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上海市理工大学附属中学2016届高三数学上学期第一次月考试题 理


2015 学年第一学期上理附中高三月考一数学(理科)
一.填空题(每题 4 分,共 56 分) 1. 集合 A= x 1 ? x ? 3 ,B= x x ? a ,若 A

?

?

?

?

? B =A,则 a 的取值范围为_________

2. 所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为_______________ 3. kx ? kx ? 2 ? 0 恒成立,则 k 的取值范围是 __________ ________ .
2

4.已知函数 f ( x) ? log2 ( x2 ?1)( x ? 0) , 则f ?1 (2) ? ___________ 。 5.设 a ? ??2, ? , ? , ? , ,1, 2,3? ,已知幂函数 y ? x a 为偶函数,且在 ?0,??? 上递减, 则 a 的所有可能取值为____________. 6.函数 f ? x ? ? a x ?a ? 0, a ? 1? 在区间 ?1, 2? 上最大值比最小值大 7. 不等式

? ?

1 2

1 3

2 1 3 2

? ?

x ?1 ? 1 的解集为______________ 3x ? 2

a ,则 a 的值为__ 2

8. 已知不等式组 ?

? x2 ? 4x ? 3 ? 0 ? 2 的解集是关于 x 的不等式 2 x ? ax ? 9 ? 0 解集的一个子 2 ? ?x ? 6x ? 8 ? 0

集,则实数 a 的取值范围为______________. 9. 方程 | lg x | ? x ? 3 ? 0 实数解的个数________________ 10. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ___________. 11.设 f ? x ? 是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,已知 x ? (0,1) , f ? x ? ? log 1 ?1 ? x ? ,
2

4? ,半径为 6 cm 的扇形,则此圆锥的体积为 3

则函数 f ? x ? 在 (1, 2) 上的解析式是____________ 12. 如图,在半径为 3 的球面上有 A、B、C 三点, ?ABC ? 90? ,
3 2 BA ? BC ,球心 O 到平面 ABC 的距离是 ,则 B、C 两点的 2
A B

O ·
C

球面距离是

.

13. 已知 f ( x) 为定义在 R 上的奇函数, 且当 x ? 0 时, f ( x) ? log 1 x , 则不等式 f ( x) ? 2 的
2

解集是____________. 14. 试用列举法表示集合 M ? ? x x ? R, x ? ?1且

? ?

x ?1 ? ? Z ? __________________ x ? 3x ? 3 ?
2

-1-

二.选择题(每题 4 分,共 16 分) 15. 对于定义在 R 上的函数 f ( x) , “ f (0) ? 0 ”是“函数 f ( x) 是奇函数”的( (A)仅充分条件(B)仅必要条件(C)充要条件(D)非充分非必要条件 16.从空间一点出发的三条射线 PA, PB, PC 均成 60 角, 则二面角 B ? PA ? C 的大小为 ( (A) )
?



?
3

(B)

?
2

(C) arcsin

1 3

(D) arccos

1 3

? 1 ( x ? 1) ? 17.设定义域为 R 的函数 f ( x) ? ? | x ? 1 | ,若关于 x 的方程 ? ? 1( x ? 1)
f 2 ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 5 个不同的实数解,则 b ? c 值为
(A) 0 (B) 1 (C) ?1 (D)不能确定 ( )

18.某同学在研究函数 f ( x) ?

x ( x ? R) 时,分别给出下面几个结论: 1? x

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立;②函数 f ( x ) 的值域为 (-1,1); ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点.其中正 确结论的个数为 ( )

(A).1 个 (B).2 个 (C).3 个 (D).4 个 三 .解答题(10 分+12 分+12 分+12 分+16 分+16 分,共 78 分) 19.已知 a, b ? R , 求证: a ? ab ? b ? 0
2 2

2 20.设 A= x ?1 ? x ? a , (a ? ?1), B ? y y ? x ? 1, x ? A . C ? y y ? x , x ? A ,若 B=C,

?

?

?

?

?

?

求 a 的值

-2-

21. 如图,在正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面边长为 2,异面直线 A 1B 与 B 1C1 所成角的大小 为 arccos

5 . 10

(1)求侧棱 AA1 的长。 (2)求 A 。 1B 与平面 A 1 ACC1 所成角的大小(结果用反三角函数表示)

22.某单位用铁丝制作如图所示框架,框架的下部是边长分别为 x 、 y (单位:米)的矩形, 上部是一个半圆形,要求框架所围成的总面积为 8m (1)将 y 表示成 x 的函数,并求定义域; (2)问 x 、 y 分别为多少时用料最省?(精确到 0.001m ).
2

y

x

-3-

23.设 f ( x) ? log 1

1 ? ax 为奇函数, a 为常数。 2 x ?1

(1)求 a 的值; (2)判断 f ( x) 在区间(1,+∞)内的单调性,并证明你的结论; (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f ( x) > ( ) ? m 恒成立,求实数 m 的取值
x

1 2

范围。

24. 对于函数 f ?x ? ?x ? D? , 若同时满足以下条件:○ 1 f ?x ? 在 D 内单调递增或单调递减○ 2存 在区间 ?a, b? ? D ,使 f ?x ? 在 ?a, b? 上值域是 ?a, b? ,那么我们把函数 f ?x ? ?x ? D? 叫做闭函 数。 (1)求闭函数 y ? ? x 3 符合条件○ 2 的区间 ?a, b? (2)判断函数 y ? 2 x ? lg x 是不是闭函数?若是,说明理由,并找出区间 ?a, b? ,若不是, 说明理由 . (3)若 y ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 取值范围.

-4-


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