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椭圆及其标准方程二_图文

复习回顾
1. 椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆。两个定点、称为焦点,两焦点之间的距离 称为焦距,记为2c。 若设M为椭圆上的任意一点,则|MF1|+|MF2|=2a 几点注意: [1]平面上----这是大前提 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 [3]常数 2a 要大于焦距 2C

的距离之和是常数 2a

MF 1 ? MF 2 ? 2 a ? 2 C

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F 2
M

图 形
x a
2 2

F 1
y b
2 2

o

F2 x
y a
2 2

o
F 1
? x b
2 2

x

标准方程
焦 点 a,b,c之间的关系

?

? 1 ?a ? b ? 0 ?

? 1 ?a ? b ? 0 ?

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 两焦点连线的中点在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方 和,右边是1. 2 x 项分母较大. 不同点:焦点在x轴的椭圆 2 y 项分母较大. 焦点在y轴的椭圆

对椭圆标准方程的几点认识
1、在椭圆的两种标准方程中,总是 a ? b ? 0 2、从方程可知,含有 x 2、 y 2 的分式的分母谁大, 焦点就在哪个轴上。 3、a,b,c始终满足关系式 c 2 ? a 2 ? b 2(不能与 勾股定理 a 2 ? b 2 ? c 2 混淆)
( 若焦点在x轴上,则焦点坐标为 ( c , 0 )、? c , 0 ) (0, 若焦点在y轴上,则焦点坐标为 (0, c )、 ? c )

4、形如 A x 2 ? B y 2 ? C 的方程,只要

A 、B 、C 同

号,且 A ? B ,就表示椭圆。 5.当焦点位置不明确时,可设椭圆标准方程为 2 2 x y 可使运算简便; ? ? 1( m ? 0 , n ? 0 , m ? n )
m n

已知椭圆

x a

2 2

?

y

2 2

b 上一点,且 ? F1 P F2 ? ?

? 1 ,焦点为F1和F2
1 2

,P是椭圆

,求 ? P F F 的周长和面积。

? P F1 F2 通常叫做焦点三角形,其周长为定值2a ? P F1 F2 通常叫做焦点三角形,其周长为定值2a

+ 2c. + 2c,

相关知识: 其面积为
S ? PF F ?
1 2

b tan

2

? F1 P F 2

? b tan
2

?
2

1 2

2 P F1 ? P F 2 sin ? F1 P F 2
2

余 弦 定 理 : 1 F2 F

? P F1

2

? P F2

2

? 2 P F1 ? P F 2 ?cos ? F1 P F 2

注意新旧知识的综合运用

练习1: (1)已知椭圆的焦点是F1(-1,0)、F2(1,0),P为椭 圆上一点,且| F1 F2|是| PF1 |与| PF2 |的等差 中项。求椭圆的方程_________ (2)如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在y轴上的椭
2 2

圆,那么实数k的取值范围是( ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) 2 D.(0,1) 2 x y ? ? 1 的两个焦 (3) 过点A(-1,-2)且与椭圆 6 9 点相同的椭圆标准方程是_________
与 x a x
2 2 2 2

? ?

y b

2 2

? 1同焦点的椭圆方程可设 为: y
2

a ?k

b ?k
2

? 1(其中k ? ? b )
2

练习2: 1、如果椭圆被
x
2

?

y

2

?1

36

9

的弦被(4,2)平分,那
D )
D、x+2y-8=0

么这弦所在直线方程为(
A、x-2y=0

B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0
x 5
2

2、y=kx+1与椭圆 A、(0,1)

?

y

2

m

? 1 有公共点,则m的范围(

C )

B、(0,5 ) D、(1,+ ∞ )

C、[ 1,5)∪(5,+ ∞ )

3.已知F1,F2是椭圆 一点,
(1)若
∠ F1 PF 2 = π 3

x

2

50

+

y

2

25

= 1 的两个焦点,P是椭圆上

,求

F1PF2的面积。

(2)求 ∠ F1 PF 2 的最大值。

例题赏析: 例1:已知 B、C 是两个定点,|BC| = 6,且△ABC的 y 周长等于16,求顶点A的轨迹方程 . 解:建系如图,由题意 A |AB|+|AC|+|BC|=16, |BC| = 6, 有|AB|+|AC|=10, ∴ 由椭圆的定义知:点A的轨迹是椭圆,
B O C x

2c=6 , 2a=10, ∴ c=3 ,a=5 , b2 = a2-c2 = 52-32 =16 .
x
2

故顶点A的轨迹方程是:

?

y

2

定 义 法

? 1( y ? 0)

25

16

例2.一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切,同时与圆x2+y2-6x91=0内切,求动圆圆心的轨迹方程,并说明它是什么

样的曲线? 解:分别将两已知圆的方程 P x2+y2+6x+5=0 x2+y2-6x-91=0 O O 配方,得 (x+3)2+y2=4 (x-3)2+y2=100 设动圆圆心为P(x,y),半径为 R, 两已知圆圆心为O1、O2。 当⊙P与⊙O1:(x+3)2+y2=4外切时,有 |O1P|=R+2
1 2

Y

X



当⊙P与⊙O2:(x-3)2+y2=100内切时, 有|O2P|=10-R ②

①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12

①、②式两边分别相加,得 |O1P|+|O2P|=12
动圆圆心P(x,y)到点O1(-3,0)和点O2(3,0)距离的和是 常数12,所以点P的轨迹是焦点为(-3,0)、(3,0),长 轴长等于12的椭圆。于是可求出它的标准方程。 ∵2c=6 ,2a=12 , ∴ c=3 , a=6 ∴b2=36-9=27 2 2 x y 于是得动圆圆心的轨迹方程为 ? ?1
36 27

这个动圆圆心的轨迹是椭圆.

定 义 法

例3.已知定圆Q: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 55 ? 0 ,动圆M和已 知圆内切且过点P(-3,0),求圆心M的轨迹及其方 程 y 2 2 ( x ? 3 ) ? y ? 64 解: 已知圆可化为
M P O Q

R=8

圆心Q(3,0),所以P在定圆内
x

设动圆圆心为M(x,y) 则 MP 为半径

又圆M和圆Q内切,所以 M Q ? 8 ? M P

即|MP|+|MQ|=8 >6 ,故M的轨迹是以P,Q为 焦点的椭圆,且PQ中点为原点.
故动圆圆心M的轨迹方程是:
x
2

?

y

2

?1

定 义 法

16

7

例4.已知x轴上的一定点A(1,0),Q为椭圆 上的动点,求AQ中点M的轨迹方程.
y Q M
-

x

2

? y ?1
2

4

解:设动点M的坐标为(x,y),
O A 2 x

则Q的坐标为(2x-1,2y) 2

2

因为Q点为椭圆 4 上的点
所以有
( 2 x ? 1) 4
1 2 ) ? 4y ?1
2 2

x

? y ?1
2 2

2

相 关 点 法

? (2 y ) ? 1

即 (x ?

所以点M的轨迹方程是 ( x ?

1 2

) ? 4y ?1
2 2

例5.长度为2的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、 y轴上滑动,点M分AB的比为2:3,求点M的轨迹方 y 程 解:设动点M的坐标为(x,y),
B

M
O A x

A(a,0),B(0,b) 由定比分点坐标公式得
,0) ,B(0,
25 9
25 9 x ?
2

A( 所以有
( 5 3 x) ? (
2

5 3

x

5 2

y ),
2

因为 AB ? 2

5 2

y) ? 4 即
2

x ?
2

25 4

y ? 4

所以点的轨迹方程是

25 4

y ? 4
2

相 关 点 法

小结:
求椭圆方程的方法:待定系数法、定义法 求动点轨迹方程方法: 待定系数法、定义法、相关点法 解决解析几何通用的数学方法: 数形结合、方程与函数


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