用事件的频率近似代替 相应的概率,因而 χ2 的结果也受到样本数据的影响,具有随机性. [对应学生用书P43] 两个变量的独立性检验 [例 1] 为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对 540 名 40 岁以上的人的调查结果 如下: 患胃病 生活不规律 生活有规律 合计 60 20 80 未患胃病 260 200 460 合计 320 220 540 根据以上数据判断 40 岁以上的人患胃病与生活规律有关吗? [思路点拨] 先计算 χ2 的数值,然后比较 χ2 与 3.841 及 6.635 的大小,进而得出是否有 关的结论. 540?60×200-260×20?2 [精解详析] 由公式得 χ2= 320×220×80×460 ≈9.638. ∵9.638>6.635, ∴有 99%的把握说 40 岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关,即生活不规律的人易 患胃病. [一点通] 本题利用 χ2 公式计算出 χ2 的值,再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立,解题 时应注意准确代数与计算,不可错用公式,要准确进行比较与判断. 1.对于事件 A 与 B 及统计量 χ2,下列说法正确的是( A.χ2 越大,“A 与 B 有关系”的可信程度越小 B.χ2 越小,“A 与 B 有关系”的可信程度越小 C.χ2 越接近于 0,“A 与 B 没有关系”的可信程度越小 D.χ2 越大,“A 与 B 没有关系”的可信程度越大 ) 解析:χ2 越大,“A 与 B 没有关系”的可信程度越小,则“A 与 B 有关系”的可信程度 越大,即 χ2 越小,“A 与 B 有关系”的可信程度越小. 答案:B 2.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大的变量是( ) 表1 成绩 不及格 及格 总 表2 性别 男 女 总计 6 10 16 14 22 36 计 20 32 52 视力 性别 男 女 总计 好 4 12 16 表4 差 16 20 36 总计 20 32 52 表3 智商 性别 男 女 总计 偏高 8 8 16 正常 12 24 36 总计 性别 20 32 52 男 女 总计 阅读量 丰富 14 2 16 不丰富 6 30 36 总计 20 32 52 A.成绩 C.智商 B.视力 D.阅读量 52×?6×22-14×10?2 52×82 解析:因为 χ2 = = , 1 16×36×32×20 16×36×32×20 2 χ2 = 52×?4×20-16×12?2 52×1122 = , 16×36×32×20 16×36×32×20 52×?8×24-12×8?2 52×962 = , 16×36×32×20 16×36×32×20 52×?14×30-6×2?2 52×4082 = , 16×36×32×20 16×36×32×20 2 χ3 = 2 χ4 = 2 2 2 2 则有 χ4 >χ2 >χ3 >χ1 ,所以阅读量与性别关联的可能性最大. 答案:D 独立性检验的实际应用 [例 2] (10 分)在调查的 480 名男士中有 38 名患有色盲, 520 名女士中有 6 名患有色盲, 利用独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关? [思路点拨] 首先作出调查数据的列联表,再根据列联表进行计算,最后利用计算的结 果作出判断. [精解详析] 根据题目所给的数据作出如下的列联表: 色盲 男 女 38 6 不色盲 442 514 合计 480 520 合 计 44 956 1 000 ?(4 分) n?n11n22-n12n21?2 将列联表中的数据代入公式 χ2= , n1+n2+n+1n+2 1 000×?38×514-6×442?2 得 χ 2= ≈27.139, 480×520×44×956 由于 χ2=27.139>6.635,所以我们有 99%的把握认为性别与患色盲有关系. 分) [一点通] 1.独立性检验方法有三步:一是列表,二是计算,三是判断. 2.注意判断时把计算结果与两个临界值 3.841 与 6.635 比较,其值越大,有关的可信度 越高. ?(8 分) ? (10 3.一次对人们休闲方式的调查中共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人,女性 中有 43 人主要的休闲方式是看电视,另外 27 人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主 要的休闲方式是看电视,另外 33 人主要的休闲方式是运动. (1)根据以上数据建立一个

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