koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年1月份福州市质检卷 理数扫描版


福州市 2014-2015 学年度第一学期高三质量检查

理科数学试卷参考答案及评分细则
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.C 2.B 3.A 4.A 5.B 7.B 8 .C 9.C 10.D 11.B 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分, 6 .D 12.C

13. ?2 14.32 15. 3 ? 6 16. (??, 2] 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 17. 本题主要考查一元二次方程的根、等比数列的通项公式、错位相减法求数列的和等基础知识,考查 应用能力、运算求解能力,考查函数与方程思想. 解: (Ⅰ)方程 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根分别为 1,2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 依题意得 a1 ? 1 , a2 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 所以 q ? 2 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2n ? an ? n ? 2n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? ??? ? n ? 2n , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·② 2 ? Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ??? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 , · 由①-②得 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 ?Sn ? 2 ? 22 ? 23 ? ??? ?2n ? n ? 2n ?1 , ·
n 2? 2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? n ? 2n?1 , · 1? 2 所以 Sn ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 18.本题主要考查离散型随机变量的概率、分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力以及应用 意识,考查必然与或然思想等.



?Sn ?

解法一: (Ⅰ)这 3 个人接受挑战分别记为 A 、 B 、 C ,则 A, B, C 分别表示这 3 个人不接受挑战.

这 3 个人参与该项活动的可能结果为:? A, B, C? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C ,

? A, B, C? , ? A, B, C? .共有 8 种; ······················································································2 分 其中,至少有 2 个人接受挑战的可能结果有: ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? , ? A, B, C? ,共有 4 种.
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 4 1 根据古典概型的概率公式,所求的概率为 P ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 8 2 (说明:若学生先设“用 ? x, y, z ? 中的 x, y, z 依次表示甲、乙、丙三人接受或不接受挑战的情况” ,再将所 有结果写成 ? A, B, C ? , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , A, B, C , 不扣分. ) (Ⅱ)因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以每个人接受挑战的概率为 ,不接受挑战的概率也为 .· 2 2 0 6 5 1 6 3 0?1? ?1? 1?1? ?1? ? P X ? 1 ? C ? 所以 P ? X ? 0 ? ? C6 , ? ? 6? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? ? 2 ? ? 64 ? 32 , 2 ? ? ? ? ? ? ? ?
2?1? P ? X ? 2 ? ? C6 ?2? ? ? 4 6 2

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

?

??

? ?

??

??

??

??

?

? 1 ? 15 3?1? ?? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? 2 64 ? ? ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16
1

3

6 3 ? 1 ? ? 1 ? 15 ?1? 5?1? P ? X ? 4? ? C ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 , ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 32

4

5

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . · ? ? ? ? 故 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 6 X 1 3 15 5 15 3 1 P 64 32 64 16 64 32 64 10 分 1 3 15 5 15 3 1 所以 E ? X ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3 . 64 32 64 16 64 32 64 故所求的期望为 3 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二:因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 1 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 所以每个人接受挑战的概率为 ,不接受挑战的概率也为 .· 2 2 (Ⅰ)设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战”, 1 ?1? ?1? 3?1? 则 P( M ) ? C32 ? ? ? ? ? ? C3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 2? ? 2 .· 2 2 ? ? ? ? ? ? (Ⅱ)因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数, ? 1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 所以 X ~ B ? 6, ? .· ? 2? 1 6 3 ?1? ?1? 1?1? ?1? ?? ? ? ? 所以 P ? X ? 0 ? ? C ? ? ? ? ? , P ? X ? 1? ? C6 , ? ? ? 2 ? ? 2 ? 64 ? 2 ? ? 2 ? 64 32
0 6 2?1? P ? X ? 2 ? ? C6 ?2? ? ? 4?1? P ? X ? 4 ? ? C6 ?2? ? ? 6 6 2 0 6 5 2 3

6

0

? 1 ? 15 3?1? ?? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?2? ? 2 ? 64 ? ?
2

4

3

? 1 ? 20 5 ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 16 6 3 ?1? ?? ? ? ? , 2 64 32 ? ?
1

3

4

? 1 ? 15 5?1? ?? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? 2 64 ? ? ? ?
0

5

1 ?1? ?1? P ? X ? 6? ? C ? ? ? ? ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 64 ? 2? ? 2? 故 X 的分布列为: 0 1 2 3 4 5 6 X 1 3 15 5 15 3 1 P 64 32 64 16 64 32 64 10 分 1 所以 E ? X ? ? 6 ? ? 3 . 2 故所求的期望为 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.本题主要考查反比例函数、三角函数的图象与性质、三角函数的定义、同角三角函数的基本关系式、 二倍角公式、两角和的正弦公式等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、 函数与方程思想. 解法一: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分

6

理由如下:
?? ? 因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? , ?4 ? 2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4, 所以 T ? ? 4 所以 OQ ? 4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

又因为 P 为函数 f ( x) 图象的最高点,

所以点 P 坐标为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 3) ,所以 OP ? 4 ,· 又因为 Q 坐标为 (4, 0) ,所以 PQ ? (2 ? 4)2 ? (2 3 ? 0)2 ? 4 , 所以 ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,
? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) ,· 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 4cos ? ? ? ?,4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3? 3 ?? ? ? ? ?? ? ?? 2 k ? 代入 y ? ,得 k ? 16cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 8sin(2? ? π) , 3? ? 3? 3 x ? k ? 16sin ? cos ? ? 8sin 2 ? 且 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 2 ? 2 2 所以 sin 2? ? sin(2? ? π) ,结合 sin (2? ) ? cos (2? ) ? 1 , 0 ? ? ? , 3 2 1 解得 sin 2? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 所以 k ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法二: (Ⅰ) ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 理由如下: ?? ? 因为函数 f ( x) ? 2 3 sin ? x ? , ?4 ? 2π ? 8 ,所以函数 f ( x) 的半周期为 4,所以 OQ ? 4 , · 所以 T ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? 4 因为 P 为函数 f ( x) 的图象的最高点,

所以点 P 坐标为 (2, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 3) ,所以 OP ? 4 ,所以 OP ? OQ . ·
2 3 ? 3 ,所以 ?POQ ? 60? , 2 所以 ?OPQ 为等边三角形. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

又因为直线 OP 的斜率 k ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, OP ? OQ ? 4 ,
? ?? ? ?? ? ? 4sin ? ) , · 4sin ? ? ? ? ? , (4cos ? , 所以点 P? , Q? 的坐标分别为 ? 4cos ? ? ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 3 3 ?? ? ? ? ? k 因为点 P? , Q? 在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上, x ? ?? ? ?? ? ?k ? 16 cos ? ? ? ? sin ? ? ? ? , 所以 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3? ? 3 ? ,· ? ?k ? 16sin ? cos ? ?

2 ? ?k ? 8sin(2? ? π), 所以 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 3 ,· ?k ? 8sin 2? ? 2 消去 k 得, sin 2? ? sin(2? ? π) , 3 2 2 所以 sin 2? ? sin 2? cos π ? cos 2? sin π , 3 3 3 3 3 cos 2? ,所以 tan 2? ? 所以 sin 2? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 2 2 3 ? ? 1 又因为 0 ? ? ? ,所以 2? ? ,所以 sin 2? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 2 6 2

所以 k ? 4 .所以所求的实数 k 的值为 4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 解法三: (Ⅰ)同解法一或同解法二; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ?OPQ 为等边三角形. k 因为函数 y ? ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x ? k 由图象可知,当 ? ? 时,点 P? , Q? 恰在函数 y ? ( x ? 0) 的图象上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 12 x ? ? 此时点 Q? 的坐标为 (4cos , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 4sin ) , · 12 12 ? ? ? 所以 k ? 16sin cos ? 8sin ? 4 ,所以所求的实数 k 的值为 4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 12 12 6 20. 本题主要考查分段函数模型的应用问题、一元二次函数的最值、解不等式等基础知识,考查应用意 识、运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想等. ? 30 ,0 ≤ x ? 6, ? ?4 ? x 解: (I)因为 m ? 3 ,所以 y ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ?12 ? 3x ,6 ≤ x ≤ 8 ? 2 ? 30 当 0 ≤ x ? 6 时,由 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 ≥ 2 ,解得 x ≤11 ,此时 0 ≤ x ? 6 ; · 4? x 3x 20 20 当 6 ≤ x ≤ 8 时,由 12 ? ≥ 2 ,解得 x ≤ ,此时 6 ≤ x ≤ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 3 3 20 综上所述, 0 ≤ x ≤ . 3 20 故若一次服用 3 个单位的药剂,则有效治疗的时间可达 小时. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 3 1 10 10m ]?8? x? (Ⅱ)当 6 ≤ x ≤ 8 时, y ? 2 ? (4 ? x) ? m[ ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4 ? ( x ? 6) x?2 10m 因为 8 ? x ? ≥ 2 对 6 ≤ x ≤ 8 恒成立, x?2 x2 ? 8x ? 12 即 m≥ 对 6 ≤ x ≤ 8 恒成立, 10 x2 ? 8x ? 12 等价于 m ≥( · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 )max , 6 ≤ x ≤ 8 . · 10 x2 ? 8x ? 12 ( x ? 4)2 ? 4 令 g ( x) ? ,则函数 g ( x) ? 在 [6, 8]是单调递增函数, · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 10 10 6 x2 ? 8x ? 12 当 x = 8 时,函数 g ( x) ? 取得最大值为 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 5 10 6 6 所以 m ≥ ,所以所求的 m 的最小值为 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 5 解法二: (Ⅰ)同解法一; 1 10 10m ]?8? x? (Ⅱ)当 6 ≤ x ≤ 8 时, y ? 2 ? (4 ? x) ? m[ ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 2 4 ? ( x ? 6) x?2 10m 注意到 y1 ? 8 ? x 及 y2 ? ( 1 ≤ m ≤ 4 且 m ? R )均关于 x 在 [6,8] 上单调递减, x?2 10m 则 y ?8? x ? 关于 x 在 [6,8] 上单调递减, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x?2 6 10m 5m 5m 故 y ≥8 ? 8 ? ,由 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 ? ≥ 2 ,得 m ≥ , · 8?2 3 3 5

6 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 5 21. 本题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线与抛物线的位置关系、归纳推理等基础知识,考查推 理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等. 解: (Ⅰ)依题意可设抛物线 ? 的方程为: x2 ? 2 py ( p ? 0 ) .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 p 由焦点为 F (0,1) 可知 ? 1 ,所以 p ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 2 所以所求的抛物线方程为 x 2 ? 4 y . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (Ⅱ)方法一: ? x2 ? ? x2 ? 1 设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,由(Ⅰ)知, y ? ? x . 4 4 2 ? ? ? ?
所以所求的 m 的最小值为

1 1 x1 , k2 ? y? x ? x ? x2 , 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 故切线 PA、PB 的方程分别为 y ? x1 ? x1 ( x ? x1 ) , y ? x2 ? x2 ( x ? x2 ) , · · · · · · · · · · · · · · 4分 4 2 4 2 x ? x2 ? x? 1 , ? x ?x 1 ? 2 联立以上两个方程,得 ? .故 P 的坐标为 ( 1 2 , x1 x2 ) , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 2 4 ?y ? 1 x x 1 2 ? 4 ? 1 因为点 P 在抛物线 ? 的准线上,所以 x1 x2 ? ?1 ,即 x1 x2 ? ?4 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 4 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m ,代入抛物线方程 x 2 ? 4 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 , 所以 x1 x2 ? ?4m ,即 ?4m ? ?4 ,所以 m ? 1 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 故 AB 的方程为 y ? kx ? 1 ,故直线 AB 恒过定点 (0,1) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
则切线 PA、PB 的斜率分别为 k1 ? y? x ? x ?
? x2 ? ? x2 ? 方法二:设切点 A 、 B 坐标分别为 ? x1 , 1 ? , ? x2 , 2 ? ,设 P ? m, ?1? , 4? ? 4? ? 易知直线 PA、PB 斜率必存在,可设过点 P 的切线方程为 y ? 1 ? k ? x ? m ? . ? y ? 1 ? k ? x ? m? , 由? 2 ,消去 y 并整理得 x2 ? 4kx ? 4 ? km ? 1? ? 0 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ① ? x ? 4 y, 因为切线与抛物线有且只有一个交点,

所以 ? ? ? 4k ? ? 16(km ? 1) ? 0 ,整理得 k 2 ? mk ? 1 ? 0 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ②
2

所以直线 PA、PB 斜率 k1 ,k2 为方程②的两个根,故 k1 ? k2 ? ?1 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 另一方面,由 ? ? 0 可得方程①的解为 x ? 2k , 所以 x1 ? 2k1 , x2 ? 2k2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 假设存在一定点,使得直线 AB 恒过该定点,则由抛物线对称性可知该定点必在 y 轴 上,设该定点为 C (0, c) ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 则 CA ? ( x1 ,
x12 x2 ? c) , CB ? ( x2 , 2 ? c) . 4 4

所以 CA// CB , x2 x2 xx 所以 x1 ( 2 ? c ) ? ( 1 ? c) x2 ? 0 ,整理得 c( x1 ? x2 ) ? 1 2 ( x2 ? x1 ) 4 4 4 所以 x1 ? x2 , xx 4k k 所以 c ? ? 1 2 ? ? 1 2 ? 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4 4 所以直线 AB 过定点 ? 0,1? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分

(Ⅲ)结论一:若点 P 为直线 l : y ? t ( t ? 0 )上的任意一点,过点 P 作抛物线 ? : x2 ? 2 py ( p ? 0 )的 切线 PA, PB ,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 (0, ?t ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 结论二:过点 Q ? 0, m ? ( m ? 0 )任作一条直线交抛物线 ? : x2 ? 2 py ? p ? 0? 于 A, B 两点,分别以点 A, B 为 切点作该抛物线的切线,两切线交于点 P ,则点 P 必在定直线 y ? ?m 上. · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 结论三:已知点 P 为直线 l : y ? kx ? b 上的一点,若过点 P 可以作两条直线与抛物线 ? : x 2 ? 2 py( p ? 0 ) 相切,切点分别为 A, B ,则直线 AB 恒过定点 ? pk , ?b ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 说明:①以上两结论只要给出其中一个即可或给出更一般性的结论; ②以上两结论中的抛物线开口方向均可改变; ③该小题评分可对照以下表格分等级给分: 得分 答题情况 写出与命题(ⅰ)无关的结论. 0分 所给命题的条件与结论均存在问题. 将准线或抛物线改为其它特殊情况,结论正确. 1分 将准线或抛物线其中一个一般化,但结论中的定点(或定直线)有误. 写出命题的逆命题,结论正确.( 其它分点逆命题相应给分) 2分 将准线和抛物线都推广成一般情况,但结论中的定点(或定直线)有误. 将准线和抛物线其中一个推广成一般情况,结论正确. 3分 将准线和抛物线都推广成一般情况,但 m ? 0, p ? 0 中漏写一个或两个. 4分 将准线和抛物线都推广成一般情况,结论正确. 22.本题主要考查函数的零点、函数的导数、导数的应用、不等式的恒成立等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等. π 解: (Ⅰ)函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 2 理由如下: 因为 f ? x ? ? ex sin x ? cos x ,所以 f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

π ,所以 f ?( x) ? 0 , 2 π 所以函数 f ( x) 在 (0, ) 上是单调递增函数. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 2 π π 因为 f (0) ? ?1 ? 0 , f ( ) ? e 2 ? 0 , 2 根据函数零点存在性定理得 π 函数 y ? f ? x ? 在 (0, ) 上的零点的个数为 1.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 (Ⅱ)因为不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 等价于 f ( x1 ) ≥ m ? g ( x2 ) , π π 所以 ?x1 ?[0, ], ?x2 ?[0, ] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ≥ m 成立,等价于 2 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 f ( x1 )min ≥ ? m ? g ( x2 ) ?min ,即 f ( x1 )min ≥ m ? g ( x2 )max . ·
因为 0 ? x ?

π π 当 x ?[0, ] 时, f ? ? x ? ? ex sin x ? ex cos x ? sin x ? 0 , 故 f ( x ) 在区间 [0, ] 上单调递增, 所以 x ? 0 时, f ? x ? 2 2 取得最小值 ?1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 x x 又 g ? ? x ? ? cos x ? x sin x ? 2e ,由于 0 ≤ cos x ≤1, x sin x ≥ 0, 2e ≥ 2 , π 所以 g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在区间 [0, ] 上单调递减, 2 因此, x ? 0 时, g ? x ? 取得最大值 ? 2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
? 2 ?1 . 所以 ?1≥ m ? ? 2 ,所以 m ≤-

?

?

所以实数 m 的取值范围是 ??, ?1 ? 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? .· (Ⅲ)当 x ? ?1 时,要证 f ? x ? ? g ? x ? ? 0 ,只要证 f ? x ? ? g ? x ? , 只要证 e x sin x ? cos x ? x cos x ? 2e x , 只要证 e x sin x ? 2 ? ? x ? 1? cos x ,
ex cos x ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 x ? 1 sin x ? 2 ex cos x ? 下面证明 x ? ?1 时,不等式 成立. x ? 1 sin x ? 2

?

?

?

由于 sin x ? 2 ? 0, x ? 1 ? 0 ,只要证

令 h ? x? ?

e x ? x ? 1? ? e x xe x ex , ? ? x ? ?1? ,则 h? ? x ? ? 2 2 x ?1 ? x ? 1? ? x ? 1?

当 x ? ? ?1,0 ? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减; 当 x ? ? 0, ??? 时, h? ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增. 所以当且仅当 x ? 0 时, h ? x ? 取得极小值也就是最小值为 1. 令k ?
cos x sin x ? 2

,其可看作点 A ? sin x,cos x ? 与点 B ? 2,0 连线的斜率,

?

?

所以直线 AB 的方程为: y ? k x ? 2 , 由于点 A 在圆 x2 ? y 2 ? 1 上,所以直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相交或相切, 当直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 1 相切且切点在第二象限时, 直线 AB 取得斜率 k 的最大值为 1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 ? 1 ? h ? 0 ? ; x ? 0 时, h ? x ? ? 1≥ k .· 故 x ? 0 时, k ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 13 分 2 综上所述,当 x ? ?1 时, f ? x ? ? g ? x ? ? 0 成立. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分

?

?


推荐相关:

2015年1月份福州市质检卷含答案 生物word版.doc

2015年1月份福州市质检卷含答案 生物word版 - 福州市 2014201


福州1月份质检理数(word).doc

福州1月份质检理数(word) - 高三第一学期期末质量检查数学(理)试卷(wo


2015年1月福建省福州市高三化学期末质量检测试卷及参考....doc

福州市 2014-2015 学年第一学期高三期末质量检测 化学试卷 (完卷时间:90 分钟;满分:100 分; ) 解题可能需要的相对原子质量:H-1、 N-14、 O-16、 Na-23...


2015福州3月质检 福建省福州市2015届高中毕业班第二次....doc

福建省福州市2015届高中毕业班第二次质量检测数学(理)试题 扫描版含答案_高中...、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. ) 第Ⅱ卷 (非...


2017福州质检试卷完美打印版(含答案).doc

2017福州质检试卷完美打印版(含答案)_初三数学_数学...mx ? 1 ? 0 ,写出个无理数 m,使该方程没 ...2015年福州市初三质检数... 14页 免费 2013年福州...


2015年福州市初三质检数学试卷及答案.doc

//www.5ykj.com/ 资源全部免费 福州市 2015 年初中毕业班质量检测 数学试卷参考答案及评分标准 、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 二、填空题(每小题 4...


福建福州市2018年高三上1月单科质检理科数学试卷(图片版).doc

福建福州市2018年高三上1月单科质检理科数学试卷(图片版)_高三数学_数学_高


福州市2014-2015学年第一学期高三期末质量检测理科数学....doc

福州市2014-2015学年第一学期高三期末质量检测理科数学试卷(扫描版含答案)_数学...温新小课堂 高三数学(理)---2015-01-16 1 温新小课堂 高三数学(理)---...


福州市2015年高三3月质检数学试卷(理科)(word版本).doc

福州市2015年高三3月质检数学试卷(理科)(word版本) - 2015 年福州市高中毕业班质量检测 理科数学能力测试 (完卷时间:120 分钟;满分:150 分) ...


福建省福州一中2015届高考模拟考理科数学试卷.doc

福州一中 2014-2015 学年高三校质检试卷 理页.满分...,xn 的标准差 s= 科 数 学 本试卷分第 I 卷...QOR ? 30 ,则 tan ?OPQ 的值为 . k=k+1 ...


2017年3月福州市质检理综扫描版含答案_图文.doc

2017年3月福州市质检理综扫描版含答案_理化生_高中教育_教育专区。 14.下列是...龙岩市2015年3月市质检理... 16页 1下载券 2017年3月泉州市质检理综......


福建省福州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(理) Wor....doc

福建省福州一中2015届高三5月质量检测试卷数学(理) Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。福州一中 2014-2015 学年高三校质检试卷 理 科 数 学 本试卷分第 I...


2012福州1月份质检文数(word)_图文.doc

2012福州1月份质检文数(word)_英语_高中教育_教育...(word 版) 第 1 卷(选择题 共 60 分) 一、...2015福州1月份质检文数(... 1人阅读 11页 ...


最新泉州1月份质检理数(word版).doc

最新泉州1月份质检理数(word版) - 高考数学,高考物理,高考英语,高考模拟


2014-2015福州市九年级第一学期质量检查数学试题及答案.doc

2014-2015福州市九年级第学期质量检查数学试题及答案_数学_初中教育_教育专区。2015福州市质检卷 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...


2014福州3月份质检理数(word版).doc

2014福州3月份质检理数(word版)_数学_初中教育_...150 分) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 、选择题...2015福州3月份质检理数(... 2人阅读 16页 ...


福建省福州一中届高考数学5月质检试卷理(含解析)【含答....doc

福建省福州一中届高考数学5月质检试卷理(含解析)【...福建省福州一中 2015 届高考 数学质检试卷(理科) (...名工人某天生产同零件,生产的件数分别是 15,17,...


2015莆田质检 福建省莆田市2015届高三毕业班教学质量检....doc

2015莆田质检 福建省莆田市2015届高三毕业班教学质量检查数学(理)试卷 扫描版含答案_数学_高中教育_教育专区。2015莆田质检 福建省莆田市2015届高三毕业班教学质量...


河北省邯郸市2015届高三元月质检数学理试题 扫描版含答....doc

河北省邯郸市2015届高三元月质检数学理试题 扫描版含答案 - 2015 届高三质检考试 理科数学参考答案及评分标准 、选择题 15 CDABC 610 CDDAA 1112 ....


2015邯郸质检 河北省邯郸市2015届高三元月质检数学理试....doc

2015邯郸质检 河北省邯郸市2015届高三元月质检数学理试题 扫描版含答案_高中教育_教育专区。 2015 届高三质检考试 理科数学参考答案及评分标准 、选择题 15 ...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com