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2014届高考数学一轮 第10章《计数原理、概率、随机变量及其分布》(第9课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 10 章《计数原 理、概率、随机变量及其分布》 (第 9 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.若随机变量 X 服从二点分布,且成功的概率 p=0.5,则 E(X)和 D(X)分别为( ) A.0.5 和 0.25 B.0.5 和 0.75 C.1 和 0.25 D.1 和 0.75 解析:选 A.∵X 服从二点分布,∴X 的概率分布列为 X 0 1 P 0.5 0.5 ∴E(X)=0×0.5+1×0.5=0.5, D(X)=0.52×0.5+(1-0.5)2×0.5=0.25. 1 2.(2013·威海质检)设 X 为随机变量,X~B(n, ),若随机变量 X 的数学期望 E(X)= 3 2,则 P(X=2)等于( ) 13 4 A. B. 16 243 13 80 C. D. 243 243 1 1 解析:选 D.∵X~B(n, ),E (X)=2,∴n· =2, 3 3 1 4 6×5 1 16 80 2 1 2 ∴n=6,∴P(X=2)=C6( ) (1- ) = × × 4= . 3 3 1×2 9 3 243 2 3.(2013·广州调研)设随机变量 X~N(1,5 ),且 P(X≤0)=P(X≥a-2),则实数 a 的值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:选 A.由正态分布的性质可知 P(X≤0)=P(X≥2),所以 a-2=2,故 a=4,选 A. 4.(2013·营口质检)某一离散型随机变量 X 的概率分布如下表,且 E(X)=1.5,则 a -b 的值为( ) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.-0.1 B.0 C.0.1 D.0.2 ?0.1+a+b+0.1=1 ?a=0.4 ? ? 解析:选 B.由? ?? , ? ? ?0×0.1+a+2b+3×0.1=1.5 ?b=0.4 ∴a-b=0. 5. (2013·合肥质检)在某市 2013 年 1 月份的高三质量检测考试中, 理科学生的数学成 绩服从正态分布 N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约 9450 人,某学生在这次 考试中的数学成绩是 108 分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名?( ) A.1500 B.1700 C.4500 D.8000 1 解析:选 A.因为学生的数学成绩 X~N(98,100),所以 P(X≥108)= [1-P(88<X<108)] 2

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1 1 = [1-P(μ -σ <X<μ +σ )]= (1-0.6826)=0.1587, 故该学生的数学成绩大约排在全市 2 2 第 0.1587×9450≈1500 名,故选 A. 二、填空题 6.(2013·辽阳质检)两封信随机投入 A、B、C 三个空邮箱,则 A 邮箱的信件数 ξ 的数 学期望 E(ξ )=________. 1 1 C2×C2 4 1 1 解析:P(ξ =1)= 2 = ,P(ξ =2)= 2= , 3 9 3 9 4 1 2 ∴E(ξ )=1× +2× = . 9 9 3 2 答案: 3 7. p 为非负实数, 若 随机变量 ξ 的分布列如下表, E(ξ )的最大值为________, (ξ ) 则 D 的最大值为________. ξ 0 1 2 1 1 P p -p 2 2 3 1 2 解析:E(ξ )=p+1≤ (0≤p≤ );D(ξ )=-p -p+1≤1. 2 2 3 答案: 1 2 2 8.(2013·青岛质检)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ ),若 P(X>4)=0.2,则 P(2<X<3)=________. 解析:由题意可知曲线关于直线 x=3 对称,故 P(X>4)=P(X<2)=0.2,因此 P(2<X<3) =0.5-P(X<2)=0.5-0.2=0.3. 答案:0.3 三、解答题 9.(2013·洛阳统考)某产品有 4 件正品和 2 件次品混在了一起,现要把这 2 件次品找 出来,为此每次随机抽取一件进行测 试,测试后不放回,直至次品能全部被找出为止. (1)求“第 1 次和第 2 次都抽到次品”的概率; (2)所要测试的次数 X 为随机变量,求 X 的分布列和数学期望. 解:(1)设“第 1 次和第 2 次都抽到次品”为事件 A, 2 A2 1 则 P(A)= 2= . A6 15 (2)X 的所有可能取值为 2,3,4,5. 1 P(X=2)= ; 15 1 1 2 C2C4A2 2 P(X=3)= 3 = ; A6 15 4 1 2 3 A4 C2C4A3 4 P(X=4)= 4+ 4 = ; A6 A6 15 1 3 4 3 1 4 C2C4A4 C4C2A4 8 P(X=5)= 5 + 5 = . A6 A6 15 X 的分布列为 X 2 3 4 5 1 2 4 8 P 15 15 15 15 1 2 4 8 64 因此,E(X) =2× +3× +4× +5× = . 15 15 15 15 15 10.(2013·大同调研)甲、乙等五名大运会志愿者被随机分到 A、B、C、D 四个不同的
2

岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率; (3)设随机变量 ξ 为这五 名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求 ξ 的分布列及数学期 望. 解:(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 A1; 3 A3 1 则 P(A1)= 2 4= . C5A4 40 1 故甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率为 . 40 (2)记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件 A2, 1 3 C4A3 1 则 P(A2)= 2 4= . C5A4 10 故甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为 9 P( A2 )=1-P(A2)= . 10 (3)由题知,随机变量 ξ 的所有可能取值为 1,2,则 2 3 C5A3 1 3 P(ξ =2)= 2 4= ,P(ξ =1)=1-P(ξ =2)= . C5A4 4 4 故 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 1 P 4 4 3 1 5 数学期望 E(ξ )=1× +2× = . 4 4 4

一、选择题 1.某 种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为( ) A.100 B.200 C.300 D.400 解析:选 B.种子发芽率为 0.9,不发芽率为 0.1,每粒种子发芽与否相互独立,故设没 有发芽的种子数为 ξ ,则 ξ ~B(1000,0.1),∴E(ξ )=1000×0.1=100,故需补种的期望 为 2·E(ξ )=200. 2 2 2.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),且二次方程 x +4x+ξ =0 无实数根的概 1 率为 ,则 μ 等于( ) 2 A.1 B.2 C.4 D.不能确定 2 解析:选 C.因为方程 x +4x+ξ =0 无实根, 1 故 Δ =16-4ξ <0,∴ξ >4,即 P(ξ >4)= =1-P(ξ ≤4), 2 1 故 P(ξ ≤4)= ,∴μ =4. 2 二、填空题 3.(2012·高考课标全国卷)某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作, 则部件正常工作, 设三个电子元件的使用寿命(单 2 位:小时)均服从正态分布 N(1000,50 ),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的 使用寿命超过 1000 小时的概率为________.
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解析:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,50 ), 1 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 P= . 2 3 2 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P1=1-(1-P) = 4 3 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 P2=P1×P= . 8 3 答案: 8 4.(2011·高考浙江卷)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了 2 个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试的概率为 ,得到乙、丙两公司面试的概率均为 p, 3 且三个公司是否让其面试是相互独立 的.记 X 为该毕业生得到面试的公司个数.若 P(X=0) 1 = ,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=________. 12 1 1 1 2 解析:由题意知 P(X=0)= (1-p) = ,∴p= . 3 12 2 随机变量 X 的分布列为: X 0 1 2 3 1 1 5 1 P 12 3 12 6 1 1 5 1 5 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 12 3 12 6 3 5 答案: 3 三、解答题 5.(2013·广东六校第二次联考)某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村 乙, 已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路, 且运费由菜园承担. 若菜园恰能在约定日期(× 月×日)将蔬菜送到,则亚运村销售商一次性支付给菜园 20 万元;若在约定日期前送到,每 提前一天销售商将多支付给菜园 1 万元; 若在约定日期后送到, 每迟到一天销售商将少支付 给菜园 1 万元 .为保证蔬菜新鲜度,汽车只能在约定日期的前两天出发,且只能选择其中 的一条公路运送蔬菜,已知下表内的信息: 统计信息 不堵车的情况下 堵车的情况下到达亚 汽车行 到达亚运村乙所 堵车的概率 运费(万元) 运村乙所需时间(天) 需时间(天) 驶路线 1 公路 1 2 3 1.6 10 1 公路 2 1 4 0.8 2 (1)记汽车走公路 1 时菜园获得的毛利润为 ξ (单位:万元),求 ξ 的分布列和数学期望 E(ξ ); (2)如果你是菜园的决策者,你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多? (注:毛利润=销售商支付给菜园的费用-运费) 解:(1)若汽车走公路 1. 不堵车时菜园获得的毛利润 ξ =20-1.6=18.4(万元);
4

2

堵车时菜园获得的毛利润 ξ =20-1.6-1=17.4(万元). ∴汽车走公路 1 时菜园获得的毛利润 ξ 的分布列为 ξ 18.4 17.4 9 1 P 10 10 9 1 E(ξ )=18.4× +17.4× =18.3(万元). 10 10 (2)设汽车走公路 2 时菜园获得的毛利润为 η ,则 不堵车时菜园获得的毛利润 η =20-0.8+1=20.2(万元); 堵车时菜园获得的毛利润 η =20-0.8-2=17.2(万元). ∴汽车走公路 2 时菜园获得的毛利润 η 的分布列为

η

P

20.2 1 2

17.2 1 2

1 1 2 2 ∵E(ξ )<E(η ), ∴选择公路 2 运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多.

E(η )=20.2× +17.2× =18.7(万元).

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