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江门市2014年普通高中高三调研测试理科数学(含答案)


江门市 2014 年普通高中高三调研测试 数 学(理科)试 题 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分,测试用时 120 分钟. 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. ⒈已知集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 1 ? x ? 3?,则 A ? B ? A. (?1 , 3 )
2

B. ( 1 , 2 )
2

C. [?1 , 3 ]

D. [ 1 , 2 ]

⒉若复数 (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3m)i 是纯虚数( i 是虚数单位) ,则实数 m ? A. m ? 2 B. m ? 3 C. m ? 0 D. m ? 2 或 m ? 3

⒊已知平面向量 a ? (? , ? 3) , b ? (4 , ? 2) ,若 a ? b ,则实数 ? ? A. ?

3 2

B.

3 2

C. ? 6

D. 6

⒋已知点 A(1 , 2) , B(2 , 1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0 D. x ? y ? 0

⒌设 a 、 b ? R ,若 a ? | b |? 0 ,则下列不等式中正确的是 A. a ? b ? 0 B. a ? b ? 0
3 3

C. a ? b ? 0
2 2

D. a ? b ? 0

⒍如图 1,E 、F 分别是正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 AD1 、B1C 上的动点 (不含端点) 则四边形 B1 FDE , 的俯视图可能是

A.

B.

C.

D.

?1 ? 2 ? x , ? ⒎已知函数 f ( x) ? ? x ?2 ? 1 , ?
A.偶函数,且单调递增 C.奇函数,且单调递增

x ? 0, x ? 0,

,则该函数是

图1

B.偶函数,且单调递减 D.奇函数,且单调递减
2

⒏平面直角坐标系中,抛物线 y ? A. 0 B. 1

1 x 与函数 y ? ln x 图象的交点个数为 2 C. 2 D. 3

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~13 题) ⒐ log 2 3

log 3 2 (填“ ? ”或“ ? ” ) .
3 , A ? 45 0 , B ? 75 0 ,则 a ?
2014 届高三数学(理科)试题

⒑在 ?ABC 中, c ?


第 1 页

⒒若双曲线的渐近线方程为 y ? ?3x ,它的一个焦点是 ( 10 , 0) ,则双曲线方程是



?x ? 0 ? ⒓若 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?3 x ? y ? 4 ?



⒔若 ? 、 是不重合的平面, 、 、 是互不相同的空间直线, 则下列命题中为真命题的是 ? a b c 出所有真命题的序号) ① 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ② 若 c // ? , b ? ? ,则 c ? b ③ 若 c ? ? , c // ? ,则 ? ? ? ④ 若 b ? ? , c ? ? 且 a ? b , a ? c ,则 a ? ? (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ⒕直线 y ? x 和抛物线 y ? x 所围成封闭图形的面积 S ?
2

.写 (

. .

⒖在数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ? (n? N ) ,试归纳出这个数列的通项 a n ? 1 ? an

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ⒗(本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2 cos ( 3 sin ⑴ 求 f (x) 的最小正周期; ⑵ 设 ? 、 ? ? (0 ,

x 2

x x ? cos ) ? 1, x ? R . 2 2

?
2

) , f (? ) ? 2 , f ( ? ) ?

8 ,求 f (? ? ? ) 的值. 5

第 2 页

2014 届高三数学(理科)试题

⒘(本小题满分 13 分) 如图 2, 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,CA ? CB ,CA ? CB ? 1 , AA1 ? 2 ,M 、N 分别是 A1 B1 、 棱

A1 A 的中点.
⑴ 求证: C1 N ? 平面 BCN ; ⑵ 求直线 B1C 与平面 C1 MN 所成角 ? 的正弦值.

C1 A1

M

B1

N C

A

图2

B

⒙(本小题满分 13 分) 为配制一种药液,进行了三次稀释,先在体积为 V 的桶中盛满纯药液,第一次将桶中药液倒出 10 升 后用水补满,搅拌均匀第二次倒出 8 升后用水补满,然后第三次倒出 10 升后用水补满. ⑴ 求第一次稀释后桶中药液的含量; ⑵ 若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的 60%,求 V 的取值范围; ⑶ 在第⑵问的条件下,第三次稀释后桶中的药液能否达到容积的 50%,为什么?

⒚(本小题满分 14 分) 如图 3,椭圆 ? 的中心在坐标原点 O ,过右焦点 F (1 , 0) 且垂直于椭圆对称轴的弦 MN 的长为 3. ⑴ 求椭圆 ? 的方程; ⑵ 直线 l 经过点 O 交椭圆 ? 于 P 、 Q 两点, NP ? NQ ,求直线 l 的方程.

图3
2014 届高三数学(理科)试题 第 3 页

⒛(本小题满分 14 分)
? 已知正项等比数列 ?a n ?( n ? N ) ,首项 a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,且 S 3 ? a 3 、 S 5 ? a 5 、 S 4 ? a 4 成

等差数列. ⑴ 求数列 ?a n ?的通项公式; ⑵ 求数列 ? nSn ?的前 n 项和 Tn .

21(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) , 曲线 y ? f (x) 经过点 P(0 , 2) , 且在点 P 处的切线为 l :y ? 4 x ? 2 .
x

⑴ 求常数 a , b 的值; ⑵ 求证:曲线 y ? f (x) 和直线 l 只有一个公共点; ⑶ 是否存在常数 k ,使得 x ? [?2 , ? 1] , f ( x) ? k (4 x ? 2) 恒成立?若存在,求常数 k 的取值范围; 若不存在,简要说明理由.

第 4 页

2014 届高三数学(理科)试题

数学(理科)评分参考 一、选择题 BAAC DBCD 二、填空题 ⒐> ⒑ 2 ⒒x ?
2

y2 ?1 9


⒓0 ⒖

⒔②③(对 1 个 3 分,错 1 个 ? 2 分) 三、解答题 ⒗解:⑴ f ( x) ?

1 6

1 n

3 sin x ? cos x ??2 分, ? 2 sin(x ?

?
6

) ??4 分,

f (x) 的最小正周期 T ? 2? ??5 分
⑵因为 2 sin(? ? 所以 ? ?

?
6

) ? 2 , sin(? ?

?
6

) ? 1,

?
6

?? ?

?
6

?

2? ??6 分, 3

?
6

?

?
2

,? ?

?
3

??7 分,

2 sin(? ?
因为

?
6

)?

8 ? 4 ? ? 2? , sin(? ? ) ? , ? ? ? ? ??8 分, 5 6 5 6 6 3

4 3 ? ? ? ? 3 ? ,所以 ? ? ? ? , cos(? ? ) ? ??9 分, 5 2 6 6 2 6 5

所以 f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ??10 分, 6 2

?

? 2 cos[(? ?

?

) ? ] ? 2 cos(? ? ) cos ? 2 sin(? ? ) sin ?11 分 ? 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

3 3?4 ?12 分。 5

( 或 者 在 第 7 分 之 后 : f (? ? ? ) ? 2 sin(? ? ? ?

?

) ? 2 sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? ? 8 分 , 6 2

?

? 2 cos[(? ?

?

) ? ] ? 2 cos(? ? ) cos ? 2 sin(? ? ) sin ??9 分, 6 6 6 6 6 6

?

?

?

?

?

因为 2 sin(? ?

?
6

)?

8 ? 4 ? 3 , sin(? ? ) ? ,所以 cos(? ? ) ? ? ??10 分, 5 6 5 6 5

所以 f (? ? ? ) ? 4 ? 3 3 ??11 分, 5 因为 ? ? (0 ,

?
2

) , f (? ? ? ) ? 2 cos ? ? 0 ,所以 f (? ? ? ) ?

4?3 3 ?12 分) 5

⒘证明与求解:⑴ CA ? AN ? NA1 ? A1C1 ? 1 , AA1 ? 底面, ?ANC ? ?A1 NC1 ? ??1 分, ?CNC1 ?

?
4

?
2

, C1 N ? NC ??2 分,因为 CA ? CB , BC ? CC1 , AC ? CC1 ? C ,

2014 届高三数学(理科)试题

第 5 页

所以 BC ? 平面 CAA1C1 ??3 分, BC ? C1 N ??4 分, 因为 BC ? NC ? C ,所以 C1 N ? 平面 BCN ??5 分 ⑵(方法一)以 C 为原点,CA、CB、CC1 在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系??6 分, 则 C (0 , 0 , 0) 、 C1 (0 , 0 , 2) 、 B1 (0 , 1 , 2) ??7 分, M ( ,

1 2

1 , 2) 、 N (1 , 0 , 1) ??8 分, 2

1 1 C1 M ? ( , , 0) 、 C1 N ? (1 , 0 , ? 1) 、 CB1 ? (0 , 1 , 2) ??9 分, 2 2
设平面 C1 MN 的一个法向为 n ? (a , b , c) ,则 ?

?n ? C1 M ? 0 ? ?n ? C1 N ? 0 ?

??10 分,

即?

?a ? b ? 0 ,取 n ? (1 , ? 1 , 1) ??11 分, ?a ? c ? 0
| n ? CB1 | | n || CB1 |
??12 分, ?

所以 sin ? ?| cos ? n , CB1 ?|?

15 ??13 分。 15

(方法二)

A1 M AN 2 ? ? ? , ?BAN ? ?NA1 M ? , ?BAN ~ ?NA1 M ? ? 6 分 , 所 以 A1 N AB 2 2

?BNA ? ?A1 MN , ?MNB ?

?
2

, BN ? MN ??7 分,

由⑴知 BN ? C1 N , C1 N ? MN ? N ,所以 BN ? 平面 C1 MN ??8 分。 延长 B1 B 到 B2 ,延长 C1C 到 C 2 ,使 BB2 ? CC2 ? 2 ,连接 BC 2 、 NC 2 ??9 分, 在 ?NBC2 中, BN ?

3 , BC 2 ? 5 , NC2 ? 10 ??10 分,
2 2

BN 2 ? BC 2 ? NC2 15 cos ?NBC2 ? ??11 分, ? ? 2 BN ? BC 2 15

BN 是平面 C1 MN 的法向量,由所作知 BC2 // B1C ,从而 ? ? ?NBC2 ?
所以 sin ? ? ? cos ?NBC2 ?
15 ??13 分。 15

?
2



其他方法,例如将直三棱柱补成长方体,可参照给分。

⒙解:⑴第一次稀释后桶中药液为 V ? 10 (升)??2 分 ⑵第 2 次倒出后桶中剩余农药 (V ? 10) ?

V ? 10 ? 8 升??3 分,依题意 V

(V ? 10) ?
第 6 页

V ? 10 ? 8 ? V ? 60% ??5 分,即 V 2 ? 45V ? 200 ? 0 ??6 分, V
2014 届高三数学(理科)试题

解得 5 ? V ? 40 ??7 分,又 V ? 10 ,所以 10 ? V ? 40 ??8 分。 ⑵ 不 能 达 到 50 % ? ? 9 分 , 再 次 倒 出 10 升 后 用 水 补 满 , 桶 中 的 农 药 占 容 积 的 比 率 不 超 过

60 % ?

V ? 10 ??10 分,因为 10 ? V ? 40 , V

所以 60% ?

V ? 10 10 10 (略)??13 分。 ? 60% ? (1 ? ) ? 60% ? (1 ? ) ? 45% ??12 分,答: V V 40
x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )??1 分 a2 b2 2b 2 2(a 2 ? c 2 ) ? ? 3 ??4 分 a a x2 y2 ? ? 1 ??7 分 4 3

⒚解:⑴设椭圆 ? 的方程为 依题意, c ?

a 2 ? b 2 ? 1 ??2 分,

解得 a ? 2 , b ?

3 ??6 分,椭圆 ? 的方程为

⑵(方法一)连接 ON,由椭圆的对称性 OP ? OQ ??8 分,因为 NP ? NQ ,所以 ON ? PQ ??9 分,依题意, N (1 , ? ) ??10 分,所以 k ON ? ? 的方程为 y ?

3 2

1 2 3 ??11 分, k l ? ? ? ??13 分,所以直线 l k ON 3 2

2 x ??14 分。 3

? x2 y2 ?1 ? ? (方法二)设直线 l 的方程为 y ? kx ??8 分,解 ? 4 ??9 分, 3 ?y ? kx ?
得 P(

12 12 12 12 , k ) , Q(? , ?k ) ??10 分, 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3

依题意, N (1 , ? ) ??11 分,由 NP ? NQ 得

3 2

(1 ?

12 3 12 12 3 12 ) 2 ? (? ? k ) 2 = (1 ? ) 2 ? (? ? k ) 2 ??12 分, 2 2 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 2 4k ? 3 4k ? 3
2 2 ??13 分,所求直线 l 的方程为 y ? x ??14 分。 3 3
n ?1

解得 k ?

⒛ 解 : ⑴ 依 题 意 , 设 a n ? 3q

? ? 1 分 , S 3 ? a3 、 S 5 ? a5 、 S 4 ? a 4 成 等 差 数 列 , 所 以

2( S 5 ? a5 ) ? ( S 3 ? a3 ) ? ( S 4 ? a 4 ) ??2 分,即 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 2a5 ) ? (a1 ? a2 ? 2a3 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? 2a4 ) ,
化简得 4a5 ? a3 ??4 分,从而 4q ? 1 ,解得 q ? ?
2

1 ??5 分, 2

因为 ?a n ?( n ? N )是单调数列,所以 q ?
?

1 6 , a n ? n ??6 分 2 2
第 7 页

2014 届高三数学(理科)试题

⑵由⑴知 S n ? 6(1 ?

1 ) ??7 分, 2n

1 2 3 n Tn ? 6(1 ? ) ? 6(2 ? 2 ) ? 6(3 ? 3 ) ? ? ? 6(n ? n ) ??8 分, 2 2 2 2 1 2 3 n Tn ? 3n(n ? 1) ? 6( ? 2 ? 3 ? ? ? n ) ??9 分, 2 2 2 2
设 Rn ?

1 2 3 n 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n ,则 2 Rn ? 1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ??11 分, 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n n?2 ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ? n ? 2 ? n ??13 分, 2 2 2 2 2 2 3(n ? 2) ??14 分。 2 n?1

两式相减得 Rn ? 1 ?

所以 Tn ? 3n(n ? 1) ? 6 Rn ? 3n(n ? 1) ? 12 ? 21 解:⑴ f ( x) ? e (ax ? a ? b) ??1 分,
/ x

依题意, ?

? f ( 0) ? 2
/ ? f ( 0) ? 4

即?

?e 0 ( a ? 0 ? b) ? 2 ? ??3 分, ?e 0 ( a ? 0 ? a ? b) ? 4 ?

解得 a ? b ? 2 ??5 分。 ⑵记 g ( x) ? e (ax ? b) ? (4 x ? 2) ? 2e ( x ? 1) ? 2(2 x ? 1) ,
x x

则 g ( x) ? 2e ( x ? 2) ? 4 ??6 分,
/ x

当 x ? 0 时 , g ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时 , g ( x) ? 0 ; 当 x ? 0 时 , g ( x) ? 0 ? ? 8 分 , 所 以
/ / /

g ( x) ? g (0) ? 0 ,等号当且仅当 x ? 0 时成立,即 f ( x) ? 4 x ? 2 ,等号当且仅当 x ? 0 时成立,曲线 y ? f (x) 和直线 l 只有一个公共点??9 分。
⑶ x ? [?2 , ? 1] 时, 4x ? 2 ? 0 ,所以 f ( x) ? k (4 x ? 2) 恒成立当且仅当

k?

f ( x) e x ( x ? 1) ? ??10 分, 4x ? 2 2x ? 1
记 h( x ) ?

e x (2 x 2 ? 3 x) e x ( x ? 1) / , x ? [?2 , ? 1] , h ( x) ? ??11 分, 2x ? 1 (2 x ? 1) 2

由 h ( x) ? 0 得 x ? 0 (舍去) x ? ? ,
/

3 ??12 分 2

当?2 ? x ? ? 所 以 h( x ) ?
3

3 3 / / 时, h ( x) ? 0 ;当 ? ? x ? ?1 时, h ( x) ? 0 ??13 分, 2 2
3

e x ( x ? 1) 3 1 ? 在 区 间 [?2 , ? 1] 上 的 最 大 值 为 h( ? ) ? e 2 , 常 数 k 的 取 值 范 围 为 2 4 2x ? 1

1 ? ( e 2 , ? ?) ??14 分. 4
第 8 页 2014 届高三数学(理科)试题


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