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2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数与函数的单调性教案2 北师大版选修1-1

导数与函数的单调性
教学过程: 一.创设情景 函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减 的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们 可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面,我们运用导数研究函数的性质,从中体会 导数在研究函数中的作用。 二.新课讲授 1.问题:图(1) ,它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函 数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的图像,图(2)表示高台跳水运动 员的速度 v 随时间 t 变化的函数

v(t ) ? h' (t ) ? ?9.8t ? 6.5 的图像.
运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动 状态有什么区别? 通过观察图像,我们可以发现: (1) 运动员从起点到最高点,离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加,即 h(t ) 是增
'

函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 . (2) 从最高点到入水,运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少,即 h(t ) 是减
'

函数.相应地, v(t ) ? h (t ) ? 0 . 2.函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像,探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图 3.3-3,导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率.

( 图 3.3-3)

在 x ? x0 处, f ' ( x0 ) ? 0 ,切线是“左下右上”式的,这时,函数 f ( x ) 在 x0 附近单调递 增; 在 x ? x1 处, f ?( x1 ) ? 0 ,切线是“左上右下”式的,这时,函数 f ( x ) 在 x1 附近单调递 减. 结论:函数的单调性与导数的关系
' 在某个区间 ( a , b) 内,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递增;如果

f ' ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内单调递减.
' 说明: (1)特别的,如果 f ( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内是常函数.

3.求解函数 y ? f ( x) 单调区间的步骤:

(1)确定函数 y ? f ( x) 的定义域; (2)求导数

y ' ? f ' ( x) ;
'

(3)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为增区间; (4)解不等式 f ( x) ? 0 ,解集在定义域内的部分为减区间.
'

三.典例分析 例 1.已知导函数 f ' ( x) 的下列信息: 当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 试画出函数 y ? f ( x) 图像的大致形状. 解:当 1 ? x ? 4 时, f ' ( x) ? 0 ,可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递增; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;可知 y ? f ( x) 在此区间内单调递减; 当 x ? 4 ,或 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,这两点比较特殊,我们把它称为“临界点”.
'

综上,函数 y ? f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示. 例 2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间. (1) f ( x) ? x ? 3x ;
3

(2) f ( x) ? x ? 2x ? 3
2

3 2 (3) f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2x ? 3x ? 24 x ? 1

解: (1) 因 为

f(

? x) 3 ?

,所以, x 3 x

f ' ( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x2 ? 1) ? 0
因此, f ( x) ? x3 ? 3x 在 R 上单调递增,如上图所示. (2)因为 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,所以, f ' ( x) ? 2x ? 2 ? 2 ? x ?1? 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递增; 当 f ' ( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 单调递减; 函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 的图像如图 3.3-5(2)所示. (3)因为 f ( x) ? sin x ? x x ? (0, ? ) ,所以, f ' ( x) ? cos x ?1 ? 0 因此,函数 f ( x) ? sin x ? x 在 (0, ? ) 单调递减,如上图所示. (4)因为 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 ,所以 当 f ' ( x) ? 0 ,即 当 f ' ( x) ? 0 ,即 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 时,函数 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 . ; ;

函数 f ( x) ? 2x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1 的图像如下图所示. 注: (3) 、 (4)生练

例 3.如图 3.3-6,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相 同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像.

分析:以容器(2)为例,由于容器上细下粗,所以水以常速注入时,开始阶段高度增加 得慢,以后高度增加得越来越快.反映在图像上, (A)符合上述变化情况.同理可知其它三 种容器的情况. 解: ?1? ? ? B? , ? 2? ? ? A? , ?3? ? ? D ? , ?4 ? ? ?C ? 思考: 例 3 表明, 通过函数图像, 不仅可以看出函数的增减, 还可以看出其变化的快慢. 结 合图像,你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗? 一般的,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化的快, 这时,函数的图像就比较“陡峭”;反之,函数的图像就“平缓”一些. 如图 3.3-7 所示,函数 y ? f ( x) 在 ? 0 , b ? 或 ? a , 0? 内的图像“陡峭”, 在 ? b , ? ?? 或 ? ?? , a ? 内的图像“平缓”. 例 4.求证:函数 y ? 2x ? 3x ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内是减函数.
3 2
' 2 2 证明:因为 y ? 6 x ? 6 x ? 12 ? 6 x ? x ? 2 ? 6 ? x ? 1?? x ? 2 ?

?

?

' 3 2 当 x ? ? ?2,1? 即 ?2 ? x ? 1 时,y ? 0 , 所以函数 y ? 2x ? 3x ?12 x ? 1 在区间 ? ?2,1? 内

是减函数. 说明:证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性步骤: (1)求导函数 f (2)判断 f
' '

? x? ;

? x ? 在 ? a , b? 内的符号;
'

(3)做出结论: f

? x ? ? 0 为增函数, f ' ? x ? ? 0 为减函数.
2

例 5.已知函数 f ( x) ? 4 x ? ax ?

2 3 x ( x ? R ) 在区间 ??1,1? 上是增函数,求实数 a 的 3

取值范围. 解: f ' ( x) ? 4 ? 2ax ? 2 x 2 ,因为 f ? x ? 在区间 ? ?1,1 ? 上是增函数,所以 f ' ( x) ? 0 对

x ???1,1? 恒成立,即 x2 ? ax ? 2 ? 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ? a ? 1
所以实数 a 的取值范围为 ? ?1,1? . 说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调 性关系:即“若函数单调递增,则 f ' ( x) ? 0 ;若函数单调递减,则 f ' ( x) ? 0 ”来求解,注 意此时公式中的等号不能省略,否则漏解. 例 6.已知函数 y=x+

1 ,试讨论出此函数的单调区间. x

解:y′=(x+ =1-1·x

1 )′ x
-2

x 2 ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) = ? x2 x2


( x ? 1)( x ? 1) >0. x2

解得 x>1 或 x<-1. ∴y=x+

1 的单调增区间是(-∞,-1)和(1,+∞). x



( x ? 1)( x ? 1) <0,解得-1<x<0 或 0<x<1. x2 1 的单调减区间是(-1,0)和(0,1) x
王新敞
奎屯 新疆

∴y=x+

四.课堂练习 1.求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x -6x +7 2.课本练习
3 2

2.f(x)=

1 +2x x

3. f(x)=sinx , x ? [0,2? ]

4. y=xlnx

五.回顾总结 (1)函数的单调性与导数的关系 (2)求解函数 y ? f ( x) 单调区间 (3)证明可导函数 f ? x ? 在 ? a , b ? 内的单调性


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